第4章 利率期货

第四章利率期货利率期货合约是标的资产价格仅依附于利率水平的期货合约。

本章主要内容描述利率期货运作的机制以及它们是如何报价解释期货价格与现货价格的相互关系在考虑包含利率期货对冲策略的同时讨论久期的概念

对冲利率风险暴露比对冲诸如铜价之类的风险暴露更复杂利率产品的定价方法所决定，未来预期现金流贴现得到的现值。其中现金流取决于未来利率的大小，而且所使用的贴现值也取决于未来利率。可见，导致未来现金流现值波动的因素有两个，一个是未来现金流本身，另一个是贴现因子。利率具有时间属性。为了完全描述利率水平，需要整个利率的期限结构，而铜价可以由单一数字来描述这样，希望对冲利率风险暴露的公司不仅仅必须确定它所要求对冲的期限，而且同时还必须确定他暴露于利率的利率期限。然后他还必须寻找合适的利率期货合约以获得相应的对冲。预备知识有关利率期限结构（thetermstructureofinterestrates）的概念收益率曲线和利率期限结构收益率曲线将具有相同信用级别而期限不同的债券收益率的关系用坐标图曲线表示出来利率期限结构收益率和期限之间的关系市场上所用的收益率曲线都是对国库券市场价格和收益的观察形成的国债是无风险资产，信用差别不影响收益率。所以可以排除信用的差别对收益率的影响国债市场是最活跃的债券市场，流动性最强利率期限结构任何债券都可以看作是零息票债券的组合附息票债券的价值等于复制其现金流的所有零息票债券价值的总和市场的套利交易使得二者相等债券定价的关键确定利率期限结构实际上就是确定零息票债券的利率期限结构零息票国债的期限不长于一年只能从国债实际交易收益率中理论上推导收益率曲线即期利率和远期利率即期利率

n年期即期利率（spotinterestrate），也称n年期零息票利率（zero-couponrate），是从今天开始计算并持续n年期限的投资的利率。

这里所考虑的投资应该是中间没有支付的“纯粹”的n年投资。这意味着所有的利息和本金在n年末支付给投资者。

n年即期利率也指的是n年期零息票收益率（n-yearzero-couponyield）。由定义可知，该收益率正好是不付息票债券的收益率。远期利率（forwardinterestrate）收益率曲线包含了很多的信息可以通过收益率曲线推导未来利率的市场预期—

远期利率远期利率是由当前即期利率隐含的将来一定期限的利率例子：投资者投资2年期的债券的两种选择选择1：购买2年期国债选择2：购买一个1年期国债，到期后再购买另外一个1年期国债根据无套利原则，2个选择的收益率应该相等远期利率（forwardinterestrate）远期利率是由当前即期利率隐含的将来一定期限的利率表5—1远期利率的计算年（n）n年期投资的即期利率第n年的远期利率110.0210.511.0310.811.4411.011.6511.111.5假设这些即期利率以连续复利计息因此，一年期10%年利率意味着今天投资100美元，一年后投资者收到100e0.10=110.52美元；两年期10.5%年利率意味着今天投资100美元，两年后投资者收到100e0.105×2=123.17美元；依此类推。

表5—1中第二年的远期利率是年利率11%。这是由两个即期利率隐含的第一年末至第二年末之间期限的利率。它可以通过一年期每年10%的即期利率和两年期每年10.5%的即期利率计算出来。正是这个第二年的远期利率与第一年10%利率组合在一起，得到整个二年期间年利率为10.5%的即期利率。

为说明第二年的远期利率正是11%，假设投资100美元，则第一年10%年利率和第二年11%年利率（远期利率）在第二年末总收益为：100e0.1e0.11=123.37二年期年利率为10.5%投资的总收益为：100e0.105×2这个结果也是123.37美元。

当这些利率是连续复利，并且将相互衔接时期的利率组合在一起时，整个期间的等价利率是这些利率的简单算术平均值（例如这里的10.5%是10%和11%的平均值）。当这些利率不是连续复利时，这个结果近似成立第三年的远期利率是二年期10.5%年即期利率与3年期10.8%年即期利率隐含的利率，计算的结果是年利率11.4%。这是因为以10.5%年利率投资2年之后再以11.4%年利率投资1年可获得3年期年利率为10.8%的收益。其他的远期利率可用类似的方法计算远期利率计算公式R1是T1年期的即期利率，R2是T2年期的即期利率，且T2>T1，T1与T2期间的远期利率RF

