二次函数专题复习

二次函数专题复习考点一二次函数的概念一般地，如果y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a*0）,那么y叫做x的二次函数.注意：（1）二次项系数aw。；（2）ax2+bx+c必须是整式；（3）一次项可以为零，常数项也可以为零，一次项和常数项可以同时为零；（4）自变量x的取值范围是全体实数.考点二二次函数的图象及性质二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a/0)图象r\(a>0)/(a<6)开口方向开口向上开口向下对称轴直线x=--2a直线x=一］2a顶点坐标b4ac—b2一,2a 4ab4ac—b2一,2a 4a增减性当x<—Tb■时，y随x的增大而减小；2a当x>—7b■时，y随x的增大而增大2a当x<一1■时，y随x的增大而增大；2a当x>—A时，y随x的增大而减小2a最值当x——时，y有年小值/2a - 4a当x=—2时，y有最大值普产22a - 4a考点三 二次函数图象的特征与 a,b,c及b2—4ac的符号之间的关系项目字母字母的符号图象的特征a开口向上a<0开口向下b6-0对称轴为［轴（I1与u同号）对称轴在了轴左侧4V1“h与a异号，对称轴在丫轴右侧t'=O经过原点cc>0与》轴正半轴相交VO与了轴负半轴相交b'—1(r=0与T轴有喀一交点/顶点）廿一4ck00与上轴有两个交点j—』mVU与之他没有交点

考点四二次函数图象的平移则图象的形状和大小都抛物线y=ax2与y=a(x—h)2,y=ax2+k,y=a(x—h)2+k中间相同,相同，只是位置的不同.它们之间的平移关系如下表：则图象的形状和大小都上加广必-4了上加广必-4了向右与£,左容色不移生4-单位考点五二次函数关系式的确定一般式：yax2bxc.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.2(2)顶点式：yaxh2k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式 .(3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2,通常选用交点式： yaxx1xx2考点六二次函数与一元二次方程的关系.二次函数y=ax2+bx+c(a*0),当y=0时，就变成了ax2+bx+c=0(aw0)..ax2+bx+c=0(aw0)的解是抛物线与x轴交点的横坐标..当A=b2—4ac>0时，抛物线与x轴有两个不同的交点；当 A=b2—4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点；当 A=b2-4acv0时，抛物线与x轴没有交点.2.抛物线y3(x1) 2的对称轴是(D.x2A.x1 B.x1C.xD.x2 _2一一一.，.一.抛物线y(x2) 3的顶点坐标是( )A.(2,3) B.(—2,3)A.(2,3) B.(—2,3)3.(2009年泸州)所得图象的解析式为在平面直角坐标系中,C.(2,—3)D.(-2,—3)将二次函数y2x2的图象向上平移2个单位,一2一 一2一一2一 一2一y 2x 2 B.y 2x 2~ 一2 ~ 2C. y 2(x 2) D,y 2(x 2)类型一：二次函数的图象1.(2012?泰安)二次函数y=a(x+m)2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过( )A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限2.(2011?湘潭)在同一坐标系中,一次函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图象可能是(

（2010?达州）抛物线图象如图所示，根据图象，抛物线的解析式可能是（A.y=x2-2x+3B.y=-x2-2x+3 C.y=-x2A.y=x2-2x+3B.y=-x2-2x+3 C.y=-x2+2x+3 D.y=-x2+2x-3y=x2-2x-3的图象如图所示.当y<0时，自变量x的取值范围是A.-1<x<3B,xv-1C.x>3D.xv-3或x>35.已知函数y1=x2与函数1y2=--x+3的图象大致如图.若2y1<y2,则自变量xA.-1<x<3B,xv-1C.x>3D.xv-3或x>35.已知函数y1=x2与函数1y2=--x+3的图象大致如图.若2y1<y2,则自变量x的取值范围是-3<x<22- 3x>2或xv——23D.xV-2或x>一2类型二：二次函数的性质（2010?兰州）二次函数y=-3x2-6x+5的图象的顶点坐标是（(-1,8)(2010?毕节地区)(1,8)

已知抛物线 y=-2(-1,2)D.(1-4)（x-3）2+5,则此抛物线（A.开口向下,C.最小值为对称轴为直线 x=-3B.顶点坐标为（-3,5)D.当x>3时y随x的增大而减小（2012?德阳）设二次函数y=x2+bx+c,当x<1时，总有y>0,当1WxW3时，总有y<0,那么c的取值范围是（031Wcw3031Wcw3c<3类型三：二次函数的增减性12 51类型三：二次函数的增减性12 51.已知函数y-x3x一，设自变量的值分别为

