第3章 压力容器安全设计的理论与基础知识3

第三章压力容器安全设计的理论与基础知识§3-4壳体的边缘应力§3-4壳体的边缘应力

薄膜应力是假设壳壁很薄，根本不能随弯矩，没有弯曲应力。实际上压力容器的壳体总有一定的刚度，受压时半径增大，壳壁曲率发生变化，壳体总是存在一些弯曲应力。另外，几何形状不连续，也会产生“不连续应力”或“边缘应力”(变形不同，互相牵制”。壳体不连续应力的影响范围很小，即它只存在于联接处两边附近的很窄的一个区域内，而且它也不直接影响到壳体的破坏强度。但在一些不合理的结构中，不连续应力可以达到很高的数值，而高的局部应力对受反复载荷的容器的疲劳寿命是有很大影响的。边缘应力的概念(1)圆筒受内压直径增大时，筒壁金属的环向“纤维”不但被拉长了，而且它的曲率半径由原来的R变到R+ΔR，如图所示。根据力学可知，：有曲率变化就有弯曲应力。所以在内压圆筒壁的纵向截面上，除作用有环向拉应力σ2外，还存在着弯曲应力σ2b。但由于这一应力数值相对很小，可以忽略不计。边缘应力的概念(2)圆筒与封头、圆筒与法兰、不同厚度或不同材料的筒节、裙式支座与直立壳体相联接处的平行圆等。此外，当壳体经线曲率有突变或载荷沿轴向有突变的接界平行圆，亦应视作联接边缘，以上各种情况参见图3—25。边缘应力的概念(3)圆筒形容器受内压之后，由于封头刚性大，不易变形．而筒体刚性小，容易变形，连接处二者变形大小不同，即圆筒半径的增长值大于封头半径的增长值，如图3—26a左侧虚线所示。如果让其自由变形，必因两部分的位移不同而出现边界分离现象，显然。这与实际情况不符。实际上由于边缘联接并非自由，必然发生如图3—26a右侧虚线所示的边缘弯曲现象，伴随这种弯曲变形。也要产生弯曲应力，因此，联接边缘附近的横截面内，除作用有轴(经)向拉伸应力σ1外，还存在着轴(经)向弯曲应力σ1b，这就势必改变了无力矩应力状态，用无力矩理论就无法求解。边缘应力的概念(3)分析这种边缘弯曲的应力状态，可以将边缘弯曲现象看作是附加边缘力和弯矩作用的结果，如图3—26b所示。意思就是在壳体两部分受薄膜力之后出现了边界分离，若再加上边缘力和弯曲使之协调，才能满足边缘联接的连续性。因此联接边缘处的应力就特别大。如果确定这种有力矩的应力状态就可以简单地将薄膜应力与边缘弯曲应力叠加。边缘应力的特点：今有一内径为Di=1000毫米，壁厚S=10毫米的钢制内压圆筒，其一端为平板封头，且封头厚度远远大于筒体壁厚。内压为P=1MPa，经理论计算和实测其内、外壁轴向应力(薄膜应力与边缘弯曲应力的叠加值)分布情况如图3—27所示。边缘应力的特点：其一，局部性。不同性质的联接边缘产生不同的边缘应力，但它们都有一个明显的衰减波特性。以圆筒壳为例，其沿轴向的衰减经过一个周期之后，即离开边缘距离为2.5(其中r与s分别为圆筒的半径与壁厚)之处边缘应力已经基本衰减完了。边缘应力的特点：其二，自限性。从根本上说，发生边缘弯曲的原因是由于薄膜变形不连续。自然，这是指弹性变形。当边缘两侧的弹性变形相互受到约束，则必然产生边缘力和边缘弯矩，从而产生边缘应力。但是当边缘处的局部材料发生屈服进入塑性变形阶段时，上述这种弹性约束就开始缓解，因而原来不同的薄膜变形便趋于协调，结果边缘应力就自动限制。这就是边缘应力的自限性。边缘应力的特点：边缘应力与薄膜应力不同，薄膜应力是由介质压力直接引起的，而边缘应力则是由联接边缘两部分变形协调所引起的附加应力，它具有局部性和自限性，通常把薄膜应力称为一次应力，把边缘应力称为二次应力。根据强度设计准则，具有自限性的应力，一般使容器直接发生破坏的危险性较小。对边缘应力的处理：(1)在边缘区作局部处理。由于边缘应力具有局部性，在设计中可以在结构上只作局部处理。例如，改变连接边缘的结构，如图3-28所示；边缘应力区局部加强；保证边缘区内焊缝的质量；降低边缘区的残余应力（如进行消除应力热处理）；避免边缘区附加局部应力或应力集中，如不在连接边缘区开孔等。对边缘应力的处理：(2)只要是塑性材料，即使边缘局部某些点的应力达到或超过材料的屈服点，邻近尚未屈服的弹性区能够抑制塑性变形的发展，使塑性区不再扩展，故大多数塑性较好的材料制成的容器，例如低碳钢、奥氏体不锈钢、铜、铝等压力容器，当承受静载荷时，除结构上作某些处理外，一般并不对边缘应力作特殊考虑。但是，某些情况则不然。例如，塑性较差的高强度钢制的重要压力容器，低温下铁素体钢制的重要压力容器，受疲劳载荷作用的压力容器等。对于这些压力容器，如果不注意控制边缘应力，则在边缘高应力区有可能导致脆性破坏或疲劳破坏。因此必须正确计算边缘应力。对边缘应力的处理：(3)由于边缘应力具有自限性，它的危害性没有薄膜应力的大。薄膜应力随着外力的增大而增大，是非自限性的。如前所述，具有自限性的应力属二次应力。当分清应力性质以后，在设计中考虑边缘应力可以不同于薄膜应力。实际上，无论设计中是否计算边缘应力，在边缘结构上作妥善处理显然都是必要的。弹性基础梁的弯曲关系

