统计物理学基础2014

20.1

统计规律与概率理论

20.2

温度与压强

20.3

三种统计概率

20.4MB统计在理想气体中的应用

20.5

能量按自由度均分定理内能

20.6

分子碰撞的统计规律第20章统计物理学基础2/40一个系统两个方面两种途径两种方法若干规律热系统（气体系统）系统的状态系统的过程宏观微观热力学方法统计力学方法宏观微观热力学方法统计力学方法热学是研究物质热现象规律的学科

热学的基本内容

20.1统计规律与概率理论一、介绍大量微观微粒组成的宏观体系，热力学系统。e.g.

气体1、研究的对象2、研究的目的

阿伏伽德罗常数

NA=6.023×1023/mol宏观量:如:气体的V,P,T...描述系统整体特征的物理量.微观量:如:粒子的系统中描述单个粒子特征的物理量.宏观状态参量平衡态:

在不受外界影响的条件下，一个系统的宏观性质不随时间改变的状态。

系统处于平衡态时,系统的宏观量具有稳定值,而单个粒子的微观量在不断变化。了解气体的宏观状态参量与分子微观运动之间的关系。4/402)物质的分子在永不停息地做无序运动3)物质的分子间存在相互作用力扩散布朗运动合力斥力引力O气体系统的特点：实验发现，大量分子运动符合统计规律。3、物质的微观模型1)宏观物体由大量微粒—分子(原子)组成的，非天衣无缝。

e.g.气体可压缩；液体混合，体积变小。

大量,杂乱无章,无法建立动力学方程。5/40二、统计方法的一般概念

---大量偶然事件整体所遵从的规律.加尔顿板实验:单个粒子运动----偶然事件(落入那个槽)大量粒子运动----统计规律(粒子在槽中的分布)1、统计规律统计规律特点:(2)是与单个粒子遵循的动力学规律有本质区别的新规律。(3)与系统所处宏观条件有关。(4)存在起伏(涨落)。（涨落是一个学科方向）(1)对大量偶然事件有效,对少量事件不适用。统计物理认为：系统的宏观量是在测量时间内,系统所有微观状态中相应的微观量的统计平均值!6/402、概率（几率）定义实验总观测次数为N,其中出现结果A

的次数为NA

事件A出现的概率概率是用来衡量偶然事件出现可能性大小的量。3、概率的基本性质(1)W=0为不可能事件;W=1为必然事件.(2)A,B为互斥事件,不可能同时出现,则出现A或B的总概率---概率叠加原理（3）归一化条件:对所有可能发生的事件的概率之和必为1.或(4)J,K为相容事件(可同时出现），则同时发生J和K的概率.----概率乘法定理

20.2温度与压强一、理想气体的压强1、压强的产生密集雨点对雨伞的冲击力单个分子碰撞器壁的作用力是不连续的、偶然的、不均匀的。大量气体分子对器壁持续不断的碰撞产生压力。气体分子器壁V--

气体分子自由活动的空间p

--分子碰撞器壁的集体表现单个分子多个分子平均效果8/402、理想气体分子模型1）分子作完全无规则热运动。2）分子大小可以忽略。3）分子间作用力（除碰撞外）可以忽略。4）分子间，分子与器壁间完全弹性碰橦。结论：理想气体的模型是：理想气体自由地无规则运动的弹性小球的集合。①在平衡态下分子按位置的分布是均匀的。②平衡状态下分子沿任何方向的运动都不占优势，因而有:③推导未考虑分子间的相互碰撞。（认为分子间碰撞不影响单位时间内分子与器壁的碰撞次数）3、推导压强公式的统计假设9/404、压强公式的推导..N

个分子先考虑一个分子的贡献每碰撞一次分子受到的冲量墙受到的冲量也是方向⊥向外。经过碰一次，1秒钟碰次墙平均1秒受到的冲量(即冲力)N个分子单位面积上受力由于弹性碰撞，反射角=入射角。v1大小不变10/40讨论；1）压强公式将宏观量p

