第三章 试验的方差分析

第三章试验的方差分析3.1基本术语1、指标：试验中需要考核的参数称为指标，如产品的产量，材料的强度等。从数量上看，指标可以是单一指标，也可以是多指标；从性质上指标可分为定性指标和定量指标。2、因素：可能对指标产生影响的参数称为因素。因素分为可控因素和不可控因素。试验设计讨论的因素一般是可控因素。3、水平：因素的所处的状态或内容称为水平。水平可以是数量性的，如反应温度；也可是属性的，如催化剂种类，原材料产地等。4、方差分析：方差分析是分析试验因素对指标影响是否显著的一种方法。13.2单因素试验的方差分析3.2.1一个具体的例子试验次数60℃65℃70℃75℃80℃123909288979392969693848388848682为了考察温度对某种产品收得率的影响，选取了五种不同的温度，在同一温度下各作三次试验（单位：％）试问：在60-80℃范围内试验，温度对产品收得率有无显著影响？23.2单因素试验的方差分析试验次数60℃65℃70℃75℃80℃123909288979392969693848388848682组平均值9094958584总平均值89.6首先，我们对表中的数据进行如下的计算：可以看出，表中全部15个数据是参差不齐的，它们围绕总平均值产生波动，这个波动是什么原因造成的呢？首先容易想到的是温度取了5个不同的水平，事实上5个水平下的数据平均值、、…之间确实存在差异，它们围绕总平均值产生波动。33.2单因素试验的方差分析另外，每个水平下的三个数据虽然其试验条件相同，但它们之间仍然有差异，它们围绕组平均值产生波动，这个波动显然是由于原材料、设备工具、操作方法、测试技术等微小变化的偶然因素造成。我们将全部数据的总波动称为总离差平方和（或总变动平方和，用SST表示），它可以分解成为两部分：因素变动平方和（或组间离差平方和，用SSA表示），误差变动平方和（或组内离差平方和，用SSe表示）。43.2单因素试验的方差分析从上面的计算可以看出：，这是一种偶然还是一种必然呢？后面我们可以证明这是一种必然。

SST、SSA、SSe

是若干项的平方和，其大小与参加求和的项数有关。为了消除参与求和项数的影响，我们定义自由度如下：总自由度：,

试验总数据个数。因素(组间)自由度：，n为因素的水平数。误差(组内)自由度：，m0试验重复数。53.2单因素试验的方差分析显然，我们用上述离差平方和除以对应的自由度得到均方差：，称为组间均方差或因素平均变动。

