洁具地时间与水流问题

实用文案延安职业技术学院第二届大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则 .我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的 ,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）：C我们的参赛报名号为： yapt5806所属系部（请填写完整的全名）： 化工化学系参赛队员 (打印并签名)：1.董团部 ，所在班级：10级应用化工技术专业赵康，所在班级：10级应用化工技术专业娄丹莹，所在班级：10级煤化工技术专业指导教师 (2名)： 高治原标准文档实用文案日期： 2011 年 9 月 2 日论文：洁具流水时间设计问题摘要本问题是洁具流水时间的设计问题，把一个人使用洁具的全过程所需时间：(T)以及用水量(Q)的最小值作为优化模型的目标函数，在问题一中我们通过正态分布对所给数据做出验证；以及使用微元法方程列出目标函数，再利用MATLAB语言计算出了两种方案的最短时间 T与最小消耗的水量 Q,即:方案一：Tmin21.7800；Qmin22.2774V；方案二：Tmin18.4300；Qmin35.8865V；通过比较确定了方案一较为合理，得出设计参数T的最优值为21.7800 秒。在问题二中，综合考虑保持清洁、节约能源以及洁具的寿命问题，重新设计方案，标准文档实用文案弥补了方案一的不清洁问题以及方案二的能源浪费问题， 再做出进一步拓展，最终使洁具的排除污物速率系数 k（优化系数）达到一定值。关键词：正态分布、平均值、标准方差、流水时间、微元方程、理想化模型问题重述我国是个淡水资源相当贫乏的国家，因此某洁具生产厂家打算开发一种男性用的全自动洁具，它的单位时间内流水量为常数 v，为达到节能的目的，在使用者开始使用洁具时，受感应洁具以均匀水流开始放水，持续时间为 T，然后自动停止放水的前提下，有以下两种方案可供采用。方案一：若使用时间不超过 T-5秒，则只放水一次，若超过，则在使用者离开后再放水一次，持续时间为 10秒。方案二：若使用时间不超过 T-5秒，则只放水一次，若超过，则到 2T时刻再开始第二次放水，持续时间也为 T。但若使用时间超过 2T-5秒，则到4T时刻再开始第三次放水，持续时间也是 T⋯⋯在设计时，为了使洁具的寿命尽可能延长，一般希望对每位使用者放水次数不超过 2次。该厂家随机调查了 100人次男性从开始使用到离开洁具为止的时间 (单位：秒)见下表：标准文档实用文案时间（s）12131415161718人次1512601363问题一：根据所给数据确定两种方案从节能的角度考虑哪个更合理， 并为该厂家提供在这种方案中能达到最大限度节约水、 电的设计参数 T（秒）的最优值。问题二：从既能保持清洁又能节约能源的角度考虑，提出更好的设计方案，并通过建立数学模型与前面的方案进行比较。符号说明q— 每位使用者每次消耗的水量Q—平均每位使用者每次消耗的水量t—使用者每次使用的时间V—是指单位时间内流水量T—使用洁具后持续放水的时间（ s）n—为使用洁具的人次数— 为i人使用洁具的标准方差标准文档实用文案— 为i 人使用洁具的平均值（问题一）模型假设1.假设该问题中的用水量与用电量成正比关系；时间与水流量成正比关系；2.假设所给的表中的数据真实可信，且这些数据服从正态分布 N（ ? 2）；3.假设每套洁具在使用时都能正常工作；4.假设在使用过程中水流均匀，并且在流水过程中单位时间内流出的数量是常数；5.假设除了以上影响因素外，不考虑其他干扰因素。模型建立与求解方案一：用表中所给数据根据 公式：①、②计算出每个人使用洁具全过程所用时间的平均值、标准方差如下所示：100xxi①i11100x)(xi②99i1解得： 15.090 ； 1.0259根据该题所给表中数据可得出该问题服从正态分布，则有使用洁具者 (n)人次的标准文档实用文案时间（T）及用水量（q）的方程式如下所示：VT,0tT5q10V,tT5VTqVTVT+10Vpn(7-5)1-n(T-5)注：p为改正态分布的数值。