和微观量的统计平均值联系在一起2）有一定分布（平衡态）。3）阐明了p

的微观本质（定性、定量）。4）知道了p

很容易了解温度T的微观本质。5）理解复合气体的压强。11/40二、温度的微观意义依压强公式及理想气体状态方程玻耳慈曼常数：两种压强公式比较，得到理想气体温度公式2.温度反映分子热运动的剧烈程度。1.温度是描述宏观热力学系统平衡态的一个物理量。3.温度是一个统计概念，是大量分子的集体行为。5.温度--气体分子热运动的方均根速率4.温度---分子杂乱无章的热运动的平均平动动能。12/4020.3三种统计规律一、介绍统计分布规律大量粒子热运动遵从统计规律经典粒子（可以分辨、跟踪）微观粒子（不可分辨、跟踪）费密子：电子玻色子：光子目的：寻找并掌握平衡状态（概率最大的状态）下粒子的分布规律经典粒子M-B分布分子按速度有一定的分布。费密子F-D分布电子按能级有一定的分布。玻色子B-E分布光子按能量hν有一定的分布。

（热辐射规律）13/40二、数学准备1、斯特令公式2、拉格朗日乘子法:在约束条件下求极值的方法若μ个自变量是彼此独立的，则3、相空间:描述一个粒子运动状态x,y,z,px,py,pz

以此六个参量为轴的六维空间，称为相空间。一点代表粒子的一个状态。相空间以dω表示相体积1)粒子位于2）3）粒子在V中粒子位于14/40

假定粒子的一个状态在相空间中的相体积为h3因此在中的状态数三、等概率原理宏观状态与微观状态左右宏观上两部分各有多少粒子？不区分究竟是哪个粒子。微观上具体哪个粒子在左？哪个粒子右？同一宏观态两种微观态a,b,c,d四个粒子46411宏观态微观态等概率原理：处于平衡态的孤立系统，各可能的微观态出现的概率相等。15/40

平衡状态下，多粒子体系的分布规律。粒子如何按相槽或能级分布的。

1、经典的眼光看粒子

1）粒子可以分辨的（可以跟踪，可以编号）。分辨与不可分辩abcd可分辩16个微观状态不可分辩●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●5个微观状态。2）一个相槽可以容纳多个粒子。2、理论依据

1）等几率假设

2）平衡态是几率最大的状态（最概然分布）四、M-B分布16/40能级上每个状(量子)态被占据的概率讨论过程中要用到等概率假设和约束条件约束条件:

孤立体系各种状（量子）态εi可能的（占据方式）微观状态数Ω(1)求将N个粒子按分别放到能量为（2）求Ω取最大值的分布,即最概然分布(3)求在最概然分布下,每个能级上的粒子数求经典粒子（例：气体分子）按能量的最概然分布的思路17/40(3)个粒子分别占用能级的个状态的占据方式为系统总微观状态数

N个可区分粒子，分为个粒子的组合方式为(1)

Ni个经典粒子分布在能级的个状态上的占据方式为(2)求经典粒子（例：气体分子）按能量的最概然分布的过程18/40(4)为使Ω极大,令利用斯特令公式

因而19/40由宏观约束条件（5）

由宏观约束条件确定

由拉格朗日乘子法原理经典粒子按能级的最概然分布M-B分布温度为T的平衡态理想气体在能量为i的每个状态上分布的平均粒子数20/40五、F-D和B-E分布

费米子；自旋是1/2的奇数倍。e，μ子，质子，中子等。全同性粒子。每个状态只容纳一个粒子。

F—D分布；平衡状态下的孤立系统，N个全同粒子特定分布；N1,-------------Nμε1，-----------εμ

g1,--------------gμ

将N分成μ堆；1种方法将N1个粒子放在g1个位置(一个位置最多一个)上；有种方法。得平衡状态--------利用21/40B—E分布玻色子；自旋是1/2的偶数倍，全同性粒子，每一个状态可以容纳多个粒子。光子，介子。

N

Ｎ１－－－－－Ｎμ

ε１－－－－－εμｇ１－－－－－ｇμ将Ｎ１个粒子放在ｇ１个位置上，每个位置可容纳多个粒子。第一个量子态是固定的。则方法有

·

·

·

·

·

·

·

·平衡状态下22/4020.4MB统计在理想气体中的应用一、麦克斯韦分子速度分布律

利用M-B分布可导出在没有势场情况下，理想气体按速度的分布规律。对理想气体，在温度T的平衡态下:求分子速度在的概率利用M-B分布取为零23/40利用24/40不考虑分子速度的方向，只考虑速度大小,在T的平衡态下，理想气体分子速率在υ--υ

