第三章.逻辑函数与逻辑函数化简ppt

第三章逻辑代数与逻辑函数化简§3.1逻辑代数及运算规则数字电路要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，所以数字电路又称逻辑电路，相应的研究工具是逻辑代数（布尔代数）。在逻辑代数中，逻辑函数的变量只能取两个值（二值变量），即0和1，中间值没有意义。0和1表示两个对立的逻辑状态。例如：电位的低高（0表示低电位，1表示高电位）、开关的开合等。3.1.1逻辑代数的基本运算规则加运算规则:0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1乘运算规则:0•0=00•1=01•0=01•1=1非运算规则:3.1.2逻辑代数的运算规律一、交换律二、结合律三、分配律A+B=B+AA•B=B•AA+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+BA•(B•C)=(A•B)•CA(B+C)=A•B+A•CA+B•C=(A+B)(A+C)求证:

（分配律第2条）A+BC=(A+B)(A+C)证明:右边=(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC;分配律=A+A(B+C)+BC;结合律,AA=A=A(1+B+C)+BC;结合律=A•1+BC;1+B+C=1=A+BC;A•1=1=左边四、吸收规则1.原变量的吸收：A+AB=A证明：A+AB=A(1+B)=A•1=A利用运算规则可以对逻辑式进行化简。例如：被吸收吸收是指吸收多余（冗余）项，多余（冗余）因子被取消、去掉

被消化了。长中含短，留下短。2.反变量的吸收：证明：例如：被吸收长中含反，去掉反。3.混合变量的吸收：证明：例如：1吸收正负相对，余全完。五、反演定理可以用列真值表的方法证明：德•摩根(De

•Morgan)定理：反演定理内容：将函数式F中所有的•++•变量与常数均取反（求反运算）互补运算1.运算顺序：先括号再乘法后加法。2.不是一个变量上的反号不动。注意:用处：实现互补运算（求反运算）。新表达式：F'显然：(变换时，原函数运算的先后顺序不变)例1：与或式注意括号注意括号例2：与或式反号不动反号不动§3.2逻辑函数的表示法四种表示方法逻辑代数式

(逻辑表示式,逻辑函数式)11&&≥1ABY逻辑电路图:卡诺图n个输入变量种组合。真值表：将逻辑函数输入变量取值的不同组合与所对应的输出变量值用列表的方式一一对应列出的表格。逻辑表达式逻辑图真值表卡诺图将输入、输出的所有可能状态一一对应地列出。n个变量可以有2n个输入状态。3.2.1真值表列真值表的方法：一般按二进制的顺序，输出与输入状态一一对应，列出所有可能的状态。例如：3.2.2逻辑函数式逻辑代数式：把逻辑函数的输入、输出关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式。也称为逻辑函数式，通常采用“与或”的形式。例：下面介绍两个重要概念——最小项和逻辑相邻。1.最小项——n个变量的最小项就是n个变量的乘积x1x2…xnx1′x2′…xn′xi′代表，

xi

xi

每个与项中，每个变量或以原变量或以反变量形式出现，且只出现一次以三变量的逻辑函数为例：变量赋值为1时用该变量表示；变量赋值为0时用该变量的反来表示。可见输入变量的八种状态分别唯一地对应着八个最小项。(1)若表达式中的乘积包含了所有变量的原变量或反变量，则这一项称为最小项。最小项的特点：(2)当输入变量的赋值使某一个最小项等于1时，其他的最小项均等于0。之所以称之为最小项，是因为该项已包含了所有的输入变量，不可能再分解。例如：对于三变量的逻辑函数，如果某一项的变量数少于3个，则该项可继续分解；若变量数等于3个，则该项不能继续分解。根据最小项的特点，从真值表可直接用最小项写出逻辑函数式。例如：由左图所示三变量逻辑函数的真值表，可写出其逻辑函数式：验证：将八种输入状态代入该表示式，均满足真值表中所列出的对应的输出状态。逻辑相邻：若两个最小项只有一个变量以原、反区别，其他变量均相同，则称这两个最小项逻辑相邻。逻辑相邻逻辑相邻的项可以合并，消去一个因子3.2.3卡诺图卡诺图的构成：将n个输入变量的全部最小项用小方块阵列图表示，并且将逻辑相邻的最小项放在相邻的几何位置上，所得到的阵列图就是n变量的卡诺图。下面举例说明卡诺图的画法。最小项：输入变量的每一种组合。ABY001011101110AB01010111输出变量Y的值输入变量例1：二输入变量卡诺图卡诺图的每一个方块（最小项）代表一种输入组合，并且把对应的输入组合注明在阵列图的上方和左方。逻辑相邻：相邻单元输入变量的取值只能有一位不同。0100011110