通过即期利率，锁定远期利率假设某个投资者可以按即期利率借款或投资。该投资者可以锁定未来某个时期借款或投资的远期利率某投资者按10%借100美元，1年期，然后将这笔资金按10.5%投资两年在第一年末现金流出100e0.10=110.52美元在第二年末现金流入100e0.105×2=123.37美元因为123.37美元=110.52e0.11,在第二年期间110.52美元的回报正好等于远期利率11%锁定了未来无风险投资的利率例子假设投资者按11%年利率借100美元，4年期，并以10.8%年利率投资3年期在第3年末现金流入100e0.108×3=138.26美元在第4年末现金流出100e0.11×4=155.27美元因为155.27美元=138.26e0.116第4年所借资金利率正好等于远期利率11.6%锁定了未来的无风险借款利率零息票收益率曲线零息票债券（zero-couponbond）是不支付息票的债券。债券的持有者在债券的到期日得到所有的利息和本金收入在实际中并不经常发行零息票债券。然而，通过将普通的附息票债券中的息票“剥离”出来，可以人为创造出零息票债券，“剥离”出的息票可以与本金分开来出售从定义可知，n年期零息票债券收益率就是n年期即期利率。零息票收益率曲线（zero-couponyieldcurve）是表示零息票收益率与到期日之间关系的曲线（也就是即期利率与到期日之间关系曲线）。表5—1中数据的零息票收益率曲线

到期（年）每年利率区分零息票收益率曲线与附息票债券收益率曲线是很重要的。在图5—1所示的情况下，收益率曲线是向上倾斜的，这是因为如下的情况影响了附息票债券收益率：在债券到期前，投资者获得一些利息收入，对应于这些利息收入支付日的贴现率低于最后支付日期对应的贴现率。零息票收益率曲线应该在附息票债券收益率的上面。远期利率零息票收益率附息票债券收益率到期利率有时也考虑远期利率与远期合约期限之间的关系曲线。因此远期利率的期限可以是3个月期、6个月期或其他任何便利的时间期限。如表5—2所示，当收益率曲线是向上倾斜，远期利率高于零息票收益率。

远期利率零息票收益率附息票债券收益率到期利率远期利率曲线在零息票收益曲线之上，而零息票收益率曲线又在附息票债券的收益率曲线之上。到期利率附息票债券收益率零息票收益率远期利率图5—3说明了当收益率曲线向下倾斜时的情况。在这种情况下，附息票债券的收益率曲线在零息票收益率曲线之上，而零息票收益率曲线又在远期利率曲线之上。零息票收益率曲线的确定如何从附息票债券的价格得出零息票收益率曲线一个通常的方法就是所谓的息票剥离方法

考虑表5—2中5个债券价格的数据。由于前3个债券不附息票，对应这些债券期限的连续复利的即期利率，可以利用连续复利计算公式来计算其中，RC是连续复利的利率，Rm是与之等价的每年计m次复利的利率表5—2息票剥离方法的数据债券本金到期期限年息票债券价格1000.25097.51000.50094.91001.00090.01001.50896.01002.0012101.6每6个月支付所列息票数额的一半

第一个债券3个月期限，价格97.5，其收益为2.5。按季度计复利则是每三个月2.5/97.5=2.56%利用复利计算公式，可得连续复利的3个月期年利率是：4ln（1+2.5/97.5）=0.1013类似地，6个月期连续复利年利率是：2ln（1+5.1/94.9）=0.10471年期连续复利利率是：ln（1+10/90.00）=0.1054第四个债券期限1.5年。按如下方式支付：6个月期后4美元；1年期后4美元；1.5年后104美元我们知道在6个月末支付所用的贴现率是10.47%，在1年末支付所用的贴现率是10.54%。债券的价格96美元必须等于债券持有人收到的所有收入的现值

设R表示1.5年期的即期利率，因此：

化简为：即因此，1.5年期的即期利率是10.68%。这是唯一的与6个月期1年期即期利率及表5—2中数据一致的即期利率。表5—2息票剥离方法的数据债券本金到期期限年息票债券价格1000.25097.51000.50094.91001.00090.01001.50896.01002.0012101.6每6个月支付所列息票数额的一半

运用6个月期、1年期、1.5年期即期利率和表5—2中第五个债券的信息，可以计算出2年期的即期利率。如果R表示2年期的即期利率，从以上可得出R=0.1081，即10.81%。按此方法连续做下去，我们可以得到完整的利率期限结构。将零曲线上所获得的这些点用直线连起来，如图5--4所示。利率（%每年）图5—4息票剥离方法给出的零曲线

天数计算惯例天数计算惯例定义了利息随时间累计的方式。通常，我们知道在某个参照期限内（即不同息票支付之间的时间）所获得的利息，我们还对计算其他期限内的利息感兴趣。天数计算惯例常常表示为X/Y

