2023届江苏省南京市育英外学校数学九年级第一学期期末综合测试试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每题4分，共48分）1．下列运算中，计算结果正确的是（）A．a4•a＝a4 B．a6÷a3＝a2 C．（a3）2＝a6 D．（ab）3＝a3b2．从下列两组卡片中各摸一张，所摸两张卡片上的数字之和为5的概率是（）第一组：1,2,3第二组：2,3,4A． B． C． D．3．关于的一元二次方程根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．根的情况无法判断4．一个由小菱形组成的装饰链，断去了一部分，剩下部分如图所示，则断去部分的小菱形的个数可能是（）A．6个 B．7个 C．8个 D．9个5．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（）A． B．C． D．6．一个几何体由大小相同的小方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则从正面看到几何体的形状图是（）A． B． C． D．7．如图所示，图中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．8．已知一个三角形的两个内角分别是40°，60°，另一个三角形的两个内角分别是40°，80°，则这两个三角形（）A．一定不相似 B．不一定相似 C．一定相似 D．不能确定9．抛物线的顶点到轴的距离为（）A． B． C．2 D．310．如图，在中，点为边中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间的函数关系如图2所示，则的长为()A． B． C． D．11．先将抛物线关于轴作轴对称变换，所得的新抛物线的解析式为（）A． B． C． D．12．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则为（）A． B． C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，已知的面积为48，将沿平移到，使和重合，连结交于，则的面积为__________．14．在如图所示的电路图中，当随机闭合开关,,中的两个时，能够让灯泡发光的概率为________．15．如图，四边形中，，点在轴上，双曲线过点，交于点，连接．若，，则的值为__．16．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果cosB=，BC=4，那么AB的长为________．17．在中，，，，将沿轴依次以点、、为旋转中心顺时针旋转，分别得到图?、图②、…，则旋转得到的图2018的直角顶点的坐标为________．18．已知，则的值是_____________．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，点D是半圆的中点，连接CD交OB于点E，点F是AB延长线上一点，CF＝EF．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）若CF＝5，，求⊙O半径的长．20．（8分）为推进“全国亿万学生阳光体育运动”的实施，组织广大同学开展健康向上的第二课堂活动．我市某中学准备组建球类社团（足球、篮球、羽毛球、乒乓球）、舞蹈社团、健美操社团、武术社团，为了解在校学生对这4个社团活动的喜爱情况，该校随机抽取部分初中生进行了“你最喜欢哪个社团”调查，依据相关数据绘制成以下不完整的统计表，请根据图表中的信息解答下列问题：（1）求样本容量及表格中、的值；（2）请补全统计图；（3）被调查的60个喜欢球类同学中有3人最喜欢足球，若该校有3000名学生，请估计该校最喜欢足球的人数．21．（8分）如图，△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，AC、BD交于M（1）如图1，当α＝90°时，∠AMD的度数为°（2）如图2，当α＝60°时，∠AMD的度数为°（3）如图3，当△OCD绕O点任意旋转时，∠AMD与α是否存在着确定的数量关系？如果存在，请你用表示∠AMD，并图3进行证明；若不确定，说明理由．22．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，AC为弦，且平分∠BAD，AD⊥CD，垂足为D．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若⊙O的直径为4，AD=3，试求∠BAC的度数．23．（10分）在等腰直角三角形中，，，点在斜边上（），作，且，连接，如图（1）．（1）求证：；（2）延长至点，使得，与交于点．如图（2）．①求证：；②求证：．24．（10分）已知关于的一元二次方程.（1）求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根.25．（12分）如图,在小山的东侧处有一一热气球,以每分钟28米的速度沿着与垂直方向夹角为30°的方向飞行，半小时后到达处，这时气球上的人发现,在处的正西方向有一处着火点，5分钟后，在处测得着火点的俯角是15°，求热气球升空点与着火点的距离．(结果保留根号,参考数据:)26．