第十三讲 随机信号通过连续时间系统分析

主要内容3.1

线性系统基本理论3.2

随机信号通过连续时间系统的分析3.3

随机信号通过离散时间系统的分析3.4白噪声通过线性系统和等效噪声带宽3.5希尔伯特变换和解析过程3.6窄带随机过程表示方法3.7

窄带随机过程包络和相位的特性3.8

正弦信号与窄带SP之和的包络和相位的特性2/1/20231

在系统给定的条件下，输出信号的某个统计特性只取决于输入信号的相应的统计特性，而不依赖于输入信号的其它统计特性。根据输入随机信号的均值、相关函数和功率谱度，再加上已知线性系统单位冲激响应或传递函数，就可以求出输出随机信号相应的均值、相关函数和功率谱密度。

分析方法：时域法（卷积积分法）；频域法。3.2

随机信号通过连续时间系统的分析2/1/202321、系统输出表达式（因果系统）2、线性系统输出的统计特性

系统输出的均值

系统输入与输出之间的互相关函数

系统输出的自相关函数

系统输出的高阶距3、系统输出的平稳性和遍历性

系统输出的平稳性

系统输出的遍历性时域分析法

2/1/202331.系统输出表达式（因果系统）确定性函数输入随机信号X(t)的某个实验结果的一个样本函数x(t)，则输出为：因果系统系统的单位冲激响应确定性函数对于随机信号X(t)任意一个样本函数均成立。则对于所有的试验结果，系统输出为一族样本函数，这样一族样本函数构成随机过程Y(t)2/1/202342.线性系统输出的统计特性——

系统输出均值系统输出随机信号的均值可以由输入信号的均值和系统单位冲激响应确定，即证明若X(t)平稳随机过程2/1/202352.线性系统输出的统计特性——

输入输出互相关函数由于系统的输出是系统输入的作用结果，因此，系统输入输出之间是相关的，系统输入输出相关函数为证明若X(t)平稳随机过程2/1/202362.线性系统输出的统计特性——

输出自相关函数已知系统输入随机信号的自相关函数，可以求出系统输出端的自相关函数

证明2/1/202372/1/20238若X(t)平稳随机过程2/1/20239随机信号通过线性系统输入输出相关函数关系),(21ttRX),(21ttRXY),(21ttRY)(2th)(1th),(21ttRX),(21ttRYX),(21ttRY)(2th)(1th平稳情况)(tXR)(tYR)(t-h)(th)(tXR)(tYR)(t-h)(th2/1/2023102.线性系统输出的统计特性——

高阶矩系统输出的n阶矩的一般表达式为2/1/2023113.系统输出平稳性和遍历性——

平稳性结论1

若输入是宽平稳的，则系统输出也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。证明若输入为宽平稳随机过程，则有：

系统处于稳定状态时，系统输出的平稳性和遍历性问题。这种情况下，系统输出响应在已处于稳态。2/1/202312因为系统稳定，则绝对可积，即因此2/1/202313结论2

若输入是严平稳的，则输出也是严平稳的。证明对于时不变系统，若时移常数T，有输出和分别是输入和与的卷积，即可以表示成级数和的形式。由于随机信号是严平稳的，所以与具有相同的n维概率密度函数，这样与也应该具有相同的n维概率密度函数，即是严平稳的。2/1/2023143.系统输出平稳性和遍历性——

遍历性结论3

若输入是宽遍历性的，则输出也是宽遍历性的，且联合遍历。证明由的宽遍历的定义可知则输出的时间平均2/1/2023152/1/202316解

RC电路的冲击响应为：系统的传递函数为：例

如图所示电路中，输入X(t)平稳随机过程，均值自相关函数为求（1）输出的均值（2）输出的自相关函数（3）输出的平均功率（4）输入与输出的互相关函数2/1/202317(1)输出的均值(2)输出的自相关函数2/1/202318（3）输出平均功率（4）输入输出互相关函数2/1/202319例

线性系统的输入为相关函数的白噪声如果已知输入和输出的互相关函数，求线性系统的单位冲击响应。解

由此可知2/1/202320频域分析法

系统输出的均值

系统输出的功率谱密度

系统输入和输出的互功率谱密度

拉普拉斯变换和傅里叶变换的关系2/1/202321频域分析法——

系统输出的均值定义输入随机信号的功率谱密度为，连续时间系统传递函数为或

。定义系处于稳态，输入信号X(t)是平稳随机信号，则输出Y(t)也是宽平稳的，且Y(t)和X(t)是联合平稳的。2/1/202322频域分析法——

系统输出的功率谱密度由两边取傅里叶变换得：2/1/202323频域分析法——系统输入输出的互功率谱密度2/1/202324频域分析法——拉普拉斯变换和傅里叶变换的关系注意：当系统的单位冲激响应h(t)比较简单的函数，应用时域分析。频域分析法只能计算平稳线性系统输出随机信号的特性。当不可积，可积。因此对于随机信号，通常情况下其拉普拉斯变换是存在的。2/1/202325例

如图所示电路中，输入X(t)平稳随机过程，均值自相关函数为，求系统输出的自相关函数，输出的平均功率，互相关函数。

2/1/202326解由，则有

RC电路的传递函数为：功率的传递函数为：2/1/202327（1）系统输出