第四章组合投资理论

2023/2/1西南财经大学金融学院1第四章投资组合理论与实践从历史数据中学习收益与风险风险与风险厌恶优化风险投资组合：组合投资理论、

教材5-7章2023/2/1西南财经大学金融学院2学习目标学会测度单一资产及资产组合的收益与风险，并理解风险-收益权衡、“没有免费午餐”的理念。掌握组合可以降低风险的基本原理和推导，理解投资者效用函数的构成，在此基础上认识投资者如何构造最优投资组合。第一节从历史数据中学习收益与风险利率水平的决定因素不同持有期收益率的计算风险与风险溢价历史收益率数据的时间序列分析利率水平的决定因素供给家庭部门需求企业政府的净供给或净需求5-5实际利率和名义利率名义利率:资金量增长率实际利率:购买力增长率设名义利率为R,实际利率为r，通货膨胀率为i，那么：费雪效应：近似名义利率=实际利率+通胀率R=r+iorr=R-i例子：r=3%,i=6%R=9%=3%+6%or3%=9%-6%费雪效应：精确

r=(R-i)/(1+i)

2.83%=(9%-6%)/(1.06)实证关系：

通胀率与利率水平同步变动实际利率与名义利率5-7税收与实际利率税赋是基于名义收入的支出假设税率为(t)，名义利率为(R),则税后名义利率是:税后实际利率随着通货膨胀率的上升而下降。

HPR：持有期收益P0

：期初价格P1

：期末价格D1

：期间股利持有期收益率:单期期末价格= 48期初价格= 40股利= 2HPR=(48-40+2)/(40)=25%单期持有期收益：例子收益率计算：不同持有期实际（有效）年利率：EAR复利年度百分率：APR单利连续复利率5-11比较不同持有期的收益率零息债券,面值=$100,T=持有期,P=价格,rf(T)=无风险收益率5-12例5.2年化收益率5-13公式5.7有效年利率有效年利率的定义:一年期投资价值增长百分比5-14公式5.8年化百分比利率年化百分比利率:年度化的简单利率5-15表5.1有效年利率与年化百分比利率1)均值:最可能取值2)方差或标准差3)偏度4）峰度*正态分布：一、二阶矩历史收益率：分布p(s)：状态的概率r(s)：各状态下的收益1-s种状态期望收益

State

Prob.ofState rinState .1 -.05 2 .2 .05 3 .4 .15 4 .2 .25 5 .1 .35E(r)=(.1)(-.05)+(.2)(.05)...+(.1)(.35)E(r)=.15期望收益：例子Var=[(.1)(-.05-.15)2+(.2)(.05-.15)2...+.1(.35-.15)2]Var=.01199S.D.=[.01199]1/2=.1095前例：收益的方差或离散历史收益率的时间序列分析期望收益：从历史样本中计算算术平均收益率几何平均收益5-21几何平均收益TV=终值g=收益率的几何平均值5-22方差和标准差公式方差=离差平方的期望值5-23方差和标准差公式当消除偏差时，方差和标准差的计算公式为:5-24收益波动性（夏普）比率投资组合的夏普比率:5-25正态分布如果收益率的分布可以用正态分布来近似拟合的话，投资管理将变得更加容易。当风险收益对称时，标准差是一个很好的衡量标准。如果各个资产的收益具有正态分布，那么其组成的投资组合的收益也服从正态分布。可以仅使用均值和标准差来估计未来的情境。5-26图5.4正态分布5-27偏离正态分布和风险度量如果超额收益偏离了正态分布怎么办?标准差不再是一个衡量风险的完美度量工具夏普比率不再是证券表现的完美度量工具需要考虑偏度和峰度5-28偏度和峰度偏度公式5.19峰度公式5.205-29图5.5A正态和偏度分布5-30图5.5B正态和肥尾分布(均值=.1,标准差=.2)5-31在险价值(VaR)度量一定概率下发生极端负收益所造成的损失。在险价值是一个概率分布小于q%的分位数。从业者通常估计

5%的在险价值,它表示当收益率从高到低排列时，有95%的收益率都将大于该值。5-32预期尾部损失(ES)也叫做条件尾部期望(CTE)对下行风险的衡量比在险价值更加保守在险价值是最差情形下的最好收益率预期尾部损失是最差情形下的平均收益率5-33下偏标准差(LPSD)与索提诺比率问题:需要独立的考察收益率为负的结果需要考察收益对无风险利率的偏离下偏标准差:类似于普通标准差，但只使用相对于无风险收益率rf负偏的那些收益率。索提诺比率是夏普比率的变形。5-34风险组合的历史收益收益呈现正态分布在最近的半个周期收益很低(1968-2009)小公司股票的标准差变得很小;长期债券的标准差变得很大。5-35风险组合的历史收益好的多元化投资组合的夏普比率比较高。负偏度5-36图5.71900~2000年各国股票的