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D．若AB＝12，CD＝6，tanA＝，求sinB＋cosB的值．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】根据幂的运算法则即可判断.【详解】A、a4•a＝a5，故此选项错误；B、a6÷a3＝a3，故此选项错误；C、（a3）2＝a6，正确；D、（ab）3＝a3b3，故此选项错误；故选C．【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算公式.2、D【分析】根据题意，通过树状图法即可得解.【详解】如下图，画树状图可知，从两组卡片中各摸一张，一共有9种可能性，两张卡片上的数字之和为5的可能性有3种，则P(两张卡片上的数字之和为5)，故选：D.【点睛】本题属于概率初步题，熟练掌握树状图法或者列表法是解决本题的关键.3、A【解析】若△＞0，则方程有两个不等式实数根，若△=0，则方程有两个相等的实数根，若△＜0，则方程没有实数根.求出△与零的大小，结果就出来了.【详解】解：∵△=，∴方程有两个不相等的实数根【点睛】本题主要考查根的判别式，掌握一元二次方程的根的判别式是关键.4、C【解析】观察图形，两个断开的水平菱形之间最小有2个竖的菱形，之后在此基础上每增加一个也可完整，即可以是2、5、8、11……故选C.点睛：探索规律的题型最关键的是找准规律.5、B【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可．【详解】解：因为中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，故选B．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．6、D【解析】试题分析：根据所给出的图形和数字可得：主视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，3，则符合题意的是D；故选D．考点：1．由三视图判断几何体；2．作图-三视图．7、C【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义（轴对称图形是沿某条直线对折，对折的两部分能够完全重合的图形，中心对称图形是绕着某一点旋转后能与自身重合的图形）判断即可.【详解】解：A选项是中心对称图形但不是轴对称图形，A不符合题意；B选项是轴对称图形但不是中心对称图形，B不符合题意；C选项既是轴对称图形又是中心对称图形，C符合题意；D选项既不是轴对称图形又不是中心对称图形.故选：C.【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的判断方法是解题的关键.8、C【解析】试题解析：∵一个三角形的两个内角分别是∴第三个内角为又∵另一个三角形的两个内角分别是∴这两个三角形有两个内角相等，∴这两个三角形相似.故选C.点睛：两组角对应相等，两三角形相似.9、C【分析】根据二次函数的顶点式即可得到顶点纵坐标,即可判断距x轴的距离.【详解】由题意可知顶点纵坐标为:-2,即到x轴的距离为2.故选C.【点睛】本题考查顶点式的基本性质,需要注意题目考查的是距离即为坐标绝对值.10、C【分析】根据图象和图形的对应关系即可求出CD的长，从而求出AD和AC，然后根据图象和图形的对应关系和垂线段最短即可求出CP⊥AB时AP的长，然后证出△APC∽△ACB，列出比例式即可求出AB，最后用勾股定理即可求出BC．【详解】解：∵动点从点出发，线段的长度为，运动时间为的，根据图象可知，当=0时，y=2∴CD=2∵点为边中点，∴AD=CD=2，CA=2CD=4由图象可知，当运动时间x=时，y最小，即CP最小根据垂线段最短∴此时CP⊥AB，如下图所示，此时点P运动的路程DA＋AP=所以此时AP=∵∠A=∠A，∠APC=∠ACB=90°∴△APC∽△ACB∴即解得：AB=在Rt△ABC中，BC=故选C．【点睛】此题考查的是根据函数图象解决问题，掌握图象和图形的对应关系、相似三角形的判定及性质和勾股定理是解决此题的关键．11、C【分析】根据平面直角坐标系中，二次函数关于轴对称的特点得出答案．【详解】根据二次函数关于轴对称的特点：两抛物线关于轴对称，二次项系数，一次项系数，常数项均互为相反数，可得：抛物线关于轴对称的新抛物线的解析式为故选：C.【点睛】本题主要考查二次函数关于轴对称的特点，熟知两抛物线关于轴对称，二次项系数，一次项系数，常数项均互为相反数，对称轴不变是关键.12、D【分析】先证明△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求解即可.【详解】∵BC∥DE，∴△ADE∽△ABC，∵DE把△ABC分成的两部分面积相等，∴△ADE：△ABC=1:2，∴.故选D.【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；相似三角形面积的比等于相似比的平方.二、填空题（每题4分，共24分）13、24【解析】根据平移变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小,可得∠B=∠A´CC´,BC=B´C´，再根据同位角相等，两直线平行可得CD∥

