第八节二次曲面

第八节一、椭球面二、抛物面

三、双曲面二次曲面第八章二次曲面空间直角坐标系中的空间曲面用方程F(x,y,z)=0表示.若方程F(x,y,z)=0中的x、y、z是一次(或某些项为零)的，则表示的曲面为平面，也称平面为一次曲面.若方程F(x,y,z)=0中的x、y、z是二次(或某些项为一次、零次)的，即方程F(x,y,z)=0为三元二次方程，则表示的曲面称为二次曲面.即：三元一次方程A

x+By+Cz+D=0

所表示的平面被称为一次曲面．其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面了解空间曲面形状的两种常用方法：（1）截痕法用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．（2）伸缩变形法：

将空间曲面C

：F(x,y,z)=0沿y

轴方向伸缩倍而得到空间曲面C´，则C´的方程为：平面图形的伸缩变形法图形C´由图形C

沿y

轴方向伸缩倍而得到。问题1：如何确定C´的方程？结论1：将平面曲线

C

：F(x,y)=0沿y

轴方向伸缩倍而得到平面曲线

C´的平面方程为：结论1：将平面曲线C

：F(x,y)=0沿y

轴方向伸缩倍而得到平面曲线C´的平面方程为：结论2：将平面曲线C

：F(x,y)=0沿x

轴方向伸缩倍而得到平面曲线C´的平面方程为：结论3：将空间曲面C

：F(x,y,z)=0沿y

轴方向伸缩倍而得到空间曲面C´的方程为：下面用上述两种方法研究一些特殊二次曲面的形状(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆1.椭球面与的交线为椭圆：(4)当a＝b

时为旋转椭球面;同样的截痕及也为椭圆.当a＝b＝c

时为球面.(3)截痕:为正数)椭球面的伸缩法：（1）将xoy面上的椭圆绕x轴旋转，所得旋转曲面称为旋转椭球面，其方程为（2）再将其沿z

轴方向伸缩倍：即得椭球面也可由下面方法伸缩变形而来（1）将球面得旋转椭球面：即得椭球面：所以，球面是旋转椭球面的特殊情形，而后者又是椭球面的特殊情形。沿z

轴方向伸缩倍：（2）再将旋转椭球面沿

y

轴方向伸缩倍：椭球面的画法：xyzOabc1．选择坐标系；2．画坐标面与曲面的交线；3．画出轮廓线．椭球面的画法：xyzOabc1．选择坐标系；2．画坐标面与曲面的交线；3．画出轮廓线．由xoz面上的抛物线：绕z轴旋转，得一旋转抛物面：再将其沿y轴方向伸缩倍：即得椭圆抛物面：2.抛物面(1)椭圆抛物面(p,q

同号)(2)双曲抛物面（鞍形曲面）(p,q同号)当z=h>0时，截线是双曲线当z=h=0时，截线是xoy平面上的两条相交于原点的直线;当z=h<0时，截线是双曲线，但实轴平行于x轴，虚轴平行于y轴.当x=h=0时，截线是yOz平面上的顶点为原点的抛物线当y=h=0时，截线是xOz平面上的顶点为原点的抛物线，且开口向下.把xOz面上的双曲线绕z轴旋转，得旋转单叶双曲面

.把此旋转曲面沿y轴方向伸缩倍，即得单叶双曲面.3.双曲面(1)单叶双曲面把xOz面上的双曲线绕x轴旋转，得旋转双叶双曲面.把此旋转曲面沿y轴方向伸缩倍，即得双叶双曲面.(2)双叶双曲面椭圆在平面x＝0或y＝0上的截痕为过原点的两直线.可以证明,椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上.①(椭圆锥面也可由圆锥面经x

或y方向的伸缩变换得到)4.椭圆锥面5柱面椭圆柱面双曲柱面抛物柱面母线平行于z

轴母线平行于z

轴母线平行于z

轴内容小结1.

空间曲面三元方程球面旋转曲面如,曲线绕z

轴的旋转曲面:

柱面如,曲面表示母线平行z

轴的柱面.又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.三元二次方程椭球面抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面双曲面:单叶双曲面双叶双曲面椭圆锥面:2.二次曲面斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方程平行于y