第4章 随机变量与数学期望

第4章随机变量与数学期望东华大学理学院内容提要4.1随机变量4.2随机变量的类型4.3随机变量的联合分布4.4数学期望4.5期望的性质4.6方差4.7协方差和相关系数4.8矩母函数4.9切比雪夫不等式和大数定律4.1随机变量随机变量X：定义于样本空间S上的函数。随机变量的取值具有随机性，我们对它的取值及对应的概率感兴趣。4.1随机变量x23456789101112P(X=x)1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36例1

令随机变量X表示两颗相同骰子的点数之和4.1随机变量例2

某人对某个目标射击，每次命中与否相互独立，命中率为p，一旦命中就停止射击，用X表示首次击中所需要的射击次数，求X的取值以及取每个值的概率。4.1随机变量随机变量的分布函数F(x)：定义于实数域R上的函数性质：分布函数F(x)单调上升，且4.1随机变量例3假设随机变量X有如下的分布函数求X大于1的概率。4.1随机变量例4

设随机变量X的分布函数为F(x)=a+b*arctanx，求常数a,b的值。4.2随机变量的类型离散型随机变量：取值集合有限或者是一个数列xi,i=1,2,…。离散型随机变量的概率质量函数（分布律）性质：4.2随机变量的类型例5已知随机变量X的概率质量函数满足求常数c的值，并求X的分布函数。x123p(x)1/21/3c4.2随机变量的类型4.2随机变量的类型例6设随机变量X的分布函数为求X的分布律，以及4.2随机变量的类型连续型随机变量：随机变量的可能的取值是一个区间。连续型随机变量的概率密度函数f(x)：对任意一个实数集B有性质1：性质2：连续型随机变量X的分布函数F(x)连续且4.2随机变量的类型性质3注意：连续性随机变量单点概率为0密度f(x)不是概率，可以大于1.4.2随机变量的类型例7设X为一连续型随机变量,其概率密度函数为试求C的值以及P{X>1}。习题P86ex1,4,64.3随机变量的联合分布随机变量X和Y的联合分布函数性质：与X，Y各自的分布函数FX(x)及FY(y)的关系4.3随机变量的联合分布二维离散型随机变量：联合概率质量函数性质与X，Y各自的概率质量函数的关系4.3随机变量的联合分布例8假设有3个电池是从一组3个新电池，4个旧电池，和5个坏电池中随机选择的。如果用X和Y来分别表示被选中的新电池的个数和旧电池的个数，求X和Y的联合概率质量函数。4.3随机变量的联合分布4.3随机变量的联合分布二维连续型随机变量：联合概率密度函数f(x,y),对二维实平面里的任意集合C有性质1

性质24.3随机变量的联合分布与X，Y各自的概率密度函数（边缘密度函数）的关系4.3随机变量的联合分布例9X和Y的概率密度函数为计算(a)P{X>1,Y<1}；(b)P{X<Y}；(c)P{X<a}（a0）。解：用公式4.3随机变量的联合分布随机变量的独立性:设X和Y为两个随机变量，若对任意两个实数集A和B，有则称X与Y相互独立。4.3随机变量的联合分布一般随机变量独立等价性条件(分布函数)：离散型随机变量独立等价性条件(质量函数)：连续型随机变量独立等价性条件(密度函数)：4.3随机变量的联合分布P86ex7假设某一收音机电子管的寿命是一随机变量，且其概率密度函数为：令Ei,i=1,2,3,4,5表示在前150个小时内第i个电子管需要更换，且其相互独立。求在前150个小时内，收音机内2/5的电子管需要更换的概率为多少？习题P86ex94.4数学期望离散型随机变量的数学期望例10令X为掷一颗骰子所得到的点数，求E[X]。4.4数学期望连续型随机变量的数学期望例11假设你在等18路公交车，由你的经验知道，你需要等的分钟数X是一个随机变量，其概率密度函数为：求等待公交车到来需要时间的期望。4.5期望的性质例12