再由Q的方程式得出n人次使用洁具所用时间的积分方程和使用洁具的用水量方程，如③、④式所示：1T(x)2nTexp()dx③222QnVT(T5)(VT10V)[1n(T5)]④V[T1010n(T5)]再根据③、④两式得出下列的微元方程以使用洁具的最短时间及最少用水量为优dQ化目标：则令 0dQ[110n(T5)]VdT即：V[110exp((T5)2222)]0⑤由⑤式计算得出Tmin、Qmin的方程值为：Tmin522ln(2)10Qmin V[Tmin 1010n(Tmin 5)]将该公式编辑成 MATLAB程序运算得:Tmin 21.7800 ；Qmin 22.2774标准文档实用文案方案二：根据题中所给条件计算出每人次使用洁具的全过程所需最短时间 (T)以及所用最少水量(Q)：VT,0tT52VT,T5t2T5q3VT,2T5t3T5iVT,(i 1)T 5 tiT 5下表是n人次使用洁具用水量的概率分布：q VT 2VT 3VT ⋯.p n(T-5) n(2T-5)n(T-5) n(3T-5)n(2T- ⋯.5)根据以上条件，对n人次使用洁具所用时间(Tmin)用积分方程及n人次使用洁具的用水量(Qmin方程如下⑦、⑥式所示：)T2f(Tmin)1exp((x))dx⑥22n人次的使用洁具所用水次数不超过 2次则有：QminV[Tn(T5)2T(n(2T5)n(T5))]⑦以每位使用洁具者平均所用时间及平均每次消耗的最少水量为优化目标，则令：dQ0，可得出T的值，T的最优值为下列方程的正根（注：每人次使用dT洁具的时间T不可能为负值）。dQV[n(T5)Tn'(T5)2(n(2T5)n(T5))2T(2n'(2T5)n'(T5))]dTV[2n(2T5)n(T5)4Tn'(2T5)Tn'(T5)]标准文档实用文案即：2n(2T5)n(T5)4Tn'(2T5)Tn'(T5)0⑧将⑧式编成MATLAB程序，运算得出：Tmin18.4300；Qmin35.8865V综上可知：比较方案一与方案二可所计算出的 Tmin、Qmin 可得出，使用第一种方案很明显比第二种方案要好的多。（问题二）模型的假设1.假设在使用洁具时单位时间内注入的污物为一常量 k1；2.假设洁具的流水量在单位时间内与洁具中污物的剩余量成正比；3.假设水流将洁具中的剩余的污物量除尽（小于 0.03）为止；4.假设在不考虑其他干扰因素；符号说明T0—每人次使用结局的平均时间b—洁具附着污物的最初量—t时刻洁具中污物的剩余量k—洁具的排除污物速率系数（最终优化系数 ）模型的建立与求解标准文档实用文案首先对洁具的使用时间分成两个阶段。第一阶段：使用洁具与洁具放水同时进行，在[t，t+dt]时间内洁具中污物量的变化，及此时污物的量为k1dt，水流除去污物量为kf(t)dt。则有：dfkikfdtbf(0)解：f(t)k1bkk1ekt（0tt0）kk第二阶段：待使用者离开后，洁具再次放水，直到除去污物 (小于0.03)为止：则有dfkft相应的微分方程为：k1bkk1ekTOf(T)0kk解得：f(t)(bkk1k1ekT0)ekt，（tTO）⑨kk以f(t)b为前提则，上式成立，k的值成立。将问题（1）中较优情况t=22.2774，以及TO15,K1100代20,b=0.035入上⑨式，编辑程序用MATLAB可算出k=0.91。在没有考虑到压力的大小，该模型中b值越小，清洁程度越高，所用时间越长，所以，对问题做出进一步的拓展问题二的拓展标准文档实用文案在问题一中的原有出水速率不，以缩短使用者在两个阶段对洁具的使用时间为优化目标进行研究：模型假设：1.假设在第一阶段的放水时间 t15s是给定值；2.假设在第二阶段的放水时间 ti(13—15)s内不等；3.假设洁具贮藏装置内的水压力与洁具出口的水流速成正比， 在这种情况下可将污物除去99.8%以上；4.假设水流速度一定，不考虑其他因素的干扰；模型的建立与求解：以下所建模型，仅供在洁具生产时对洁具的控制器参数进行调整：Tf t1 ti(13 ti 15)Qf Tf *VTf的范围是[18，20]Qf的范围是[18V ，20V]在这两个数值范围内的两端极值的误差为 0.2%在对洁具器生产过程中，通过以上三个模型的对比将结局的参数调整在 Tf、Qf的范围内应该是最优参数，可应用生产该洁具。模型的评价与推广在此模型中我们巧妙的使用了正态分布与微元法方程对所给数据进行分析并列出了目标函数，再通过使用 MATLAB语言计算出了方案中的最短时间 T与标准文档实用文案最小消耗的水量 Q,比较两种方案中的 T、Q确定了较合理的方案。我们还利用所学知识针对题中两个方案不合理的地方进行了近一步的改进， 建立了一个新的方案，并对此方案进行了拓展，此拓展可以在洁具生产以洁具内蓄水后压力的大小对洁具的控制器参数进行调整，使洁具能够在短时间内除污物99.8%以上，既保持又节省能源。该建模型美中不足的是在单位时间内注入的污物为一常量 k1，流