无定向导线的平差计算及精度

无定向导线的计算及精度分析[摘要]：本文结合公式推导介绍了无定向导线的计算方法、平差原理及精度分析，并且通过与单一附合导线进行精度分析比较后提出无定向导线在实际应用中应注意的问题。[关键词]：无定向导线；计算；精度；应用0引言在测量工作中，由于光电测距技术的发展，导线测量已成为布设平面控制测量的主要方法。但是有时由于条件的限制，在起始于两个高级点的附合导线端点上无法观测方位连接角，即没有起始方位角，我们称之为无定向导线。利用这种导线解决低等平面控制测量的困难较为方便。以下结合公式推导来介绍无定向导线的计算及其应用。1计算方法及平差原理1.1计算方法如图一，设M(1)、N(n+1)为两个已知坐标点，2、3、…、n为无定向导线的待求点，观测了s1、s2、…、sn共n条边和2、3、…、n共（n-1）个方向角。当导线用于测图控制时，一般采用近似平差，仿照线形锁的计算法，先假设起始边方位角为1，以M点为起算坐标点，按支导线法推算出终点N的假坐标，利用M点和N点的真假坐标按坐标反算计算出MN的真方位和假方位并求出真假方位角的差值，再计算真方位角，最后计算各待求点的真坐标，这是常用的方法。另外，还可以按照坐标换算公式来计算，如图二，可以看出：（1）i=1+180(n-1)+i（2）式中XM、YM；XN、YN为起终点坐标，i为各条导线边的方位角。将(2)代入(1)整理后得：（3）结合图二可以看出：（4）其中：1=s1，1=0；2=-s2×cos2，2=-s2×sin2；3=s3×cos(2+3)，3=s3×sin（2+3）；…n=sn×cos（2+3+…+n），n=sn×sin（2+3+…+n）。可以简化为：（5）在（5）式中对导线的奇数边、取正号，偶数边取负号。解（3）式可以求得：（6）根据（3）式，对于导线上的任一点可以得出求坐标增量的一般公式：（7）（3）式是当坐标原点重合时的坐标转换公式，为假定坐标系中的纵坐标，为横坐标（如图二）。求出i、i、1后按坐标转换公式求出坐标增量和各点的坐标。1.2平差原理根据图二可以得到如下恒等式：（8）根据（8）式可以列出条件方程式：（9）上式中、为按观测值计算出的、值。、为、的改正数，=²＋²－S²为法方程自由项，组成法方程式解得：（10）按、的绝对值计算、的改正数：（11）求出、、、的最终值：（12）最后，由、计算cos1、sin1，再由(7)式计算各点的坐标增量和各点的最终坐标值。2无定向导线精度分析经过实践，无定向导线的计算是比较方便，也解决了具体工作中的不少困难，但它的精度到底如何，以下通过与单一附合导线进行比较来分析无定向导线的精度情况。如图一，为了方便推导公式，以M点为坐标原点，以导线的方向MN作为X轴，采用带有未知数的条件平差。根据图一可以看出有纵横坐标条件和方位角未知数,可以列出带有未知数的条件方程式:（13）式中、，、为条件方程式边长、角度改正数的系数，而且，si=cosi，ßi=yi/，si=sini，ßi=(XN－xi)/；、、分别为边长、角度、未知数的改正数，、为纵、横坐标的闭合差。以等边直伸导线为例，条件方程式（13）的系数如下：代入（13）式得到等边直伸导线带有未知数的条件方程式：（14）利用联系数，由条件方程式（14）可组成法方程式：用等边直伸导线条件方程式的系数求法方程的系数得到：代入得等边直伸无定向导线的法方程式：(15)现在利用上述平差计算公式来推导等边直伸无定向导线的精度估算公式。根据平差值权函数式一般式：得到平差值函数的权倒数为：(16)用等边直伸无定向导线条件方程系数及法方程系数代入得：(17)将（17）代入（16）后得平差值函数权倒数为：(18)以下根据(18)式分别推导等边直伸无定向导线方位角及纵、横坐标的权倒数公式来进行精度估算。2.1方位角精度估算导线任意边方位角权函数式为：考虑(14)式得：[f]=0[f]=s/2ρ(i-1)(2n-i)[ff]=i-1f=1代入(18)式得任意边方位角权倒数：=（19）(19)式中，当i=1或i=n时，1/Pi有最大值，即==（20）对(19)式求一阶导数并令其等于0得：2i-(n+1)=0,即当i=(n+1)/2时，有最小值=(n-1)(2n-1)/6n-(n-1)²/4n（21）从（20）、(21)式可以看出，无定向导线的端边方位角最弱，中央边方位角精度最高。2.2任意点纵向坐标精度估算导线任意点纵坐标权函数式为：Xi+1=cosi·Si=Si考虑（14）式得，[f]=i,[f]=0,[ff]=i,f=0,代入（18）式得平差后任意点纵坐标的权倒数公式：=i-（22）当i=0或者i=n时，权倒数有最小值==0（23）对(22)式求一阶导数并令其等于0，则有1-=0，即i=时，权倒数最大：=（24）从（23）、（24）式可以看出导线中点纵向误差最大，导线端点纵向误差最小。2.3任意点横向坐标精度估算导线任意点横坐标的权函数公式为：VYi+1=Vi+V1,考虑(14)式得:,[f]=0,[f]=,f=。代入18式得平差后导线点横坐标权倒数:=（25）当i=0或i=n时，权倒数有最小值0，即==0（26）当i=时，（25）式有最大值=（27）从(26)、(27)式可以看出导线中点横向误差最大,近端点处横向误差最小。3与单一附合导线精度的比较3.1最弱边方位角权倒数比较单一附合导线最弱方位边在导线的端边,其权倒数为:=（28）两种导线最弱边方位角权倒数之比为:k=/=4-（29）由(29)式可以看出比值k随着n的增大而增大,即为了提高精度，应尽量减少边数，布设长边导线。3.2最弱点纵向权倒数比较单一附合导线纵向最弱点在导线的中点，其权倒数为:=（30）两种导线纵向最弱点权倒数之比为:k=/=1（31）由（31）式可以看出两种导线的纵向误差是相同的。3.3最弱点横向权倒数比较单一附合导线横向最弱点也在导线的中点，其权倒数为:=（32）两种导线纵向最弱点权倒数之比为:k=/=（33）由（33）式可以看出比值k随着n的增大而增大