2 2x1，x2x3,且-3<x1<x2<x3,则对应的函数值的大小关系是（A.丫322>丫1 B.D.丫1>丫A.丫322>丫1 B.D.丫1>丫3>丫22.小明从右边的二次函数出了下面的五条信息:y0,⑤当0为丫3<丫201C丫2<丫301aa0,②c0,的个数为（A.2C.4A.2C.4D.5..13 5、.若A(—,..13 5、.若A(—,y1),B(1,y2),C(a,y3)的为二次函数y4 32x4x5的图像上的三点，则yi,y2,y3的大小关系是（A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1 C.y3<y1<y2D.y2<yi<y3.从y=x2的图象可看出，当一3WxW—1时，y的取值范围是5.小颖在二次函数y=2x25.小颖在二次函数y=2x2+4x+5的图象上，依横坐标找到三点y1)1(2丫2),（―3—,y3）,则你认为y1，y2,y3的大小关系应为（2C.y3>yi>y2D.y3>y2>yiA.y1>y2C.y3>yi>y2D.y3>y2>yi二、利用二次函数图象判断 a,b,c的符号【例2】如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点且与y轴交于负半轴.⑴给出四个结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a+b+c=0,其中正【例2】如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点且与y轴交于负半轴.⑴给出四个结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a+b+c=0,其中正确结论的序号是⑵给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0；③a+c=1；④a>1.其中正确结论的序号是变式训练,已知二次函数y=ax2+bx+c（aw0）的图象如图所示，有下列结论:①b2—4ac>0；②abc>0；③8a+c>0；④9a+3b+c<0.其中，正确结论的个数是 ( ).A.1B.2C.3D.4（2012?玉林）二次函数y=ax2+bx+c（aw0）的图象如图所示，其对称轴为直线x=1,有如下结论：①cv1;②2a+b=0;③b2〈4ac;④若方程ax2+bx+c=0的两根为(—1,2)和(1,0),则正确的结论是（A.①②B.①③C.②④D.③④x1,x2,（2012?威海）已知二次函数y=ax（2012?威海）已知二次函数y=ax2+bx+c（aw0）的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）A.abc>0 B.3a>2bC.m(am+b)<a-b(m为任意实数)D.4a-2b+cv0y=axA.abc>0 B.3a>2bC.m(am+b)<a-b(m为任意实数)D.4a-2b+cv0y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息:(1)b2-4ac>0;(2)c>1;(3)2a-bv0;(4)a+b+cv0.你认为其中错误的有( )A.2个B.3个C.4个D.1个四、确定二次函数的解析式【例】已知一.抛物线与x轴的交点是A(—2,0),B(1,0),且经过点C(2,8).(1)求该抛物线的表达式；(2)求该抛物线的顶点坐标..在直角坐标系中，△AOB勺顶点坐标分别为A(0,2),O(0,0),B(4,0),把4AO啜O点按逆时针方向旋转900到△COD(1)求C,D两点的坐标；(2)求经过C,D,B三点的抛物线解析式。3、如图，抛物线y=°x2+bx—2与x轴交于AB两点，与y轴交于C点，且A(—1,0).2⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标;⑵判断△ABC勺形状，证明你的结论;.如图，抛物线的对称轴是直线x=1,它与x轴交于A,B两点，与y轴忒

3点A,C的坐标分别是(一1,0),(0,—)。2(1)求此抛物线对应的函数解析式；(2)若点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点，求4ABP的面积的最大值。.已知直线y=—2x+b(bW0)与x轴交于点A,与y轴交于点B;一抛物线的解析式为 y=x2—(b+10)x+c.⑴若该抛物线过点 B,且它白^顶点P在直线y=—2x+b上，试确定这条抛物线的解析⑵过点B作直线BdAB交x轴于点C,若抛物线的对称轴恰好过 C点，试确定直线y=-2x+b的解析式.4.已知抛物线y=(1-m)x2+4x-3开口向下，与x轴交于A(xi,0)和B(x2,0)两点，其中xi<x2.(1)求m的取值范围；(2)若xi2+x22=10,求抛物线的解析式，并在给出的直角坐标系中画出这条抛物线；5.如图，等腰梯形ABCD5.如图，等腰梯形ABCD勺边BC在x轴上,正方向上，A0,6)D正方向上，A0,6)D(4,6),且AB=2^1Q.(1)求点B的坐标；(2)求经过ABD三点的抛物线的解析式;(3)在(2)中所求的抛物线上是否存在一点该点坐标，若不存在，请说明理由 .… 1 升―、…,P,使信Sapbd=2S梯形abcd)右存在，用求出中考压轴题分析：3一.如图，直线y--xJ3分别与x轴、y轴交于点AB,。E经过原点。及A、B两点.3C是OE上一点，连结BC交OA于点D,若/COD=/CBQ求点A、B、C的坐标；(2)求经过OC、A三点的抛物线的解析式：PA与。E的位置关系，并说明理由.(3)若延长BC到P,使DP=2,PA与。E的位置关系，并说明理由..如图，抛物线顶点坐标为点 C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B(1)求抛物线和直线AB的解析式；PA,PB,当P点运动到顶点C时，求4PA,PB,当P点运动到顶点C时，求4CAB的铅垂高CD及比也;(3)在(2)(3)在(2)中是否存在