名义和实际收益率5-37图5.81900~2000年各国股票和债券

实际收益率的标准差5-38图5.925年后投资回报的概率分布

服从对数正态分布5-39连续复利终值当一项资产每一期的复利都服从同一正态分布时，其有效收益率将服从对数正态分布。终值将是:5-40图5.10按年复利累计，25年持有期收益率5-41图5.11按年复利累计，25年持有期收益率5-42图5.12部分大盘股组合的财富指数

和短期国库券组合的财富指数2023/2/1西南财经大学金融学院43资产的风险与收益风险偏好与效用函数第二节风险与风险厌恶6-44风险资产配置投资者一般会规避风险除非风险意味着更高的收益。用效用模型可以得出风险组合和无风险组合之间的资本最优配置。2023/2/1西南财经大学金融学院45单一资产的收益与风险

单一资产的收益1、一般投资收益率任何一项投资的结果都可用收益率来衡量，通常收益率的计算公式为：收益率（%）=（收入—支出）/支出×100%投资期限一般用年来表示，如果期限不是整数，则转换为年。2023/2/1西南财经大学金融学院46单一资产的收益与风险

2、期望收益率在通常情况下，收益率受许多不确定因素的影响，因而是一个随机变量。未来不确定因素的影响使得投资者不可能对未来一定时期内的收益率作出准确判断。投资者可以对收益率介于某个范围(或者某个值)的可能性作出估计，得到关于收益率的某种概率分布。2023/2/1西南财经大学金融学院47单一资产的收益与风险一个例子：W=100W1=150Profit=50W2=80Profit=-20p=.61-p=.4E(W)=pW1+(1-p)W2=6(150)+.4(80)=1222023/2/1西南财经大学金融学院48单一资产的收益与风险

一般地，期望收益率的计算公式为：收益率…概率…2023/2/1西南财经大学金融学院49单一资产的收益与风险

（三）单一资产的风险投资者的实际收益率与期望收益率的偏差就是风险。可能的收益率越分散，它们与期望收益率的偏离程度就越大，投资者承担的风险也就越大。风险的大小由未来可能收益率与期望收益率的偏离程度来反映。在数学上，这种偏离程度由方差或标准差来度量。2023/2/1西南财经大学金融学院50单一资产的收益与风险一个例子：W=100W1=150Profit=50W2=80Profit=-20p=.61-p=.4E(W)=pW1+(1-p)W2=6(150)+.4(80)=122s2=p[W1-E(W)]2+(1-p)[W2-E(W)]2= .6(150-122)2+.4(80=122)2=1,176,000 s=34.2932023/2/1西南财经大学金融学院51单一资产的收益与风险

一般地，风险的计算公式为：收益率…概率…2023/2/1西南财经大学金融学院52单一资产的收益与风险

比较：W1=150Profit=50W2=80Profit=-20p=.61-p=.4100风险资产无风险资产Profit=5E(风险资产)=22E(无风险资产)=5s(风险资产)=34.293s(风险资产)=0风险溢价=172023/2/1西南财经大学金融学院53风险偏好与效用函数

1、投机与赌博投机是指承担一定的风险来获得相应的报酬，其目的是获得风险溢价。缔约方具有“异质预期”。赌博是指为不确定的结果打赌，其承担风险的目的是获得乐趣。缔约方对事件结果发生的概率认识相同。公平游戏：预期收益为零2023/2/1西南财经大学金融学院54风险偏好与效用函数

2、风险偏好的类型：

风险厌恶：要求正的风险溢价，即承担风险要求获得风险报酬。不会参与公平游戏或赌博。风险中立：不关心风险，只以收益作为决策的依据。风险爱好：不要求正的风险溢价，以承担风险本身来获得满足。会参与公平游戏或赌博。6-55风险厌恶和效用价值投资者将考虑:无风险资产有正的风险溢价的投资品投资组合的吸引力随着期望收益的增加和风险的减少而增加。收益与风险同时增加是会怎么样呢？6-56表6.1可供选择的风险资产组合

(无风险利率=5%)投资者会根据风险收益情况为每个资产组合给出一个效用值分数。6-57效用函数U=效用值E(r)=某一资产或资产组合的期望收益A=风险厌恶系数s2=收益的方差½=一个约定俗成的数值

6-58表6.2几种投资组合对不同风险厌恶水平

投资者的效用值6-59均值-方差(M-V)准则假设投资组合A优于投资组合B:与6-60估计风险厌恶系数使用调查问卷观察面对风险时个人的决定观察人们愿意付出多大代价来规避风险2023/2/1西南财经大学金融学院61无差异曲线

