2010年数学建模题全国一等奖

高教社杯大学生数学建模竞赛区评阅编号（由赛区评阅前进行编号赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用统一编号（由赛区送交前编号）：评阅编号（由 评阅前进行编号位高度以及变位参数之间关系的数学模型，主要应用了mtalab进行求解。率(变位前后储油量之差绝对值的平均值占总罐体容积的比例)作为评价罐体变位对罐容表的影响程度的大小的指标，求出4.87。并分别给出了小椭圆储油罐在无变表1…储油体积V0~………4.1017~了最佳的变位参数为：纵向倾斜变位2.16，横向偏转变位4.50。并据此对储平均影响 最小二乘参数估计 模题重斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系。利用罐体变位后在进/出油过程中的实型假符号说 储油罐的纵向倾斜角 储油罐的横向偏转角 h油位高 R球冠体的半VT

R0题一的小椭圆储油罐罐体变位前后都可以应用积分的方法求出罐体的储油量和油位高度如图所示的坐标系，椭圆的半长轴长为a，半短轴长为b，则椭圆方程为x2(yb)2 ab y方向上取椭圆面中的一微元dy1(y s1(y D

a1(yb)a1(yb)2h(2bVabLh arcsin(hb)h(2b

2aL h2b23V 2b23

2b2 根据此模型，我们可以求出小椭圆储油罐无变位时罐容表标定值(油位高1cm，结果见附录一)v5区域)，考虑到倾斜角变化一般不会很大，所以我们可以将储油罐按液面高低分成五个部分v1~v5，来求其储油量和油位高度之间的关系。我们讨论的是小椭圆储油罐纵向倾斜变位为逆时针旋转，如图2。对于储油罐顺时针旋转变位(即为负值)时的情况对区域v1

图2油位开始有示数时，计算其储油体积。将区域v1放大得到图3图3区域v1图中，从原点纸面向里为x轴，利用三重积分可以 yblV1dxdydz bl Db其中l为油位探针到储油罐左侧的距离b对区域v2的讨

V12abl

1y2dy

由区域v1很容易得到区域v2的储油量和油位高度的变化关系，直接给出结论 dy

yhltan b(hltan DbV22ab(hltanb

11图4区域v3在小椭圆储油罐无变位模型中我们已经求出了v的计算公式，同区域v1中的积分原理可以计算出va和vb，我们就可以得到此时的油量体积为v3vav

ah

2hl

h vabLh arcsin(hb) 2h dx vb h dx h(Ll)

对区域v4的讨由区域4和区域2的相似性，将(3)式中的h换为(2bh)，将l换为(Ll)，并用总体积减去V2V4VTdxdydzVT2 dy

y1.2h(Ll)tan D其中VT为小椭圆储油罐的总体积

b1.2h(Ll)tan bV4VT2ahb(Ll)b

11对区域v511bV52ab(Ll)b

yb(Ll)

综上所述，我们得到了储油量V和油位高度h、纵向倾斜角表2V(h,储油量V/ 1hV[0, ybl bl 2h(0,(L-l)tanV yhltan b(hltan 32b-ltan]hl a1( hylV3 hb h abL h(2bh)arcsin(b)2 a1( dxhyltanh(Ll 4h(2b-ltan,VV ybh(Ll) 1 hb(Ll) 5h yb(Ll) V5(VT2ab(Ll) 1b2dy,VT根据储油量和油位高度的分段函数关系我们可以得到罐体纵向倾斜变位(后油位高度间隔为1cm当4.1储油量V1hV1[0,23hV3(0.1513,4hV4(3.9588,5h测量测量理论43储油量储油量210 油位高图5Vh通过对比我们发现，对于任意h，储油量的理论值和实际值始终成如(7)式的比例V测量V理

43储油量储油量21 油位高度图6Vh4.3.34.1变位变位前变位后变位变位前后储油量211油位高度0图7Vh位后对罐容表的影响。从图9中可以看出，当油位高度h较小时(0.1m附近)n来刻画罐体变位后对罐容表的影响。可以求出在纵向倾斜变位4.1时，4.87%题二的10

L H2RH球 3 带入数据得到：两端球缺总体积为8.1158m3，则储油罐的总体积为64.6645

h2hL R2hR2 0 R Rh

Sdh

arc

RH

RHh

球

0

h hR为圆柱体底面半径R0为球缺对应的半径r为球内小圆半径Vh2V球缺hV圆柱 R R0 Rh R0Hdh20L 11hRR cos 所以

V RhVRcos1213R2R2

V1VaVbR2VcR2

dzR

yRl VbVltan

由于Va5所我们考虑将这部分体积省略，进行近似计算。由于倾斜角较小，所以区域3占

VcRV1R

R2y2dy ltan 在区2油位高度h的变化范围0，Lltan。Vc

R2R2RR

R2y2VbV球缺hltanR

VaV2

R2y2dy hltan 球在区3中，油位高度h的变化范围Lltan，2Rltan。hl

VcVhV1hyl V22h(Ll)tan

dxhyltanbVhltanVhLltan，VaV3V圆柱hV1V2V球缺hltanV球缺hLltan 在区4中，油位高度h的范围2Rltan，2RR2R2y2

