“未来教育”案例1悬链线和多边形

未来教育”案例1悬链线和多边形一、团队介绍团队介绍： 团队成员介绍： 二、问题来源我们都知道车轮是圆的，但是在科技馆中有一件展品叫做方轮与圆轮，我们看到尽管轨道不平，方轮车也能作平稳运动，这个原因是因为下面的轨道是悬链线。而对于任意正!边形的车轮，满足平稳前行的道路形状又该是怎样的呢？多边形是数学当中常见的基本图形，也是初中生学习当中欧几里得方面重要的一环。而悬链线在工程学当中有着非常非常重要的应用。三、解决方案如果直接给学生一个正多边形轮子的小车，和相应的轨道，同学们可能推两下觉得挺有意思的，就放到一边不管。我们希望通过一个学生亲自制作的过程，让学生们自己能够动手来研究和思考，尽管对于任意正n边形的车轮，满足平稳前行的道路形状也是一个悬链线。首先我们通过数学推导得到公式，而后通过CAD作图得到拼查结构的模型，而后用激光切割机进行加工得到成品。3.1．数学推导作图如下3.2推导过程

y=y(x)为轨道方程，其中I(x,y)是正方形车轮与“道路”的一个切点，根据道路与车轮的关系，线段AI的长度要等于弧KI的长，记该长为s，用微积分的符号表示为(x0左端的一个零点)我们有以下关系从中解出s,得到将两个s用等号联系起来，得到积分方程i+r1岩+yi+r1岩+y2dx+r2通过取导数变化得到~x—f/ 1. —y)说—疔―]=arccosh{y/2—y)+C根据初始条件，可以得出c=o,于是最终的轨道方程为y=-coshx+y/2这是一条悬链线。3.3多边形推导对于任意正n边形的车轮，它依旧只是一条悬链线！设正n边形的边长为2a,高为h,方程为：y=—hcosh(^)+y/a2+ft2

四、方案和模型4.1．CAD作图通过数学推导得到公式，而后通过CAD作图得到拼插结构的模型，而后用激光切割机进行加工得到成品。4.4组装得到的成品五、作品前景展望5.1教育意义通过方轮与圆轮这个展品，我们可以知道方轮也可以代替圆轮做平滑的滚动，而且轨道是一条悬链线。但其实不只是方轮，正多边形的轮子都可以代替圆轮，而且轨道的形状也是一个悬链线。当轮子半径一定的时候，正多边形的轨道都是同样的悬链线，只不过是距地面的高度降低了一些。从这个角度出发，我们会得到一个极限的思想，当正多边形的边数的增加，下面的轨道也愈趋于平缓，当无限边数时，轨道就成为了一条直线，而轮子也变为了圆形。这样就延伸了展品的内涵。这样这个产品既可以在科技博物馆或学校，可以用其做逆向思维及动手、数学等学科教育，学生自己也可以作为一个益智项目通过产品本身进行学习和认知。5.2改进展品该设计的市场前景看好，我们也可以通过改进来丰富科技馆这个展项的内容。科技馆的展品可以从原来只有方轮和圆轮的情况变为多种情况，通过提供不同种类的轮子，例如莱洛三角形，正六边形、八边形之类供观众进行拼装，这样通过互动操作和体验来扩充原有展项所展示的内容。未来教育”案例2锥体上滚一、团队介绍团队介绍： 团队成员介绍： 二、问题来源我们都知道水往低处流，在重力的作用下几乎所有物体都会有从高处向低处运动、降低重心的趋势，这样的现象屡见不鲜，若展品直接展示此运动规律很难给观众留下深刻印象。我们希望设计一件展品，通过演示它看起来与常理不符的现象，引发观众好奇，但经过实验、探索之后，观众可发现展品背后的原理，加深印象与认识。三、解决方案3.1展品名称及设计思路我们计划设计相应道具，利用轨道和物体，展示物体在重力作用下，重心降低，但看起来却是从轨道低端自发向轨道高端运动的现象。经多次测试，我们拟选用两根支撑杆架设为V形倾斜轨道，闭口端低，开口端高，同时选用中间厚，两边薄的对称物体作为实验物体，通过物体在轨道不同处支撑点不同的特点，让物体随着在轨道的上升运动，实际重心则降低。根据两边薄、中间厚、具有对称性、在轨道上可以持续滚动等特点，我们选择了双圆锥体作为实验物体。双圆锥体，即将两个同样的圆锥体底面对底面拼接起来。根据计算，密度均匀的双圆锥体，其重心位于两端点连线的中点，即原本圆锥体底面圆心处。故展品名称为锥体上滚。3.2展品原理在V形轨道最低处，两根支撑杆距离较小，在此处双圆锥体与支撑杆的接触点最靠近中间最厚部分，此时双圆锥体的重心最高，重力势能最大。在V形轨道最高处，两根支撑杆的距离最大，在此处双圆锥体与支撑杆的接触点靠近两端最薄处，此时双圆锥体的重心最低，重力势能最小。所以，当从轨道最低处释放双圆锥体，双圆锥体会沿着轨道滚向最高端，重心逐渐降低，重力势能逐渐减小，转化为锥体滚动时的动能。