（1）、定义：给定投资者的风险偏好，在期望收益-风险坐标图中，将具有相等效用价值的所有资产（组合）连结起来的曲线。2023/2/1西南财经大学金融学院62无差异曲线一个例子：A=4

期望收益

标准差

U=E(r)-.005As2

10 20.0 2 15 25.5 2 20 30.0 2 25 33.9 22023/2/1西南财经大学金融学院63无差异曲线一条无差异曲线期望收益标准差2023/2/1西南财经大学金融学院64无差异曲线无差异曲线的斜率表示风险和收益之间的替代率。斜率越高，表明投资者承担同样大的风险，会要求更高的收益补偿，说明该投资者越厌恶风险；斜率越低，表明该投资者的厌恶风险程度越低。一般情况下，无差异曲线是向下凸的。2023/2/1西南财经大学金融学院65无差异曲线（2）无差异曲线族期望收益标准差效用增加2023/2/1西南财经大学金融学院66无差异曲线任何一个资产组合都将落在某一条无差异曲线上，落在同一条无差异曲线上的组合带来相同的满意程度；落在不同无差异曲线上的组合则带来不同的满意程度。

一个组合不可能同时落在两条无差异曲线上，即任意两条无差异曲线不会相交。位置越高的无差异曲线代表着更高的满意程度，或者说代表着更好的资产组合。

6-67表6.5无差异曲线的数字计算6-68图6.7U=0.05和U=0.09分别对

A=2和A=4的无差异曲线

6-69图6.8用无差异曲线寻找最优组合2023/2/1西南财经大学金融学院70分散化与投资组合风险资产组合收益与风险（两种风险资产的投资组合）证券组合理论模型的假定证券组合的可行域与有效边界最优投资组合的选择组合投资的特点第三节优化风险投资组合2023/2/1西南财经大学金融学院71分散化与投资组合风险

风险的类型：系统性风险，是与市场整体运动相关联的风险；往往使整个一类或一组证券产生价格波动；通常来源于宏观因素变化对市场整体的影响；难以通过证券组合来规避。非系统风险，只同某个具体的股票、债券相关联，而与整个市场无关的风险；通常来源于企业内部的微观因素；可以通过证券组合来规避。

2023/2/1西南财经大学金融学院72风险的规避分散化、套期保值与保险对于非系统风险，可采用分散投资来弱化甚至消除。完全分散化可以消除非系统风险，同时系统风险趋于正常的平均水平——即市场整体水平。7-73分散化与组合风险市场风险系统性风险或不可分散风险公司特有风险可分散风险或非系统风险7-74图7.1组合风险关于股票数量的函数7-75图7.2组合分散化7-76协方差和相关性投资组合的风险取决于投资各组合中资产收益率的相关性。协方差和相关系数提供了衡量两种资产收益变化的方式。7-77两个资产构成的资产组合:收益债券的权重债券的收益率股票的权重股票的收益率资产组合的收益率2023/2/1西南财经大学金融学院78证券组合的收益与风险

注意，证券组合的权重可以为负。比如W1

＜0，则由W1+

W2=1得W2

=1－W1

＞0，表示该投资者不仅将全部资金买入2，而且还做了证券1的空头，并将所得资金也买入证券2。7-79

=基金D的方差

=基金E的方差

=基金D和基金E收益率的协方差两个资产构成的资产组合:风险7-80两个资产构成的资产组合:风险组合方差的另一种表达方式:2023/2/1西南财经大学金融学院81证券组合的收益与风险

证券组合的风险不能简单地等于单个证券风险以投资比重为权数的加权平均数，因为两个证券的风险具有相互抵消的可能性。引入了协方差和相关系数的概念。2023/2/1西南财经大学金融学院82协方差

表示两个随机变量之间关系的变量，它是用来确定证券投资组合收益率方差的一个关键性指标。若以1、2两种证券为例，则其协方差为：

7-83D,E=收益率的相关系数

Cov(rD,rE)=DEDED=基金D收益率的标准差E=基金E收益率的标准差协方差7-841,2值的范围+1.0>

r

> -1.0如果r=1.0,资产间完全正相关如果r=-1.0,资产间完全负相关相关系数:可能的值7-85相关系数当ρDE=1,不受相关性影响当ρDE=-1,完全对冲2023/2/1西南财经大学金融学院86证券组合的收益与风险

σ2P=Cov(rP，rP)=Cov(w1r1+w2r2,,w1r1+w2r2)=w21σ21+w22σ22+2w1w2Cov(r1，r2)=w21σ21+w22σ22+2w1w2ρ12

σ1σ2

上式表明，相关系数会影响组合的方差或标准差当ρ12=1时，σP=w1σ1+w2σ2

当ρ12=-1时，σP=w1σ1

－w2σ2

当ρ12=0时，σP=(w21σ21+w22σ22)1/27-87三种资产的组合2023/2/1西南财经大学金融学院88投资于多种证券的风险7-89表7.2从协方差矩阵计算的

