第3章 刚体力学

力学·刚体力学力学·内容结构力学的内容结构体系刚体力学·刚体转动定理3.1力矩的瞬时效应——刚体转动定理3.1.1描述刚体力学的物理参量角参量(角位移、角速度、角加速度)；线参量与角参量的关系(参第1章)(1)描述刚体转动的角参量(2)改变刚体转动状态的参量——力矩力臂：力与转轴的距离力矩：力与力臂的矢积或(3)保持刚体转动状态的参量——转动惯量参下节内容刚体力学·刚体转动定理3.1.2绕固定转轴转动的刚体转动定理(1)物理模型对固定转轴刚体，只有分解到xoy平面的切向的分力，才影响转动状态绕定轴转动刚体受力分析切向分力影响刚体转动状态刚体力学·刚体转动定理(2)绕定轴转动的刚体转动定理设位矢ri

的质点受到质点j内力

fji，受到合外力为Fi，由牛顿第二定律刚体绕固定z轴转动将上式两边同时乘以ri

并利用矢量矢积的定义有考虑刚体中所有质点、力矩的定义以及内力上式成为当微元趋于无限小时定义转动惯量绕定轴转动的转动定理A转动惯量的物理意义：保持刚体原有转动状态惯性的量度B绕定轴转动的转动定律适用条件：惯性系3.1.3刚体转动惯量的计算例3.1.1

质量相等的三小球等间距分布在x-y平面角平分线上并绕y轴转动求：系统的转动惯量刚体力学·刚体转动定理解：由刚体力学·刚体转动定理例3.1.2

线密度为、质量为m的均匀细杆与转轴的夹角为求

其转动惯量解：由在杆上l

处任取微元dm而杆的总长度例3.1.3

杆上等间距地套上三个质量都等于杆的质量的小球，系统定轴转动求：系统的转动惯量解：杆的转动惯量三个小球的转动惯量系统的转动惯量刚体力学·刚体转动定理例3.1.4

转动惯量的平行轴定理

Ic

过质心转轴的转动惯量，l是与过质心转轴平行、相距为l另一转轴证明质心坐标求解方法Ic是过质心转轴的转动惯量刚体力学·刚体转动定理例3.1.5

垂直轴定理：平面薄板刚体对垂直于平面任一转轴的转动惯量，等于刚体对在平面内并与该垂直轴相交的任二正交轴转动惯量之和证明例3.1.6

求均匀分布、质量为m的球体绕其直径作定轴转动的I解：球体的质量密度采用球坐标系刚体力学·刚体转动定理课后作业：一些常见物体的转动惯量计算(参教材p99-p100)3.1.4绕定轴转动的转动定理的应用例3.1.6

电风扇开启电源经t1达到额定转速0，关闭电源时经t2停止；设电风扇的转动惯量为I，且电机的电磁力矩与摩擦力矩为恒量求：电机的电磁力矩解：设电风扇的电磁力矩、摩擦力矩分别为M、Mf

电风扇开启时受电磁力矩与摩擦力矩的作用，即刚体力学·刚体转动定理当电风扇达到额定转速时电风扇关闭过程中，只受到摩擦力矩的作用，即达到停止时解此联立方程组，得例3.1.7