ABC00000111输入变量输出变量Y的值ABCY00000010010001101000101111011111例2：三输入变量卡诺图注意：00与10逻辑相邻。ABCD0001111000011110四变量卡诺图编号为0010单元对应于最小项：ABCD=0100时函数取值函数取0、1均可，称为无所谓状态。只有一项不同例3：四输入变量卡诺图有时为了方便，用二进制对应的十进制表示单元格的编号。单元格的值用函数式表示。ABC0001111001F(A,B,C)=(1,2,4,7)1,2,4,7单元取1，其它取0

ABC编号

00000011010201131004101511061117ABCD0001111000011110四变量卡诺图单元格的编号:F=f(ABCDE)20212322181917162829313026272524121315141011984576231000000101101011011110110000011110ABCDE五变量卡诺图单元格的编号:卡诺图的最大优点：形象地表达了变量各最小项之间在逻辑上的相邻性。图中任何几何位置相邻的最小项，在逻辑上都具有相邻性。卡诺图的缺点：随着变量的增加，图形迅速复杂化，所以只适用于少于5～6变量的逻辑函数。3.2.4逻辑图把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示出来，就构成了逻辑图。&AB&CD1FF=AB+CD3.2.5逻辑函数四种表示方式的相互转换一、逻辑电路图逻辑代数式BABY=AB+ABABA1&AB&1≥1

二、真值表卡诺图ABY001011101110二变量卡诺图真值表AB10101110三、真值表、卡诺图逻辑代数式方法：将真值表或卡诺图中为1的项相加，写成“与或式”。

真值表

ABY001011101110AB01010111AB此逻辑代数式并非是最简单的形式，实际上此真值表是与非门的真值表，其逻辑代数式为Y=AB因此，有一个化简问题。ABAB§3.3逻辑函数的化简最简与或式乘积项的项数最少。每个乘积项中变量个数最少。化简方法代数法卡诺图法列表法目的：①降低成本

②提高可靠性3.3.1利用逻辑代数的基本公式例1：反变量吸收提出AB=1提出A例2：反演配项被吸收被吸收结论：异或门可以用4个与非门实现。例3:

证明;AB=A+B;展开异或门可以用4个与非门实现：&&&&ABY例4：化简为最简逻辑代数式例5：将Y化简为最简逻辑代数式。;利用反演定理;利用公式A+AB=A+B；A=A归纳：

优点是——不受变量数目的约束；当对公理、定理和规则十分熟练时，化简比较方便。缺点是——没有一定的规律和步骤，技巧性很强，适合变量个数较少的情况，而且在很多情况下难以判断化简结果是否最简。代数化简法

函数最小项表达式与其卡诺图一一对应例：F(A,B,C)=ABC+ABC010001000001111001ABC3.3.2利用卡诺图化简

从卡诺图读出与或式第①步：画圈1.将相邻为1的小方格画圈，包括的小方格的个数为2m,

m=0,1,2…2.圈越大越好3.小方格可以重复使用相邻的概念——紧靠在一起的、行列首尾的、对称的111001000001111001ABC1001000000001001

0001111000011110ABCD0110000000000110

0001111000011110ABCDABC0001111001该方框中逻辑函数的取值与变量A无关，当B=1、C=1时取“1”。第②步：每个圈是一个与项向左看向上看变量不同——消去变量相同1——原变量0——反变量1001000000001001

0001111000011110ABCD0110000000000110

0001111000011110ABCD第③步：将所有的与项相加1101110000111011

0001111000011110ABCDF=AC+AC+BDABC0001111001ABBCF=AB+BC卡诺图适用于输入变量为3、4个的逻辑代数式的化简；化简过程比公式法简单直观。利用卡诺图化简的规则1.相邻单元的个数是2n个，并组成矩形时，可以合并。ABCD0001111000011110ADABCD00011110000111104.每一个组合中的公因子构成一个“与”项，然后将所有“与”项相加，得最简“与或”表示式。2.先找面积尽量大的组合进行化简，利用吸收规则，2n个相邻单元合并，可吸收掉n个变量。3.各最小项可以重复使用。但每一次新的组合，至少包含一个未使用过的项