，称为组内均方差或误差平均变动。我们将因素平均变动和误差平均变动进行比较，为此构造如下的F函数：

F值的大小，可以来判断因素水平对指标的影响。F值接近1时，说明因素水平的改变对指标的影响和试验误差的影响差不多，即水平改变对指标的影响在误差范围内，也就是说因素水平间无显著差异。63.2单因素试验的方差分析F值越大，说明因素水平改变对指标的影响超过了试验误差造成的影响，即条件误差相对试验误差大得多。现在问题的关键就是F值大到多少可以认为试验结果的差异主要由因素水平的改变引起，小到多少可以认为试验结果的差异主要由试验误差引起，这就需要一个标准，这个标准由F表查出F临界值。见书P203-207附录4。在F表上，横行f1代表F值中分子的自由度，竖行f2代表F值中分母的自由度，相交处的数值即为F临界值。查表时应该注意的选取。检验结果如下：高度显著**显著*不显著73.2单因素试验的方差分析83.2单因素试验的方差分析3.2.2单因素试验方差分析的一般步骤设因素A有n个水平，每个水平重复试验m0次，水平Ai的第j次试验值为yij（i=1,2,…n；j=1,2,…m0），则可将数据以下表形式表达：根据定义有：现证明93.2单因素试验的方差分析1、偏差平方和的分解：103.2单因素试验的方差分析为了计算方便，对各偏差平方和进行简化推导，得到各自的简化计算方法：令，，则113.2单因素试验的方差分析我们以上面的例子为例继续计算：或123.2单因素试验的方差分析从F分布表中查取临界值因为所以因素A高度显著。133.2单因素试验的方差分析如果每个水平上的试验次数mi（i=1,2,…n）不相同，以N代表总的试验次数，则可用下列式子计算：143.2单因素试验的方差分析具体例子可见书上P33例3－2。153.3双因素试验的方差分析例3-2用火焰原子吸收光谱测定矿石中的铋，研究酸度对吸光度的影响。得到如下表所示的结果。试由表中的数据评价酸度对吸光度的影响。试验次数01%2%3%4%12340.1400.1410.1440.1520.1500.1560.1540.1600.1580.1630.1610.1750.1730.1800.1840.1820.186不同酸度时的吸光度163.3双因素试验的方差分析解：173.3双因素试验的方差分析183.3双因素试验的方差分析因此，酸度对吸光度有高度显著的影响。3.3双因素试验的方差分析3.3.1双因素无重复试验的方差分析设在某试验中，有两个因素A和B在变化，A有r种水平，B有s种水平，在每一种组合水平上做1次试验（无重复试验），试验结果如下表：因素B1…Bj…BsA1AiAry11yi1yr1………y1jyijyrj………y1syisyrs193.3双因素试验的方差分析1、计算行和数、行平均数2、计算列和数、列平均数3、计算总变动平方和203.3双因素试验的方差分析4、计算因素变动平方和5、计算误差变动平方和6、计算自由度213.3双因素试验的方差分析7、计算平均变动8、进行显著性检验具体例子见书上P37例3－3。223.3双因素试验的方差分析233.3双因素试验的方差分析例3-3为了考察PH值和硫酸铜浓度对化验血清中白蛋白和球蛋白的影响，对蒸馏水中的PH值（A）取四个不同水平，对硫酸铜浓度（B）取三个水平，在不同水平组合下各测了一次白蛋白与球蛋白之比，结果如下表所示，试检验两个因素对化验结果有无显著影响。PH值硫酸铜浓度B1B2B3A1A2A3A43.52.62.01.42.32.01.50.82.01.91.20.3例3-3试验结果243.3双因素试验的方差分析PH值硫酸铜浓度Ti.Ti·2B1B2B3A1A2A3A43.52.62.01.42.32.01.50.82.01.91.20.37.86.54.72.560.8442.2522.096.25T.jT.j2

9.56.65.490.2543.5629.16解：253.3双因素试验的方差分析263.3双因素试验的方差分析273.3双因素试验的方差分析所以PH值和硫酸铜浓度对化验结果都有高度显著影响。3.3.2双因素重复试验的方差分析双因素重复试验的方差分析可以考察因素A和B的交互作用A×B对指标y的影响是否显著。设双因素等重复试验的结果如下表：因素B1…Bj…BsA1AiAry111,y112,…y11cyi11,yi12,…yi1cyr11,yr12,…yr1c………y1j1,y1j2,…y1jcyij1,yij2,…yijcyrj1,yrj2,…yrjc………y1s1,y1s2,…y1scyis1,yis2,…yiscyrs1,yrs2,…yrsc1、计算AiBj搭配下的c次重复试验值之和Tij.283.3双因素试验的方差分析2、计算Ai水平下的sc次试验值之和Ti..3、计算Bj水平下的rc次试验值之和T.j.4、计算所有试验值之和T293.3双因素试验的方差分析5、计算总变动平方和6、计算因素变动平方和7、计算误差变动平方和303.3双因素试验的方差分析8、计算交互项A×B的变动平方和9、计算自由度10、计算均方差313.3双因素试验的方差分析11、对因素进行显著性检验具体例子见书上P42例3－4。323.3双因素试验的方差分析例3－4下表给出了某种化工产品在3种浓度、4种温度水平下得率的数据，试检验各因素及交互作用对产品得率的影响是否显著？例3-4数据表浓度%10℃24℃38℃52℃24614，109，75，1111，1110，813，1413，97，1112，1310，126，1014，10333.3双