《函数的单调性与导数》设计吴师帅

《函数的单调性与导数》教学设计吴师帅一、教学目标：知识与技能：（1）了解可导函数的单调性与其导数的关系；（2）能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。过程与方法：发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力。情感态度与价值观：通过例题与练习的训练，时养成勤学严谨的学习习惯。二、重点与难点：利用导数研究函数的单调性，会求多项式函数的单调区间三、学法与教学用具：1、通过对本节知识的探究与学习，感知用导数解决函数单调性的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法；2、教学用具：Hiteach软件、电子反馈器、实物投影仪、粉笔、黑板．四、教学过程：（一）创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用．（二）新课讲授1．问题：图（1），它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像，图（2）表示高台跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：运动员从起点到最高点，离水面的高度随时间的增加而增加，即是增函数．相应地，．从最高点到入水，运动员离水面的高度随时间的增加而减少，即是减函数．相应地，．2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图，导数表示函数在点处的切线的斜率．在处，，切线是“左下右上”式的，这时，函数在附近单调递增；在处，，切线是“左上右下”式的，这时，函数在附近单调递减．请学生利用电子反馈器抢答功能，归纳函数的单调性与导数的关系。结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数．3．求解函数单调区间的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间．【信息技术融合价值体现】借助电子反馈器的抢答功能，调动了学生的积极性，提高学生的专注度，也活跃了课堂气氛。（三）典例分析【例1】已知导函数的下列信息：当时，；当，或时，；当，或时，试画出函数图像的大致形状．解：当时，，可知在此区间内单调递增；当，或时，；可知在此区间内单调递减；当，或时，，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．综上，函数图像的大致形状如图所示．【练习1】在笔记本上书写以下练习的解答过程，并借助实物投影仪展示、讲评。判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）；（2）（3）；（4）解：（1）因为，所以，因此，在R上单调递增，如图（1）所示．（2）因为，所以，当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减；函数的图像如图（2）所示．（3）因为，所以，因此，函数在单调递减，如图（3）所示．（4）因为，所以．当，即时，函数；当，即时，函数；函数的图像如图（4）所示．【信息技术融合价值体现】借助实物投影仪展示学生的解答过程，让学生之间相互交流和借鉴，并养成规范书写的习惯。【例2】求证：函数在区间内是减函数．证明：因为当即时，，所以函数在区间内是减函数．归纳小结：证明可导函数在内的单调性步骤：（1）求导函数；（2）判断在内的符号；做出结论：为增函数，为减函数．【练习2】学生用电子反馈器作答提交已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（）．B.C.D.解：，因为在区间上是增函数，所以对恒成立，即对恒成立，解之得：所以实数的取值范围为．故选C。说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．【信息技术融合价值体现】根据电子反馈器收集的学生作答时间和准确率，发现大部分学生对利用导数解决函数单调性问题方向较为明确，会使用相应的公式解决问题，但作答时间的差异反映了一部分学