为了求解壳体在联接处附近产生的这些弯曲应力和剪应力，就必须研究壳体的弯曲变形与作用力及力矩之间的关系。研究整个壳体的弯曲变形关系可以对壳体上的纵向微元细条进行受力分析，而壳体纵向微条的弯曲又与弹性基础梁的弯曲相似，因此需要先讨论弹性基础梁的弯曲关系。弹性基础梁的弯曲关系

弹性基础梁——搁置在能连续支承而且具有弹性的基础上，它在集中载荷下即产生弯曲。这种梁上任一点的挠度y与作用于该点梁上的的基础反力q成正比k（基础反力与挠度的比例常数）。即q=kyx、M、Q——梁上任意点的（距载荷作用点的）距离，弯矩、剪力。弹性基础梁的弯曲关系

现从梁上该任意点处割取长度为dx的一个微体，微体两端的受力情况如图（3-35）所示。由于微体处于平衡状态，则作用于微体上垂直方向上的力的总和应为零，即：∑F＝Q-（Q+dQ）+kydx＝0dQ/dx=ky同样，取距载荷作用点为x+dx处的弯矩总和为零，则得：∑M＝Qdx+M-（M+dM）+kydx·dx/2=0略去高阶微量(dx)2,则得：dM/dx＝Q，即：弹性基础梁的弯曲关系

设距载荷作用点为x处梁的中性层的曲率半径为ρ，则其倒数、1/ρ便是梁轴的曲率。由材料力学得知弯曲梁的弹性曲线和弯矩M成正比，而与它的惯性矩J及材料的纵性弹性模量E成反比。关系式为：，其中乘积EJ成为梁的弯曲刚度。而由微积分中得到曲率的表达式为：对于很小的挠度y，dy/dx的数值要比1小得多，略去分母中的（dy/dx）2即得：因此弯曲梁的弹性曲线的一般方程式是：弹性基础梁的弯曲关系

对两次求导得：，得：，令，，即：这个四阶微分方程的特征方程为：λ4+4β4=0其根为：β(1±i)和－β(1±i)。故微分方程的解为：y=eβx(C1cosβx+C2sinβx)+e-βx(C3cosβx+C4sinβx)在远离载荷处，即x=∞，y→0，则C1，C2都为零。即得弹性基础梁的弯曲关系式:常数c3和c4可以由梁的各种特殊条件求出。圆筒形壳体的弯曲

有一圆筒形壳体受到相邻壳体的牵制而产生半径缩小（或增大）的变形，从壳体中割取一个纵向微条，如图所示。则壳体发生半径缩小Δr的变形就是这纵向微条产生挠度y的弯曲变形，y=Δr。在壳体中与联接处的距离不同的各个截面上半径缩小是不同的，也就是这一微条沿着它的长度方向具有不同的挠度y。