假设X的概率质量函数P(-1)=0.3，P(0)=0.2，P(1)=0.2，P(2)=0.3计算E[X2]。4.5期望的性质命题4.5.1（随机变量函数的期望）(1)离散型：若X是概率质量函数为p(x)的离散随机变量，则对任意实值函数g(x)，(2)连续型：若X是概率密度函数为f(x)的连续随机变量，则对任意实值函数g(x)，4.5期望的性质命题4.5.1（随机变量函数的期望）(3)二元离散型：若(X,Y)是概率质量函数为p(x,y)的二维离散型随机变量，则对任意实值函数g(x,y)，(4)二元连续型：若(X,Y)是概率密度函数为f(x,y)的二维连续型随机变量，则对任意实值函数g(x,y)，4.5期望的性质例13某厂找到并修复电力中断所需的时间(小时)是一个随机变量，称为X，其密度函数如果当故障持续时间为x，修复的费用为x3，那么这种故障的预期费用是多少？方法一：先求Y=X3的密度函数，再求Y期望；方法二：利用命题4.5.1（计算较简单）。4.5期望的性质数学期望的性质线性性质：若a和b是常数，则随机变量和的期望：当X与Y独立时，E[XY]=E[X]E[Y]（证明）.最小方差性质：对任意实数c,最小方差性质说明均值是随机变量的最佳预测4.5期望的性质例14假设有20种不同类型的优惠券。随机取10张优惠券，计算其中包含不同种类型数量的期望值。方法一：求不同种类型数量X的概率质量函数(很难)；方法二：将X分解成20个随机变量Xi的和,Xi的期望容易算，再利用随机变量和的期望性质。习题P88ex25,27,31,324.6方差方差标准差方差的计算例15掷一枚骰子，计算所得点数的方差。4.6方差方差的性质常数的方差为0.二次齐次性质（常数提出去要加平方）：4.7协方差和相关系数协方差协方差的计算特别地,当，称X与Y不相关。若X与Y独立，则X与Y不相关（注意反过来不成立）4.7协方差和相关系数反例：X与Y不相关，但不独立4.7协方差和相关系数协方差的性质对称性双线性性可加性4.7协方差和相关系数方差的可加性一般地，独立（或不相关）情形：注意4.7协方差和相关系数例16将10枚硬币扔在地上，计算正面朝上数的期望和方差。解：直接求正面朝上数X的概率质量函数很难。技巧：将X分解为若干个独立随机变量Xi的和。4.7协方差和相关系数相关系数相关系数的性质(证明方法类似于第2章样本相关系数)Corr(X,Y)=1或-1，当且仅当X和Y线性相关，即P(Y=a+bX)=1(当b>0,相关系数为1;当b<0,相关系数为-1)。4.7协方差和相关系数证明：令=X-E[X],=Y-E[Y],对于任意t,那么即且等式仅当P(+t=0)=1时，等式成立。从而得证。习题P90ex39,41,43,464.8矩母函数随机变量X的n阶矩随机变量X的矩母函数4.8矩母函数矩母函数的性质与矩的关系当X与Y独立随机变量的矩母函数和其分布函数之间存在一一对应的关系。4.9切比雪夫不等式和大数定律命题4.9.1(马尔科夫不等式)若X为一个非负随机变量，则对于任意a>0，命题4.9.2(切比雪夫不等式)假设X为期望为，方差为2，则对于任意k>0,4.9切比雪夫不等式和大数定律切比雪夫不等式变形4.9切比雪夫不等式和大数定律例17假设工厂一周生产产品的数量是一个随机变量，且其期望为50。估计一周产量超过75的概率。如果某周产量的方差为25，估计这周产量在40和60之间的概率。4.9切比雪夫不等式和大数定律问题：若从均值为的总体中取n个样本(n充分大)，那么样本均值与总体均值有什么关系？定理4.9.1(弱大数定律)令X1,X2,…为一列独立同分布的随机