浙江省杭州市2023届高三第二次高考科目教学质量检测数学试题(全WORD版)

2023-2023学年杭州市第二次高考科目教学质量检测高三数学检测试卷考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷密封线内填写学校、班级和姓名．3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效．4．考试结束，只需上交答题卷．一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＜2}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|x＞1}C．{x|x＞2}D．{x|x≥1}2．设a∈R，若(1＋3i)(1＋ai)∈R（i是虚数单位），则a＝（）A．3B．－3C．D．－3．二项式的展开式中x3项的系数是（）A．80B．48C．－40D．－804．设圆C1：x2＋y2＝1与C2：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，则圆C1与C2的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内含5．若实数x，y满足约束条件，设z＝x＋2y，则（）A．z≤0B．0≤z≤5C．3≤z≤5D．z≥56．设a＞b＞0，e为自然对数的底数．若ab＝ba，则（）A．ab＝e2B．ab＝C．ab＞e2D．ab＜e27．已知0＜a＜，随机变量ξ的分布列如下：ξ－101P3414－aa当a增大时，（）A．E(ξ)增大，D(ξ)增大B．E(ξ)减小，D(ξ)增大C．E(ξ)增大，D(ξ)减小D．E(ξ)减小，D(ξ)减小8．已知a＞0且a≠1，则函数f(x)＝(x－a)2lnx（）A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值，又有极小值D．既无极大值，又无极小值9．记M的最大值和最小值分别为Mmax和Mmin．若平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝a•b＝c•(a＋2b－2c)＝2．则（）A．|a－c|max＝B．|a＋c|max＝C．|a－c|min＝√D．|a＋c|min＝10．已知三棱锥S－ABC的底面ABC为正三角形，SA＜SB＜SC，平面SBC，SCA，SAB与平面ABC所成的锐二面角分别为α1，α2，α3，则（）A．α1＜α2B．α1＞α2C．α2＜α3D．α2＞α3二、填空题（本大题共7小题，第11-14题，每小题6分，15-17每小题4分，共36分）11．双曲线=1的渐近线方程是________，离心率是_______．12．设各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝80，S2＝8，则公比q＝______，a5＝_______．13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________，表面积是________．14．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则cosC＝______；当BC＝1时，则△ABC的面积等于______．15．盒子里有完全相同的6个球，每次至少取出1个球(取出不放回)，取完为止，则共有_______种不同的取法（用数字作答）．16．设函数f(x)（x∈R）满足|f(x)－x2|≤，|f(x)＋1－x2|≤，则f(1)＝．17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若对任意λ∈R，不等式恒成立，则的最大值为．三、解答题：（本大题共5小题，共74分）18．（本题满分14分）已知函数f(x)＝（Ⅰ）求f(x)的最小正周期和最大值；（Ⅱ）求函数y＝f(－x)的单调减区间．19．（本题满分15分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，M为线段BC的中点，D为线段BC上一点，且BD＝BA，沿直线AD将△ADC翻折至△ADC′，使AC′⊥BD．（Ⅰ）证明：平面AMC′⊥平面ABD；（Ⅱ）求直线C′D与平面ABD所成的角的正弦值．20．（本题满分15分）已知函数f(x)＝（Ⅰ）求函数f(x)的导函数f′(x)；（Ⅱ）证明：f(x)＜（e为自然对数的底数）．21．（本题满分15分）如图，过抛物线M：y＝x2上一点A（点A不与原点O重合）作抛物线M的切线AB交y轴于点B，点C是抛物线M上异于点A的点，设G为△ABC的重心（三条中线的交点），直线CG交y轴于点D．（Ⅰ）设A(x0，x02)（x0≠0），求直线AB的方程；（Ⅱ）求的值．22．（本题满分15分）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋（c＞0，n∈N*），（Ⅰ）证明：an＋1＞an≥1；（Ⅱ）若对任意n∈N*，都有证明：（ⅰ）对于任意m∈N*，当n≥m时，（ⅱ）．2023学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测数学试题参考答案及评分标准一、选择题：（共10小题，每小题4分，共40分）题号12345678910答案ABDADCACAA二、填空题：（共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．； 12．3；162 13．； 14．－；15．32 16． 17．三、解答题：(本大题共5小题，共74分)．18．（本题满分14分）（Ⅰ）因为sin(x＋)＝cos(x－)，所以f(x)＝2sin(x＋)＝－2sin(x＋)．所以函数f(x)的最小正周期是2π，最大值是2．…………7分（Ⅱ）因为f(－x)＝2sin(x－)，所以单调递减区间为(＋2kπ，＋2kπ)（k∈Z）．…………14分19．（本题满分15分）（Ⅰ）有题意知AM⊥BD，又因为AC′⊥BD，所以BD⊥平面AMC，因为BD平面ABD，所以平面AMC⊥平面ABD． …………7分（Ⅱ）在平面AC′M中，过C′作C′F⊥AM交AM于点F，连接FD．由（Ⅰ）知，C′F⊥平面ABD，所以∠C′DF为直线C′D与平面所成的角．ABC′DMF（第19题）设AM＝1，则AB＝AC＝2，BC＝，MDABC′DMF（第19题）DC＝DC′＝3－2，AD＝－．在Rt△C′MD中，＝9－4．设AF＝x，在Rt△C′FA中，AC′2－AF2＝MC′2－MF2，即4－x2＝(9－4)－(x－1)2，解得，x＝2－2，即AF＝2－2．所以C′F＝2．故直线与平面所成的角的正弦值等于＝．…………15分20．（本题满分15分）（=1\*ROMANI）．…………6分（Ⅱ）设，则函数g(x)在单调递减，且，，所以存在，使g(x0)＝0，即，所以x0＋1－(2x0＋1)lnx0＝0，所以f′(x)＝0，且f(x)在区间(0，x0)单调递增，区间(x0，＋∞)单调递减．所以f(x)≤f(x0)＝＝． …………15分21．（本题满分15分）（Ⅰ）因为y′＝2x，所以直线AB的斜率k＝y′＝2x0．所以直线AB的方程y－x0＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－． …………6分（Ⅱ）由题意得，点B的纵坐标yB＝－，所以AB中点坐标为．设C(x1，y1)，G(x2，y2)，直线CG的方程为x＝my＋x0．由，联立得m2y2＋(mx0－1)y＋＝0．因为G为△ABC的重心，所以y1＝3y2．由韦达定理，得y1＋y2＝4y2＝，y1y2＝3．所以，解得mx0＝．所以点D的纵坐标yD＝，故． …………15分22．（本题满分15分）（Ⅰ）因为c＞0，所以an＋1＝an＋＞an（n∈N*），下面用数学归纳法证明an≥1．①当n＝1时，a1＝1≥1；②假设当n＝k时，ak≥1，则当n＝k＋1时，ak＋1＝ak