AB,然后求出CD=AB，点C"到A´B´的距离等于点C到AB的距离，根据等高的三角形的面积的比等于底边的比即可求解.也可用相似三角形的面积比等于相似比的平方来求．【详解】解：根据题意得

∠B=∠A´CC´,BC=B´C´,

∴CD//AB,CD=AB(三角形的中位线)，

点C´到A´C´的距离等于点C到AB的距离，∴△CDC´的面积=△ABC的面积，=×48

=24

故答案为：24【点睛】本题考查的是三角形面积的求法之一，等高的三角形的面积比等于底的比，也可用相似三角形的面积比等于相似比的平方来求得．14、【分析】分析电路图知：要让灯泡发光，必须闭合，同时,中任意一个关闭时，满足条件，从而求算概率．【详解】分析电路图知：要让灯泡发光，必须闭合，同时,中任意一个关闭时，满足：一共有：,,、,、,三种情况，满足条件的有,、,两种，∴能够让灯泡发光的概率为：故答案为：．【点睛】本题考查概率运算，分析出所有可能的结果，寻找出满足条件的情况是解题关键．15、1【分析】过点F作FC⊥x轴于点C，设点F的坐标为（a，b），从而得出OC=a，FC=b，根据矩形的性质可得AB=FC=b，BF=AC，结合已知条件可得OA=3a，BF=AC=2a，根据点E、F都在反比例函数图象上可得EA=，从而求出BE，然后根据三角形的面积公式即可求出ab的值，从而求出k的值．【详解】解：过点F作FC⊥x轴于点C，设点F的坐标为（a，b）∴OC=a，FC=b∵∴四边形FCAB是矩形∴AB=FC=b，BF=AC∵∴,即AC∴OC=OA－AC=a解得：OA=3a，BF=AC=2a∴点E的横坐标为3a∵点E、F都在反比例函数的图象上∴∴点E的纵坐标，即EA=∴BE=AB－EA=∵∴即解得：∴故答案为：1．【点睛】此题考查的是反比例函数与图形的面积问题，掌握矩形的判定及性质、反比例函数比例系数与图形的面积关系和三角形的面积公式是解决此题的关键．16、6【分析】根据题意cosB=,得到AB=,代入计算即可.【详解】解：Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=，可知cosB=得到AB=，又知BC=4，代入得到AB=故填6.【点睛】本题考查解直角三角形相关，根据锐角三角函数进行分析求解.17、(8072,0)【分析】利用勾股定理得到AB的长度，结合图形可求出图③的直角顶点的坐标；根据图形不难发现，每3个图形为一个循环组依次循环，且下一组的第一个图形与上一组的最后一个图形的直角顶点重合．【详解】∵∠AOB=90°，OA=3，OB=4，∴AB===5，∴旋转得到图③的直角顶点的坐标为(12,0)；根据图形，每3个图形为一个循环组，3+5+4=12，因为2018÷3=672…2所以图2018的直角顶点在x轴上，横坐标为672×12+3+5=8072，所以图2018的顶点坐标为(8072,0)，故答案是：(8072,0).【点睛】本题考查了旋转的性质与规律的知识点，解题的关键是根据点的坐标找出规律.18、【分析】设a=3k，则b=4k，代入计算即可．【详解】设a=3k，则b=4k，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了比例的性质．熟练掌握k值法是解答本题的关键．三、解答题（共78分）19、（1）证明见解析；（2）AO＝.【分析】（1）连接OD，利用点D是半圆的中点得出∠AOD与∠BOD是直角，之后通过等量代换进一步得出∠FCE+∠OCD=∠OED+∠ODC=90°从而证明结论即可；（2）通过得出＝，再证明△ACF∽△CBF从而得出AF＝10，之后进一步求解即可.【详解】证明：连接OD，∵点D是半圆的中点，∴∠AOD=∠BOD=90°.∴∠ODC+∠OED=90°.∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD.又∵CF=EF，∴∠FCE=∠FEC.∵∠FEC=∠OED，∴∠FCE=∠OED.∴∠FCE+∠OCD=∠OED+∠ODC=90°.即FC⊥OC.∴FC是⊙O的切线.（2）∵tanA＝，∴在Rt△ABC中，＝.∵∠ACB＝∠OCF＝90°，∴∠ACO＝∠BCF＝∠A.∴△ACF∽△CBF，∴＝＝＝.∴AF＝10.∴CF2＝BF·AF.∴BF＝.∴AO＝＝.【点睛】本题主要考查了圆的切线证明与综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.20、（1），，；（2）见解析；（3）估计该校最喜欢足球的人数为75【分析】(1)根据喜欢武术的有12人，所占的比例是0.1，即可求得总数，继而求得其他答案；