+dυ

范围内的概率（麦克斯韦分子速率分布率）为ovyvzvxv二、麦克斯韦分子速率分布律定义速率分布函数：在速率υ的附近，单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比----概率密度25/401)、特点：两头小，中间大，中等速率的分子数很多2)、满足归一化条件26/404)、最概然速率（最可几速率）---f(υ)--υ曲线极大值所对应的速率υ

pυ

p

的物理意义：υ

p

附近概率密度最大（同样速率间隔dυ,

速率在υ

p–υp+dυ的分子数最多)由及3)、求平均值平均速率方均根速率27/405)、三种速率平均速率方均根速率最概然速率vvpof(v)用途不同T2υf(υ)T1T2？T1

υm2f(υ)m2?m1m128/40速率大于υ1的粒子的速率平均值由例1例2已知：N个粒子的速率分布函数为求：平均速率解：由29/40外力场中,粒子在的分子数为对所有速度积分,由速度分布函数的归一化条件,得得体积元dxdydz内的总分子数:三、重力场中粒子按高度分布30/40用空间粒子数密度表示:n0为Ep=0处的粒子数密度重力场中重力场中粒子按高度的分布--恒温气压公式31/40空气密度气体压强可以看作单位面积上空气柱重量由重力场中粒子按高度的分布另一种推导方法：32/4020.5能量均分定理内能一、能量均分定理1、自由度确定一物体的位置所需的独立坐标的数目s1)平动自由度t

平动动能为三个独立的速度分量的平方项之和2)转动自由度r

转动动能为三个独立的角速度分量的平方项之和刚体的自由运动

(平动)+(转动)动能为六个独立的平方项之和33/403)振动自由度两个质点间相对位置的变化能量为二个平方项之和若有v个振动自由度，能量为2v个平方项之和v个动能，v个势能2、分子的自由度单原子分子(He、Ne、Ar等)只有平动自由度能量表达式中有三个独立平方项双原子分子(O2、H2、CO等)刚性能量表达式中有五个独立平方项多原子分子（H2O、CH4）刚性能量表达式中有六个独立平方项34/40理想分子位于平衡态3、能量均分定理：平动动能表达式中，每一个平方项的平均值都是在温度为T的平衡态下，系统中分子能量表达式中每一个独立的平方项都具有相同的平均热运动能量，其大小等于

一个分子的总平均能量35/40内能是状态量.通常理想气体的内能是温度的单值函数

广义内能：系统内所有粒子各种能量的总和.

热力学内能：系统内所有分子热运动动能和分子间相互作用势能之和.

理想气体内能：仅为分子热运动动能之和.只含有一种分子的1mol理想气体ν

mol理想气体单原子分子双原子分子多原子分子平均动能1mol理想气体的内能二、内能36/4020.6分子碰撞的统计规律一、问题的提出前面已讲过：分子速率在几百米/秒的数量级，但为什么食堂炸油饼时并不能马上闻到油香味呢？

原来分子速率虽高，但分子在运动中还要和大量的分子碰撞这正于散电影后，路上人很多，你想走快也快不了。碰撞是分子的第二特征。（第一特征是分子作永恒的运动）分了碰撞也是“无规则”的。相隔多长时间碰撞一次？37/40

分子热运动碰撞示意图dddu分子平均碰撞频率假设：1)同种分子，分子有效直径2)弹性碰撞3)一个分子运动，其余不动一个分子在单位时间内所受到的平均碰撞次数称为平均碰撞频率，二、分子平均碰撞频率

由于分子向各个方向运动的概率相同,所有两分子运动方向的平均夹角将是0°至180°之间的平均值为90°因此所以38/40即每秒内一个分子要发生几十亿次踫撞.例：H2常温常压常温常压下,数量级为分子在连续两次碰撞间所通过的自由路程的平均值。将p=nkT

代入上式得约为分子直径10-10米的1000倍三、平均自由程39/40例.

真空管的线度为10-2m，真空度为1.3310-3Pa,设空气分子有效直径为310-10m，求270C时单位体积内的空气分子数，平均自由程和碰撞频率。解：例.

在半径为R的球型容器里贮有分子有效直径为d的气体，试求该容