质量为

M、半径为R

的匀质柱体可绕通过其中心轴线的光滑水平定轴转动；柱边缘绕有一根不能伸长的细绳下端挂一质量为m

的物体求：柱体的角加速度及绳中的张力刚体力学·刚体转动定理解：用隔离体法对m对柱解得例3.1.8

可绕水平光滑轴转动的匀质圆盘质量分别为m1=24kg，m2=5kg，一轻绳一端缠绕于m1上，另一端经m2链接m=10kg的物体求：物体m

由静止开始下落h=0.5m时，物体的速度及绳的张力解：各物体受力情况如图所示刚体力学·刚体转动定理求解联立方程，代入数据，可得例3.1.9

质量为

m、长为l的均匀细棒AB，可绕水平光滑轴o在竖直平面内转动，o轴离A端的距离为l/3，棒从静止开始由水平位置绕o轴转动求：棒转过角时的角加速度和角速度。

解：各物体受力情况如图所示又因所以积分得刚体力学·刚体转动定理例3.1.10

质量为m、半径为R

的匀质圆盘绕通过盘心且垂直于盘面的光滑轴以o

转动。现将盘置于摩擦系数为的µ

粗糙水平桌面上求：圆盘经多少时间、转几圈将停下来？解：摩擦力分布在整个盘面上，取半径为

r、宽为dr

的微元，摩擦力矩为刚体力学·刚体转动定理转动惯量于是得又由，所以停下来前转过的圈数为刚体力学·角动量定理3.2力矩的时间累积效应——角动量定理3.2.1描述力矩时间累积效应的物理参量(1)冲量矩或记讨论：冲量矩的讨论完全类似于冲量的讨论，(略，自己补充)力矩在时间上的累积矢量，称为冲量矩(2)角动量定理与角动量其中，I1、1和I2、2分别表示始末状态的转动惯量与角速度定义刚体绕定轴转动的角动量刚体力学·角动量定理于是讨论：关于角动量与角动量定理(1)角动量的其它表述形式

因于是即角动量可以定义为角动量的普遍定义式(2)冲量矩、角动量与角动量定理的矢量性与独立性刚体力学·角动量定理(3)适用条件。其适用条件仍然是惯性系角动量定理中的力矩只有外力矩

角动量守恒定律：当外力冲量矩的矢量和为零时，角动量保持不变例3.2.1

当I1=I2时，，刚体做匀角速度转动当I变化时，现象解释刚体力学·角动量定理3.2.2角动量定理的应用例3.2.2

匀质园盘(m、R)与一人(m/10，视为质点)一起以角速度0

绕通过其盘心的竖直光滑固定轴转动，如果此人相对于盘以速率v、沿半径为R/2

的园周运动(方向与盘转动方向相反)求(1)圆盘对地的角速度

(2)欲使园盘对地静止，人相对园盘的速度大小和方向？解：系统：圆盘+人解出刚体力学·角动量定理得负号表示人的运动方向与0

方向相同(2)欲使盘静止，令解：绳的拉力的作用线通过o点，对o点的角动量守恒例3.2.3

细绳一端系有置于水平桌面、质量m

的小球，另一端穿过桌面小孔

o并用力往下拉住。设开始时小球以0

绕孔o作半径r的匀速圆周运动,现在向下缓慢拉绳，直到小球作圆周运动的半径为r/2

止求：这一过程中拉力的功刚体力学·角动量定理由动能定理，拉力的功为例3.2.4质量、半径分别为M1、M2

和R1、R2的两均匀圆柱各自绕相互平行中心轴转动，开始时角速度分别为1、2，现将它们缓慢移近并接触求：两圆柱在它们相互间摩擦力作用下所达到的最终角速度解：在两圆柱体之间的摩擦力作用下，最终线速度相等由角动量定理刚体力学·角动量定理圆柱的转动惯量联立求解方程讨论：(1)关于连接条件

(2)连接体的角动量守恒问题，角动量应守恒吗？系统初始状态的角动量L1为系统末状态的角动量L2为刚体力学·角动量定理联立求解方程摩擦力冲量矩的代数和并不为零不是绕同一固定轴转动(不一定等于零)例3.2.5

人们把物体所受的指向同一固定点的作用力称为有心力或中心力证明：(1)在有心力作用下运动的物体，角动量守恒；(2)有心力是保守力，在有心力场中运动的质点机械能守恒；(3)隆格－楞茨矢量守恒；(4)中心力场中质点的运动一定满足开普勒运动

刚体力学·角动量定理证明：(1)有心力场中有心力对质点产生的力矩为零，故角动量守恒

(2)有心力可表示为质点在有心力作用下沿任意路径运动过程中，有心力所做的功其中，势能受力物体与有心力场场源构成的系统只受到保守力作用，机械能守恒

(3)对平方反比有心力其中，k为常数。考察刚体力学·角动量定理即或=常数(4)为证明平方反比中心力场中质点的运动一定满足开普勒运动另一方面其中=常数=常数上式是极坐标下的圆锥曲线方程(当<1

时，为椭圆方程)