(2)根据(1)的结果，即可补全统计图；

(3)利用总人数3000乘以对应的比例，即可估计该校最喜欢足球的人数．【详解】(1)∵喜欢武术的有12人，所占的比例是0.1，∴样本容量为：，∵喜欢球类的有60人，∴，∵喜欢健美操所占的比例是0.15，∴；故答案为：，，；(2)如图所示：(3)学校喜欢足球的人数有：(人)．答：估计该校最喜欢足球的人数为75人．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21、（1）1；（2）2；（3）∠AMD＝180°﹣α，证明详见解析．【解析】（1）如图1中，设OA交BD于K．只要证明△BOD≌△AOC，推出∠OBD=∠OAC，由∠AKM=∠BKO，可得∠AMK=∠BOK=1°；（2）如图2中，设OA交BD于K．只要证明△BOD≌△AOC，推出∠OBD=∠OAC，由∠AKM=∠BKO，推出∠AMK=∠BOK=2°；（3）如图3中，设OA交BD于K．只要证明△BOD≌△AOC，可得∠OBD=∠OAC，由∠AKO=∠BKM，推出∠AOK=∠BMK=α．可得∠AMD=180°-α.【详解】（1）如图1中，设OA交BD于K．∵OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，∴∠BOD＝∠AOC，∴△BOD≌△AOC，∴∠OBD＝∠OAC，∵∠AKM＝∠BKO，∴∠AMK＝∠BOK＝1°．故答案为1．（2）如图2中，设OA交BD于K．∵OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，∴∠BOD＝∠AOC，∴△BOD≌△AOC，∴∠OBD＝∠OAC，∵∠AKM＝∠BKO，∴∠AMK＝∠BOK＝2°．故答案为2．（3）如图3中，设OA交BD于K．∵OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，∴∠BOD＝∠AOC，∴△BOD≌△AOC，∴∠OBD＝∠OAC，∵∠AKO＝∠BKM，∴∠AOK＝∠BMK＝α．∴∠AMD＝180°﹣α．【点睛】本题考查几何变换综合题、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用：“8字型”证明角相等．22、（1）证明见解析；（2）30°.【解析】(1)连接OC,证先利用角平分线的定义和等腰三角形的性质证明∠OCA=∠DAC，从而OC∥AD，由平行线的性质可得OC⊥CD，从而得出CD是⊙O切线；(2)连接BC,证明△ACB∽△ADC,求出AC的长度,再求出∠BAC的余弦,得出∠BAC的度数.【详解】解：(1)连结OC.∵平分，∴∠BAC=∠DAC.又OA=OC,∴∠BAC=∠OCA,∴∠OCA=∠DAC,∴OC∥AD.∵AD⊥CD,∴OC⊥CD,∴CD是⊙O的切线.(2)连结BC.∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACB=∠ADC=90°.又∠BAC=∠DAC,∴△ACB∽△ADC.∴,,,∴AC=.在Rt△ACB中,cos∠BAC=,∴∠BAC=30°.【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，圆的切线的判定及锐角三角函数的知识.连接半径是证明切线的一种常用辅助线的做法,求角的度数可以借助于三角函数.23、（1）见解析；（1）①见解析；②见解析【分析】（1）依据AC=BC，可得∠CAB=∠B=45°，依据AQ⊥AB，可得∠QAC=∠CAB=45°=∠B，即可得到△ACQ≌△BCP；（1）①依据△ACQ≌△BCP，则∠QCA=∠PCB，依据∠RCP=45°，即可得出∠QCR=45°=∠QAC，根据∠Q为公共角，可得△CQR∽△AQC，即可得到CQ1=QA•QR；②判定△QCH≌△PCH（SAS），即可得到HQ=HP，在Rt△QAH中，QA1+AH1=HQ1，依据QA=PB，即可得到AH1+PB1=HP1．【详解】（1）∵AC=BC，∴∠CAB=∠B=45°，又∵AQ⊥AB，∴∠QAC=∠CAB=45°=∠B，在△ACQ和△BCP中，，∴△ACQ≌△BCP

（SAS）；（1）①由（1）知△ACQ≌△BCP，则∠QCA=∠PCB，∵∠RCP=45°，∴∠ACR+∠PCB=45°，∴∠ACR+∠QCA=45°，即∠QCR=45°=∠QAC，又∠Q为公共角，∴△CQR∽△AQC，∴，∴CQ1=QA•QR

；②如图，连接QH，由（1）（1）题知：∠QCH=∠PCH=45°，CQ