原理图如下：在这个设计中，有一些参数会影响到锥体是否能上滚。所以我们可以推导出满足锥体上滚的条件。3.3数学推导若双圆锥体从轨道低处到轨道高处重心高度会降低，根据能量守恒，双圆锥体始终能上滚；若双圆锥体从轨道低处到轨道高处重心高度升高，双圆锥体则不会上滚；而双圆锥体上滚的临界情况，则是当双圆锥体在轨道低处和轨道高处重心高度没有变化时，双圆锥体在轨道任何地方均可保持稳定。

设双圆锥体顶角为0，长度为n,底面直径为m,则有1)tan0/2=(m/2)/(n/2)=m/n当双圆锥体在轨道最高处时，轨道张开宽度应与双圆锥体长度相同，即设双圆锥体顶角为0，长度为n,底面直径为m,则有1)tan0/2=(m/2)/(n/2)=m/n当双圆锥体在轨道最高处时，轨道张开宽度应与双圆锥体长度相同，即s=n若轨道张开角度为Y，则有tan丫/2=(s/2)/l=s/2l2)由(1)(2)两式可得tan0/2*tany/2=(m/n)*(s/2l)=m/2l3)4)m=2l*tan0/2*tany/2设轨道与水平面倾斜角度为a，双圆锥体滚动至轨道最高处时，锥体轴线(两端点连线)与水平面高度为h，如图2(a)，贝％ana=h/lh=l*tana由图2(a)知，若双圆锥体刚好可以滚动，需满足m/2>h，带入(4)(5)两式，则有5)tan0/2*tany/2>tana该式即为我们讨论的锥体上滚能实现的条件。6)四、方案和模型根据以上计算出来的条件，通过CAD作图得到方案如下(尺寸略)：当双圆锥体被放置在轨道低处并释放时，双圆锥体会自发向轨道更高处滚动过去，实现锥体上滚。

五、作品前景展望通过体验锥体上滚这件展品，观众可第一时间观察到看似与常识不符的现象，即双圆锥体沿着倾斜轨道向更高的地方滚动上去，引发观众的注意与思考，进而继续探索是否有与常识不一致的物理定律导致了上滚的现象。我们鼓励观众可以用自己随身携带的其他物品进行体验，如水杯等，引导观众注意到双圆锥体的形状特点，以及轨道随着上升还张开了一定角度等，最终明白双圆锥体虽然随着轨道上升，但重心实际上依然在下降。未来教育”案例3转动惯量一、团队介绍（1） 团队介绍： （2） 团队成员介绍： 二、问题来源我们知道物体保持静止状态或匀速直线运动状态的性质，称为惯性，度量物体惯性大小的是质量。而与惯性类似，转动惯量则是度量刚体绕轴转动惯性的量，又称惯性距、惯性矩。刚体的转动惯量有着重要的物理意义，在科学实验、工程技术、航天、电力、机械、仪表等工业领域也是一个重要参量。惯性的大小是和物体的质量有关，但是转动惯量的大小是和什么有关呢？我们希望通过设计一个展品，来帮助观众了解转动惯量。三、解决方案3.1展品设计思路转动惯量是刚体绕轴转动时惯性（回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性）的量度。转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。我们计划利用轨道使物体在重力的作用下下滚，通过两个轨道来比较具有同等重量但形状不同的物体的滚动速度。计划设计六个相同重量的旋转物体，分别是：质量分布远离圆心的圆形、质量分布靠近圆心的圆形、质量分布远离中心的三角形、质量分布靠近中心的三角形、质量分布远离中心的正方形、质量分布靠近中心的正方形。3.1．数学推导转动惯量的计算公式如下：（式中m表示刚体的某个质元的质量，r表示该质元到转轴的垂直距离，求和号遍及整个刚ii体）

从公式中我们可以看出，物体质量越集中，转动惯量越小，就越难改变其初始状态。四、方案和模型4.1．CAD作图根据以上计算出来的条件，通过CAD作图得到方案如下oooITrrOorr°。oA/O\o°oO°OH一辽厂◎oooITrrOorr°。oA/O\o°oO°OH一辽厂◎、<0J2o9)o重量分布主要集中在转盘上面的三个圆环上，圆环采用铜质，转盘采用轻质材料。轨道设计如下：采用同样高度的两组轨道并排放置4.2尺寸标注（略）五