刚体力学·角动量定理计算单位时间扫过的面积(开普勒第二定律)=常数例3.2.61970年我国发射的第一枚地球卫星的数据如下：质量m=173kg，周期T=114min，近日点距地心r1=6817km，远地点距地心r2=8762km，椭圆轨道半长轴：a=7790km，椭圆轨道半短轴：b=7720km求：卫星的近地速度和远地速度刚体力学·角动量定理解：卫星作椭圆轨道运动，且角动量守恒，设卫星近地速度为v1，方向与

r1垂直；远地速度为

v2，方向与r2垂直于是=常数km/skm/s在上面式子中，利用了椭圆面积功式s=ab

(2)回转仪刚体进动回转仪构造回转仪工作原理刚体力学·角动量定理刚体力学·功能原理3.3力矩的空间累积效应——刚体的机械能守恒定律3.3.1描述刚体空间累积效应的物理参量设质点在合外力作用下所作的功积分形式微分形式(1)力矩的功讨论：A内力所作功之和为零B力矩作功的正负符号规定

C力矩作功的功率刚体力学·功能原理(2)刚体的势能与势能定理结论：刚体的势能等于刚体质心的质点的势能势能定理：保守力对刚体所作的功，等于刚体势能增量的负值案例：重力势能(3)刚体的动能与动能定理积分形式微分形式刚体力学·功能原理定义绕固定转轴转动的刚体动能

绕固定转轴转动的刚体的动能定理3.3.2刚体的功能原理与机械能守恒定律定义刚体动能与势能之和为刚体的机械能

考虑到刚体内力不做功功能原理：外力矩对刚体所做的功，等于刚体机械能的增量3.3.3刚体功能原理的应用(1)刚体功能原理的应用刚体力学·功能原理例3.3.1

质量、半径相同的圆柱、薄球壳、球体从相同光滑斜面、相同高度由静止无相对滑动下滑求：质心所获得的速度解：将地球、斜面、m看作为系统，由机械能守恒无滑动的条件对圆柱对球壳对球体质心获得的速度分别为刚体力学·功能原理例3.3.2

质量为

m的火箭以与地轴oo平行、速度v0发射，运动轨道与地轴

oo相交于距o为3R

的C点。不考虑地球的自转和空气阻力求：火箭在C点的速度v与v0之间的夹角。(设地球的质量为M、半径为R)解火箭运动过程中机械能守恒对o

点的角动量守恒解得刚体力学·功能原理例3.3.3

质量m、长l

的均匀细直棒可绕其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴o转动；开始时，棒静止在竖直位置求：棒转到与水平面成角时的角速度和角加速度解：取水平面为零势面，转动过程中机械能守恒讨论：本题也可先由求出，再用积分求刚体力学·功能原理例3.3.4

由弹簧、匀质滑轮和重物M

组成的系统，该系统在弹簧为原长时被静止释放；绳与滑轮无滑动求：(1)重物M

下落h

时的速度；(2)弹簧的最大伸长量解：(1)系统在运动过程中只有重力和弹性力作功，所以机械能守恒(2)令M的速度v=0，弹簧的最大伸长量为刚体力学·功能原理例3.3.5

空心园环可绕光滑的竖直固定轴AC自由转动，转动惯量为I0

，半径为R，初始角速度为0

。质量为m的小球静止在环的最高处A点，由于某种扰动，小球沿环向下滑动求：小球滑到与环心o在同一高度的B点时，环的角速度及小球相对于环的速度各为多少?(设环的内壁和小球都是光滑的，环截面很小)解：系统运动过程中角动量守恒；机械能也守恒上式中的v

是小球相对于地的速度，它应为(1)(2)刚体力学·功能原理vB表小球在B点时相对地面的竖直分速度由(2)得由(1)得环的角速度为例3.3.6

长

l、质量M

的匀质杆可绕过其一端的光滑轴o转动，杆初始时竖直下垂；质量为m

的子弹以水平速度射入杆的A点并嵌其中，oA=2l/3求：(1)子弹射入后瞬间杆的角速度；(2)杆能转过的最大角度解：(1)杆+子弹：竖直位置，外力均不产生力矩，碰撞过程中角动量守恒刚体力学·功能原理(2)杆在转动过程中显然机械能守恒由此得(2)刚体的平面平行运动问题平面平行运动：刚体内所有质点都平行于某一平面的运动结论：惯性参考系中，平面平行运动的刚体，其总动能应等于质心平动的动能与刚体绕质心转动动能之和例3.3.7

光滑的桌面上有一质量M、长2l

的细杆，质量m、速度v0的小球沿