设微条的宽度为一单位长度，并令：δ=壳体厚度；y=在距离联接处为x的壳体半径的形变，y=Δr；M0、Q0=在联接处单位圆周长度的弯矩和剪力。圆筒形壳体的弯曲

因为壳体的纵向微条的弯曲与弹性基础梁的弯曲相似。则弯曲曲线方程仍为：而它的常数C3、C4则可以由微条的端点条件（联接处）求出：以平板式壳壁的弯曲刚度D代替梁的弯曲刚度EJ，则：式中为平板弯曲刚度。将弯曲曲线方程求导带入上式得：将C3、C4代入弯曲曲线方程，求出：挠度y、。圆筒形壳体的弯曲下面是具体表达式：令：A1=e-βx(cosβx+sinβx)；A2=e-βxsinβxA3=e-βx(cosβx-sinβx)；A4=e-βxcosβx

挠度y及斜率θ在x=0处，取得最大值。函数A1、A2、A3和A4之值可由表查得βxA1A2A3A4βxA1A2A3A401.00000.00001.00001.00002.20.02440.0896-0.1548-0.06520.10.99070.09030.81000.90032.30.00800.0748-0.1416-0.06680.20.96510.16270.63980.80243π/40.00000.0670-0.1340-0.06700.30.92670.21890.48880.70772.4-0.00560.0613-0.1282-0.06690.40.87840.26100.35640.61742.5-0.01660.0491-0.1149-0.06580.50.82310.29080.24150.53232.6-0.02540.0383-0.1019-0.06360.60.76280.30990.14310.45302.7-0.03200.0287-0.0895-0.06080.70.69970.31990.05990.37982.8-0.03690.0204-0.0777-0.0573π/40.64480.32240.00000.32242.9-0.04030.0132-0.0666-0.05340.80.63540.3223-0.00930.31313.0-0.04230.0070-0.0563-0.04930.90.57120.3185-0.06570.25273.1-0.04310.0019-0.0469-0.04501.00.50830.3096-0.11080.1988π-0.04320.0000-0.0432-0.04321.10.44760.2967-0.14570.15103.2-0.0431-0.0024-0.0383-0.04071.20.38990.2807-0.17160.10913.4-0.0408-0.0085-0.0237-0.03231.30.33550.2626-0.18970.07293.6-0.0366-0.0121-0.0124-0.02451.40.28490.2430-0.20110.04193.8-0.0314-0.0137-0.0040-0.01771.50.23840.2226-0.20680.01585π/4-0.0279-0.01390.0000-0.0139π/20.20790.2079-0.20790.00004.2-0.0204-0.01310.0057-0.00741.60.19590.2018-0.2077-0.00594.4-0.0155-0.01170.0079-0.00381.70.15760.1812-0.2047-0.02354.6-0.0111-0.01000.0089-0.00111.80.12340.1610-0.1985-0.03763π/2-0.0090-0.00900.00900.00001.90.09320.1415-0.1899-0.04847π/40.0000-0.00290.00580.00292.00.06670.1231-0.1794-0.05632π0.00190.00000.00190.00192.10.04390.1057-0.1675-0.06189π/40.00120.00060.00000.0006求式中的β值

以平板或壳壁的弯曲刚度D来代替梁的弯曲刚度EJ则得：所以只要求出壳体基础反力ｑ与挠度y的比例常数k，即可得出β值。因为单位宽度的微条在距壳体联接处为x处的半径缩小量为Δr，则该截面圆周的相对压缩变形为ε2=Δr/r，因此在此处产生的环向应力便为：

则单位长度上的纵向微条的环向力为：由于纵向微条所对的圆周角φ=1/r，所以环向力的径向分力为：这个微条的径向分力P反抗微条产生挠度，而且它与挠度成比例地沿着微条的长度分布，它相当于弹性基础梁上的基础反力q（因为q是单位长度的基础反力），故得故:圆筒体与封头联接组成的容器的应力由圆筒体与各种封头联接而构成的容器，由于筒体和封头的几何形状不同，在相同的压力作用下产生不同的径向变形。因此在联接处，筒体和封头就互相牵制从而引起不连续应力。这不连续应力可以看作是由作用在联接处的弯矩M0及径向剪力Q0而产生的，它在联接处附近的壳体截面上引起不同的径向剪应力和正应力。在壳壁的圆周方向，这正应力包括因壳体直径被缩小（或增大）而产生的压缩（或拉伸）应力σc和由于壳壁产生纵向弯曲而引起的环向弯曲应力σθb，在壳壁的经向（纵向、轴向），则只是由于壳壁的弯曲而产生的纵向弯曲应力σmb。圆筒体与封头联接组成的容器的应力