资产组合的方差7-90图7.3组合期望收益关于投资比例的函数7-91图7.4组合标准差关于投资比例的函数7-92最小方差组合最小方差组合由具有最小标准差的风险资产组成，这一组合的风险最低。当相关系数小于+1时，资产组合的标准差可能小于任何单个组合资产。当相关系数是-1时，

最小方差组合的标准差是0.7-93图7.5组合期望收益关于标准差的函数7-94资产相关性越小，分散化就更有效，组合风险也就越低。随着相关系数接近于-1，降低风险的可能性也在增大。如果r=+1.0，不会分散任何风险。.如果r=0，σP

可能低于任何一个资产的标准差。如果r=-1.0，可以出现完全对冲的情况。相关效应7-95马科维茨资产组合选择模型证券选择第一步是决定风险收益机会。所有最小方差边界上最小方差组合上方的点提供最优的风险和收益。2023/2/1西南财经大学金融学院96证券组合理论模型的假定

组合理论的假定：1．投资者认为，每一个投资选择都代表一定持有期内预期收益的一种概率分布。

2．投资者追求单一时期的预期效用最大化，而且他们的效用曲线表明财富的边际效用递减。

3．投资者根据预期收益的变动性，估计资产组合的风险。2023/2/1西南财经大学金融学院97模型的假定

4．投资者完全根据预期收益率和风险进行决策，因此，他们的效用曲线只是预期收益率和预期收益率方差(或标准差)的函数。

5．在特定的风险水平上，投资者偏好较高的收益；在一定的预期收益率水平上，投资者偏好较小的风险。2023/2/1西南财经大学金融学院98证券组合理论模型的假定

关于假定的一些解释：根据4，一种证券和证券组合的特征可以由期望收益率和标准差（或方差）来描述，如果建立一个以期望收益率为纵坐标、标准差（或方差）为横坐标的坐标系，那么任何一种证券或证券组合都可由坐标系中的一个点来表示。根据5，当给定期望收益率时，投资者会选择标准差（或方差）最小的组合；而当给定标准差（或方差）时，投资者会选择期望收益率最高的组合。这被称为资产选择的共同偏好规则。2023/2/1西南财经大学金融学院99证券组合的可行域与有效边界根据模型的假设，任何一种证券或证券组合都可由期望收益—方差坐标系中的一个点来表示。如果任意给定n种证券，那么所有这些证券及由这些证券构成的证券组合将在坐标平面上构成一个区域，称为可行域。投资者共同偏好规则会导致所谓有效边界的产生（所有投资者都按均值—方差原则来进行证券组合的选择）。2023/2/1西南财经大学金融学院100证券组合的可行域与有效边界（一）证券组合的可行域（机会集）1、两种证券组合的可行域E(rp)=W1r1+

W2r2p2

=w1212+w2222+2W1W2Cov(r1r2)由上两式组成的方程组在E（rp）—σP坐标系中确定了一条经过1点和2点的曲线，这条曲线称为证券1与证券2的结合线。由1和2构成的所有证券组合都位于这条曲线上，这条曲线就是1、2两种证券组合的可行域。2023/2/1西南财经大学金融学院101证券组合的可行域与有效边界=113%%8E(r)St.Dev12%20%=.3=-1=-112证券1和证券2的组合可行域2023/2/1西南财经大学金融学院102证券组合的可行域与有效边界

证券1与证券2的结合线在一般情况下是一条双曲线。其弯曲程度决定于这两种证券之间的相关性ρ12。结合线的弯曲程度随着ρ值的下降而加大。ρ12=1时为一条直线，而ρ12=—1时成为一条折线。如果允许卖空，则由证券1、2构成的证券组合有可能位于1、2连线的延长线上。2023/2/1西南财经大学金融学院103证券组合的可行域与有效边界

证券组合的可行域与有效边界E(r)有效边界全域最小方差组合最小方差边界单个资产St.Dev.2023/2/1西南财经大学金融学院104证券组合的可行域与有效边界

有效边界是一条向右上方倾斜的曲线，它反映了“高收益，高风险”的原则；有效集是一条向上凸的曲线；有效集曲线上不可能有凹陷的地方（凸性）图中，单个资产位于有效边界以内，这表明，风险资产组合中只包含单一证券是无效率的，分散化投资能够带来更高的收益和更低的风险。2023/2/1西南财经大学金融学院105最优投资组合的选择

根据模型的假定，所有投资者都会遵循均值—方差原则来选择证券或证券组合。有效边界上的组合都满足均值—方差原则，因而，投资者会选择有效边界上的证券组合，即有效组合。最优投资组合则是根据投资者的风险偏好确定出的能够带