。X定义为两个日期之间计算天数的方式，Y定义为参考期限总天数的度量方式

在两个日期之间所得的利息是：（两个日期之间的天数/参考期限总天数）×在参考期限内所得利息有三种天数计算惯例：1、实际天数/实际天数（期限内）2、30/3603、实际天数/360长期国库券是用实际天数/实际天数（期限内）的方式；公司债券和市政债券是用30/360的方式；短期国债和其他货币市场工具是用实际天数/360的方式。市政债地方政府发行的债券，即地方债短期国债和其他货币市场工具实际天数/360一年的利息所得为期限结构理论预期理论认为，长期利率应该反映预期的未来的短期利率。更精确地说，它认为对应某一确定时期的远期利率应该等于预期的未来的那个期限的即期利率。市场分割理论认为，短期、中期和长期利率之间没有什么联系。不同的机构投资于不同期限的债券，并不转换期限。短期利率由短期债券市场的供求关系来决定，中期利率由中期债券市场的供求关系来决定，等等流动性偏好理论认为，远期利率应该总是高于预期的未来的即期利率。这个理论的基本假设是投资者愿意保持流动性并投资于较短的期限长期借款的借款者愿意用固定利率。在没有其他选择的情况下，投资者将倾向于存短期资金，借款者将倾向于借长期资金。于是金融中介发现他们需要用短期存款来为长期固定利率贷款融资。这将包含额外的利率风险。实际上，为了使存款者和借款者匹配，避免利率风险，金融中介将提高长期利率，使得它超过预期未来的即期利率。这种策略将减少长期固定利率借款的需求，鼓励投资者存更长期限的资金流动性偏好理论使得长期利率大于预期的未来的短期利率。经验检验结果说明收益率曲线向上倾斜的状况比向下倾斜的状况要多，流动性偏好理论与以上结果相一致。远期利率协议远期利率协议（Forwardrateagreement，FRA）是一个远期合约，参与者同意在指定的未来某个时期将某个确定的利率应用于某个确定的本金具体而言，远期利率协议是空头方承诺在未来某个时期将一定数额的名义本金按合同约定的利率贷给多头。例如，两家公司商定，6个月以后开始的一年期定期存款的利率为7%，如果届时利率不是7%，一家公司就要将由利率变动引起的未来利息现金流的变动贴现付给另一家公司FRA通常在指定的未来某个时期的开始时

用现金进行结算。FRA的合成合成方法远期贷款的同时在T1时刻马上将收到的100按照T1时刻的市场利率Libor贷出。但是T1时的L在T0时刻是未知的。所以FRA的本质相当于在期初将未来时刻的Libor锁定为RKFRA的定义FRA合约的名义本金为N，签约日期T0，开始日期T1，结束日期T2，远期价格为RK，到期支付为头寸方向FRA的多头（买方）支付固定利率RK，收到浮动利率Libor。RK是Libor的“市场价格”FRA的定价期初签约时，FRA按照市场对未来远期利率Libor的预期签约FRA的估值公式一Hull：期初时刻T0时FRA合约的价值在期初时刻，L（T1时刻的Libor）为未知，只能估计，而市场上的预期值为RF。T0时刻估值的前提：假定远期利率实现的情况下，即Libor=RF但我们知道FRA是按照RF定价的前提条件是：FRA是公平定价的Hull定价公式的作用判断期初定价是否合理，是否存在套利收益FRA估值公式二T1时刻FRA的价值FRA是在T0时刻签约，T1时刻结算，T1到T2是计息期间一般是计算结算时合约的价值，能够反映FRA交易的盈亏状况在T1结算时刻，Libor是已知的，是真正实现的例子1设零息票收益率曲线如表5-1，我们签署一个FRA协议。本金100万美元，在第一年末至第二年之间的远期利率协议FRA=12%（年复利）。假设远期利率已经实现了的话，我们可以估计FRA的价值。在这种情况下，以连续复利计息的远期利率为11%，以年为间隔计息的复利为11.6278%。计算该远期合约的价值该远期合约的价值就是在第二年末收到的12万美元（12%）和116278美元（11.6278%）的现值之间的差距。由表5-1知道，第二年末零息票的连续复利为10.5%。所以FRA价值为长期和中期国债期货

长期国债期货合约期限超过合约交割月份第一天15年以上的，并从那天起15年内不能回赎的任何政府债券都可以进行交割中期国债期货合约有效期在6.5年和10年之间的任何政府债券（或票据）都能进行交割5年期国债期货合约国债期货的标的资产期限15年，息票率为8%的标准债券其他债券都必须按一定的比例折算成标准债券国债的报价国债价格以美元和1/32美元报出。所报的价格是面值为100美元债券的价格。90—05的报价意味着面值100000美元债券的价格是90156.25美元报价与购买者所支付的现金价格并不相同。现金价格与报价之间的关系为：现金价格=报价+上一个付息日以来的累计利息全价=净价+应计利息

全价和净价利息支付日之间的交割价格应计利息（accruedinterest）买方应该向卖方补偿在卖方持有期间卖方应得的票面利息报价方式：全价（dirtyprice），包含应计利息净价（cleanprice），不包含应计利息净价=全价–