yRh(Ll)cV2hR(Ll

VbVhLltanVVa

V

yRh(Ll) Rydy hLltan 圆 hR(Ll) 球 球 V V l) R2y2cR2y2R(Ll) VbV2RLltanV，Va V l) 圆 R

dy 2RLltanR(Ll) 球 球圆 V y(Ll)tan R2y2dy 2RLltanV ,圆 R 球 球 进行变换即可得到综合考虑了储油罐纵向倾斜和横向偏转的V(h,,)V Rh cos14hRRcosRRcosltan,在此区域h依然恒等于零，V(,的(因此区域h0，所以只是求其最大体积)一般关V

dxyRR(1cos)ltandz R1cosltanR2 R2RR(1cos 球缺 2 yRcosl R2y2dy R1cosltan Rcos由式

hRR cos

hR(Rh)cosh(Ll)tan0h(Ll)tanR1cosRV2(h) R

R2 R2

hltan 0 0 然后只需要做下式的变换即可得到V(h, Rh2V2R

cos(Ll)tanR1coscoshRR cosh2Rl

(Ll)tanR1coshR1cosltancos cosV3(h)V圆柱hV1V2V球缺hltanV球缺hLltan 然后只需要做下式的变换即可得到V(h,V Rhcos3V3Rcosh

cos R2RV4(h)V圆柱2h(Ll)tanRR2R

yRh(Ll) dzV球缺hLltan V Rhcos4V4RcosR2VR2

2

yRcos(Ll)dz

R1cosLltan圆 球 球

Rh5V5R coscos最小二乘参数估计法基本思想：根据V(h,ii1.2.3...n计算出相邻高度油量的体积之差ViV(hi1,,)V(hi,, 通与附件的实际储油量Vi进行比较，通过对、进行等间距的穷举最终求得理论值与实际值V的差值的平方和SVV')2VV')2VV')2，当S 小值，此时、的即为所求的最佳值。即求解如下最小二乘拟合模

S(,)(ViVi'算法描述：输入n组显示h1、h2、h3...hn、输出 向偏角、的Step1:h1、h2、h3...hnV(h,,)关系式，求得V1V(h1)V(h2),V2V(h2)V(h3、

...VnV(hn1V(hn 关Step2:根据附录找出实际对应的出油量V1'，V2'，V3 Vn'Step3:对、进行等间距穷举，同时计算出S(VV')2，当S

小值时，求得、的值

用最小二乘参数估计法得到的变位参数为：2.164.50，角度都符合实据所建立的储油量V和油位高度h以及变位参数,的一般模型计算得到罐容表。42.160储油体积V012364.0034,15六模型的检验模型的检验（模拟方法Step1:Q式。并寻求一包含该区域Q的最小长方体。建立坐标系，确定Q所在的区Step2:均匀做点，在长方体内分别从x,y,z三个坐标轴依次等间距的产点pi(xi,yizi，记录落入该区域的点以及生成的点的总数M体区域的总体积V

mVM在模拟中对不同区域分别进行求解所忽略部分的体积VQ,再与所得到的理论值相改进V(h,,)的函数关系以使得更好地利用最小二乘参数估计法。八模型的改进参考，，石油油罐体积计算方法的探讨，吉林化工学院学报，第6期附0储油体积V01附表2储油体积V0~4.1017~symsyabh gridonaxis([01.20 2404.982406.83:50:2906.832906.91:50:3706.91];1026.991044.251062.371081.591102.331125.321152.36 2.30372.35212.40272.45222.49782.54862.59952.64462.69622.84722.89582.9422.99253.04413.08963.14083.18973.2343.3793.42353.47313.51763.56943.26273.31273.36273.41273.46273.51273.5147611.62739.39867.60992.411006.341019.071034.24gridongridongridonsymsyhholdongridonaxis([01.40symsholdongridonsymsyholdongrid symsyhholdongridonaxis([01.40symsholdongridonsymsyholdongrid v1=[5.44007.31569.377711.602013.960116.435919.007821.655424.367027.120832.702835.499838.279341.022743.719646.348148.896351.343453.667555.849559.686461.2643v01=[0.02020.02700.03990.04050.04660.05200.05660.06030.06300.06460.06510.06290.06020.05650.05190.04660.04060.03420.02760.02100.01480.00450.00019v0(1)=[];v2=v1+v0;holdongridon%估计参数detav=243.85/1000;minv=100;symsforifminv>abs(mv-detav)

aabbsymshbabv1=[309.66249.73186.43231.42297.79109.19162.87328.5166.13237.66h1=[11.349.206.848.4010.873.995.9511.926.038.59 fora=linspace(0,0.1745,10)forb=linspace(0,0.1745,10)fori=1:10if

symsxy symsxy symsxy%区域3symsxy%区域4symsxy symshbh1=[2486.21