第三章微分方程模型

第三章微分方程模型

在研究某些实际问题时，经常无法直接得到各变量之间的联系，问题的特征往往会给出关于变化率的一些关系。利用这些关系，我们可以建立相应的微分方程模型。

人口模型

１、MALTHUS模型英国人Malthus认为，在人口自然增长过程中，净相对增长率（出生率减去死亡率为净增长率）是常数。设时刻t的人口为Ｎ（t），净相对增长率为r，我们把Ｎ（t）当作连续变量来考虑。按照Malthus的理论，在t到t+t时间内人口的增长量为

令t→０，则得到微分方程:设t＝０时人口为Ｎ０，即有

我们易求得微分方程在上面的初始条件下的解为

问题：当t→，我们将会有Ｎ(t)→,这似乎不太可能。实际背景：这个模型可以与１９世纪以前欧洲一些地区的统计资料很好地吻合，但是后来人们用它来与１９世纪的人口资料比较时却发现了相当大的差异。从图中可一看到在1925年之前曲线很光滑，在1950年左右出现变化。

图中可以看到在1875年之前拟合得出的曲线和真实曲线匹配的很好，但在之后两者之间的差距越来越大。拟合曲线真实数据

随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著。人口较少时，人口的自然增长率基本上是常数，而当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口的增加而减少。

２、Logistic模型

荷兰生物数学家Verhulst引入常数Ｎm表示自然资源和环境条件所能容纳的最大人口，并假定净相对增长率等于

这样，上面模型中的方程就变为则上面微分方程的解为易看出，当t→时，当

Ｎ(t)→Ｎm。Logistic模型结果经过计算发现与实际情况比较吻合。Logistic模型曲线与真实情况拟合很好,并很好的预示了人口发展趋势。这个曲线形状像不像‘s’捕鱼问题问题：在鱼的总量保持稳定的前提下，达到最大捕鱼量或者最多的经济效益。

设时刻t鱼场中的鱼量为x(t)，鱼场资源条件所限制的x的最大值为xm，类似人口模型中的Logistic模型，我们得到在无捕捞情况下的关于x(t)的微分方程假设单位时间内捕捞量与渔场的鱼量成正比，捕捞率为K，则在有捕捞的情况下，x(t)应满足但是，我们并不关心方程的解的表达，因为我们只要知道稳定的鱼群时最大的捕捞量或经济效益，那么如何知道什么时候鱼群x（t）稳定呢？对于方程我们把代数方程f(x)=0的实根x0称为上面方程的平衡点。显然，x=x0是它的一个解。另外，在点x0附近，有taylor展开式若f’(x0)<0，故当x>x0时，，从而当t增加时，导数为负数，x(t)下降，x向x0方向减少；当x<x0时，，从而当t增加时，x向x0方向增大。故x(t)→x0，x0是稳定的平衡点。反之，若f’(x0)>0，则x0是稳定的不平衡点。

我们不难求出方程

的平衡点易得

根据上面关于平衡点的讨论易知，当K<r时，上面所求的x0即为平衡的稳定点。换句话说，只要不是“竭泽而鱼”，K<r就是鱼业生产所必须遵守的基本条件。下面我们用图解法讨论在保持鱼量稳定的前提下，如何选取捕捞率Ｋ使捕捞量最大。设

当K<r时，曲线f1(x)与f2(x)必相交p，其交点的横坐标为x0为稳定平衡点（f（x0）=0），在所有与抛物线相交的直线中，选择过抛物线的顶点Ｐ＊的直线将得到最大的捕捞量f(x0),此时，此时是能获得最大的持续产量

在保持鱼场渔量稳定的前提下，如何使经济利润最大。设鱼的单价为p，设开支与捕捞率成正比，比例系数为c，则在保持鱼量稳定的条件下单位时间内捕捞利润是上面我们所得到的式子从此式中，我们可以解出将此式代入上面的式子中，得令Ｚ’(x0)=0，容易求得使Ｚ(x0)最大的x0为此时捕捞量为§3.3新产品的推销与广告

广告模型

当生产者生产出一批产品后，下一步便去思考如何更快更多的卖出产品。经营者在利用广告这一手段时自然要关心：广告与促销到底有何关系，广告在不同时期的效果如何？3.5VanMeegeren的艺术伪造品

在第二次世界大战后，德国战场安全部发现德国画家HAVanMeegeren拍卖过17世纪荷兰著名画家JanVermeer的名画。１９４５年５月２９日Meegeren以通敌罪被逮捕。然而，Meegeren一口咬定，他从未拍卖过JanVermeer的名画，他声称这副画是他伪造的。

为了证实这一切，他在狱中开始伪造Vermeer的画《耶稣在学者中间》。当他的工作几乎要完成时，他获悉他可能以伪造罪被判刑。于是，他拒绝将他的画老化。

为了解决这一问题，一个由著名化学家、物理学家和艺术史学家组成的国际调查小组调查此事。调查小组用X射线透视等现代手段在油画中发现了现代物质诸如钴蓝的痕迹。这样，伪造罪成立。VanMeegeren也因此被判处一年徒刑。１９４７年１月他在狱中心脏病发作死去。

但是，许多人还是不相信《Emmaus的信徒们》等名画是伪造的。他们的理由是，VanMeegeren在狱中快要完成的画《耶稣在学者们中间》的质量很差。调查小组解释说，由于VanMeegeren对他在艺术界的三流画家地位很不满，因此带着狂热的决心临摹了那副画。当他看到自己的“杰作＂未被识别而轻易出手后，他的决心也随之消失了。这种解释并不能使怀疑者满意，直到１９６７年卡内基梅龙大学的科学家们才利用微分方程模型等办法基本解决了这一问题。物理学家Ruther