应计利息美国证券市场要求债券以净价报价中国2001年后也实行净价交易制度假设现在是1998年3月5日，所考虑的债券息票利率为11%，在2001年7月10日到期，报价为95—16（即95.50美元）。由于政府债券的息票是每半年支付一次。最近的一次付息日是1998年1月10日，下一次付息将是1998年7月10日。在1998年1月10日与1998年3月5日之间的天数是54天，而1998年1月10日与1998年7月10日之间的天数是181天。政府债券累计利息是基于实际天数/实际天数（期限内）累计利息的计算如下：54/181×5.50美元=1.64美元2001年7月10日到期的每100美元面值债券的现金价格是：95.50美元+1.64美元=97.14美元长期国债期货合约报价与长期国债本身报价相同转换因子长期国债期货合约中规定：空头方可以任意选择交割任何期限长于15年且在15年内不可回赎的债券如何根据所选的债券计算实际交割价格？交割价格等于转换因子乘以期货报价空头方收到的现金=期货报价×交割债券的转换因子＋交割债券上次支付息票以来的累积利息转换因子：相应年限的转换因子，就是相应年限的年利率为8%的标准债券在交割月份第一天的价值转换因子芝加哥交易所规定交割的标准券为期限15年，息票率为8%的国债，其他债券都必须按一定的比例折算成标准债券。转换因子相应年限的年利率为8%的标准债券在交割月份第一天的价值等于面值为100美元的各债券的现金流按8%的年利率贴现到交割月第一天的价值，再扣掉该债券累计利息后的余额。债券的剩余期限只取3个月的整数倍，多余的月份舍掉。如果取整数后，债券的剩余年限为半年的倍数，就假定下一次付息是在6个月以后，否则就假定在3个月后付息，并从贴现值中扣掉累计利息。例子例子

某债券利息率为14%，距到期日还有18年4个月。计算该债券的转换因子。假定债券距到期日还有18年3个月。可以把将来息票和本金支付的所有现金流先贴现到距今3个月后的时点上，此时债券的价值为：交割最便宜的债券交割那些对于空头方来说最便宜的债券（cheapest-to-deliverbond）空头方平仓可收到的价款：期货的报价×转换因子＋累计利息空头方购买债券的成本：债券的报价＋累计利息最便宜的债券债券的报价－期货报价×转换因子转换因子制度转换因子制度转换因子制度下，如果空头交割的是高于8%息票率的债券的话，他将从多头处收到向上的价格调整补偿。而如果交割的是低于8%的债券，她收到的是向下的价格调整。 简单地说，转换因子是面值为1，收益率为8%的标准债券。这样，如果空头方交割的债券利息高于8%，转换因子将大于1，因此空头方实际将收到一个补偿额例子决定交割最便宜债券的因素交割债券的成本=债券报价－（期货报价×转换因子）收益率高于8%，则转换因子大于1收益率低于8%，则转换因子小于1债券价格的变动并不是像转换因子那样进行线性调整的期货报价的决定例子例子期货的现金价格=期货报价×转换因子+累计利息美国短期国债期货定价套利机会第一类套利卖空期货，按期货利率10.6%融资10.6%远期贷款，收益率为国债隐含利率10.75%10.75%第二类套利隐含再购回利率（impliedreporate）相当于已知RK和R2，求解R1隐含再购回利率就是R1R1偏高，RK偏低，期货价格偏高，第一类套利例子短期国债的报价360/n*（100-Y）短期国债的贴现率报价短期国债期货报价例子欧洲美元期货欧洲美元美国本土之外的美元存款欧洲美元利率LIBOR3个月期的伦敦银行同业放款利率欧洲美元期货合约与短期国债期货合约结构一致根据报价计算合约价格的公式Y是期货交割时支付的价格Z是期货的报价欧洲美元期货短期国债与欧洲美元期货合约的区别短期国债期货合约到期价格F收敛于国债的面值是基于短期国债贴现率的合约欧洲美元期货合约的到期价格100（1-R）或者（100（1-Libor））面值减去利息是基于欧洲美元实际利率（R或者Libor）的合约久期Ci包括本金久期的作用和本质衡量利率变动导致的债券价格的变动，即衡量债券价格与利率的相关性久期的定义债券久期D的定义：5.7根据公式5.6，可以得到5.85.9对t求一阶导数债券收益是指债券收益率

y用久期度量债券价格与收益率变动的关系反比例子债券组合的久期修正的久期久期匹配和凸度凸度基于久期的套期保值策略局限性例子对冲工具的选择尽可能选择标的资产的久期与被保值资产的久期相等的期货合约利率和期货价格反向运动利率与债券价格成反比债券价格与期货价格成正比，期货价格与利率也成反比如果头寸在利率下跌时会有损