由于弯矩M0及径向剪力Q0的作用，在距联接处为x的壳体截面上每单位圆周长度的弯矩为M。而沿经线方向，筒壁每单位圆周长度的抗弯模量为W=δ2/6，因此在壳体联接处附近的任意截面（距联接处为x）上的经向合成应力即为：圆筒体与封头联接组成的容器的应力由于弯矩M0及径向剪力Q0的作用，在距联接处为x的壳体产生的半径缩小（增加）值为y。所以由此而产生的环向压缩（拉伸）应力σc即为，而由于纵向弯曲而产生的环向弯曲应力σθb为，因此在距联接处为x的壳体截而上的环向合成应力即为：圆筒体与封头联接组成的容器的应力公式中的弯矩M及径向形变（即壳体纵向微条的挠度）y决定于作用在联接处的弯矩M0及径向剪力Q0。由于两个壳体联接时必须受到以下两个特殊条件的限制，即：①在联接处，圆筒体与封头的径向总形变（即由于压力而引起的半径增量与由于壳体互相牵制而产生的挠度之和）必须相等；②在联接处，圆筒体与封头的总弯曲变形曲线的斜率（角转移）也必须相等。因此建立两个只包括未知数M0及Q0的等式，并联解这二元一次方程组即可求得M0及Q0。上面用以计算壳体联接处附近的挠度、斜率、弯矩及剪力等公式虽然都是建立在圆筒形壳体的基础上的，但在薄壁容器中，这种由于壳体联接的相互牵制而产生的弯曲变形是局部的，受其影响而引起不连续应力只存在于联接处附近的一个很窄小的区域范围内。对于球形、椭球形或圆锥形封头，在这样一个窄短的范围中，在形状上可以看作为一个圆筒体。因此上面这些计算公式也适用这些封头在联接处附近的窄小区域的近似计算。圆筒体与封头联接组成的容器的应力圆筒体与封头联接组成的容器应力计算的步骤如下：第一步：把圆筒体与封头看作是在联接处分离开的独立壳体；第二步：把圆筒体与封头的有关系数如：β、D以及由它们组成的公式中Q0及M0项的系数先计算出来；第三步：分别计算出圆筒体与封头由于压力的作用而产生的径向形变及斜率（角转移）；第四步：令在联接处圆筒体的径向总形变（包括由于压力产生的和由弯矩M0及径向剪力Q0引起的径向形变）与封头总形变相等，并令在联接处圆筒体的总弯曲变形曲线的斜率与封头的总弯曲斜率相等，并联解这两等式而求得M0及Q0；第五步：根据M0，Q0写出距联接处为x的壳体截面上的弯矩方程式；第六步：写出距联接处x的壳体截面上合成应力的方程式；第七步：求出最大的径向合成应力和环向合成应力以及所在的位置，必要时应绘出应力变化曲线。圆筒体与半球形封头联接一般取圆筒体与半球形封头具有相同的厚度δ。令：R——圆筒体与半球封头的半径；δ——圆筒体与半球封头的壁厚；p——容器内的压力；M0——在联接处的单位圆周长度的弯矩；Q0——在联接处的单位圆周长度的径向剪力。M0、Q0的方向假定如图。圆筒体与半球形封头联接圆筒体在内压p作用下：经向应力：环向应力：环向相对形变亦即半径的相对形变为：圆筒体的半径增量为：圆筒体与半球形封头联接半球形封头在内压p作用下：经向应力和环向应力均为:环向相对形变亦即半径相对形变为:半球形封头的半径增量为:

圆筒体与半球形封头联接在联接处，圆筒体由于弯矩M0及径向剪力Q0而产生的挠度、斜率:半球封头由于弯矩M0及径向剪力Q0而产生的挠度、斜率，因为这种弯曲变形只局限在很短的一段筒节中，所以也可上式求得，因为R，δ与圆筒体相同，则它的挠度和斜率应分别为：圆筒体与半球形封头联接在联接处圆筒体与封头的总弯曲变形曲线的斜率必相等：得：所以M0=0

在联接处圆筒体与封头的径向总形变必相等：得：（正值，说明假设方向是正确的）圆筒体与半球形封头联接在与联接处距离为x的任意截面的挠度及弯矩求得：圆筒体的经向合成应力：圆筒体的环向合成应力：圆筒体与半球形封头联接

经向合成应力的第二项弯曲应力与函数值A2=e-βxsinβx有关，A2在βx=π/4取得最大值，即在时应力最大；

环向合成应力与函数A2，A4之值有关，约在βx=π/2处有最大值。半球形封头应力计算方法相同，但环向合成应力第一项应为球体薄膜应力，第二项取正值，因为径向剪力使它的半径增大。圆筒体与等厚的半球封头联接，其不连续应力和范围都较小，如采用塑性好的材料（碳钢