第9章 灰色综合评价和灰色预测

第9章灰色综合评价和灰色预测9.1灰色理论的创立与发展9.2灰色理论的基本概念和基本原理9.3灰色关联分析9.4灰色综合评价9.5灰色系统预测客观世界在不断发展变化的同时，往往通过事物之间及因素之间相互制约、相互联系而构成一个整体，我们称之为系统。客观世界的很多实际问题，其内部的结构、参数以及特征并未全部被人们了解，人们不可能象研究白箱问题那样将其内部机理研究清楚，只能依据某种思维逻辑与推断来构造模型。对这类部分信息已知而部分信息未知的系统，我们称之为灰色系统。区别白色系统与灰色系统的重要标志是系统内各因素之间是否具有确定的关系。运动学中物体运动的速度、加速度与其所受到的外力有关，其关系可用牛顿定律以明确的定量来阐明，因此，物体的运动便是一个白色系统。9.1灰色理论的创立与发展灰色系统理论（GreySystemTheory）的创立源于20世纪80年代。邓聚龙教授在1981年上海中美控制系统学术会议上所作的“含未知数系统的控制问题”的学术报告中首次使用了“灰色系统”一词。1982年，邓聚龙发表了“参数不完全系统的最小信息正定”、“灰色系统的控制问题”等系列论文，奠定了灰色系统理论的基础。他的论文在国际上引起了高度的重视，美国哈佛大学教授、《系统与控制通信》杂志主编布罗克特（Brockett）给予灰色系统理论高度评价，因而，众多的中青年学者加入到灰色系统理论的研究行列，积极探索灰色系统理论及其应用研究。概率统计、模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定性系统的研究方法，如下表所示。研究对象都具有不确定性，这是三者的共同点。正是研究对象在不确定性上的区别派生出三种各具特色的不确定性学科。概率与数理统计样本量大、数据多但缺乏明显规律的问题，即“大样本不确定性”问题模糊数学人的经验及认知先验信息的不确定问题，即“认知的不确定性”问题灰色系统既无经验，数据又少的不确定性问题，即“少数据不确定性”问题社会系统、经济系统、农业系统、生态系统、教育系统等系统包含多种因素，具有明显的层次复杂性，结构关系的模糊性，动态变化的随机性，指标数据的不完全性和不确定性。由于灰色系统的普遍存在，决定了灰色系统理论具有十分广阔的发展前景。目前，灰色系统理论得到了极为广泛的应用，不仅成功地应用于工程控制、经济管理、社会系统、生态系统等领域，而且在复杂多变的农业系统，如在水利、气象、生物防治、农机决策、农业规划、农业经济等方面也取得了可喜的成就。灰色系统理论在管理学、决策学、战略学、预测学、未来学、生命科学等领域都有广泛的应用。灰色系统理论的主要功能：灰色关联分析、灰色综合评价、灰色预测、灰色聚类、灰色决策等。第9章灰色综合评价和灰色预测9.1灰色理论的创立与发展9.2灰色理论的基本概念和基本原理9.3灰色关联分析9.4灰色综合评价9.5灰色系统预测邓聚龙系统理论则主张从事物内部，从系统内部结构及参数去研究系统，以消除“黑箱”理论从外部研究事物而使已知信息不能充分发挥作用的弊端，因而，被认为是比“黑箱”理论更为准确的系统研究方法。9.2灰色理论的基本概念和基本原理在控制论中，人们常用颜色的深浅来形容信息的明确程度。用“黑”表示信息未知，用“白”表示信息完全明确，用“灰”表示部分信息明确、部分信息不明确。9.2灰色理论的基本概念和基本原理黑色系统黑色系统是指一个系统的内部信息对外界来说是一无所知的，只能通过它与外界的联系来加以观测研究白色系统白色系统是指一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是完全充分的。灰色系统：相对于白色和黑色系统而言系统的影响因素不完全明确因素关系不完全清楚系统结构不完全知道系统的作用原理不完全知道9.2灰色理论的基本概念和基本原理灰数（greynumber）9.2灰色理论的基本概念和基本原理灰度（greydegree）白化（whitening）由于灰数是一个范围而非确定的数。如果需要解决的问题本身要求是一个明确的数，此时就需要将灰数转化为一个确定的数（白数），称为白化。α称为白化系数9.2灰色理论的基本概念和基本原理灰色系统理论的基本原理灰色系统是贫信息的系统，统计方法难以奏效，即灰色系统是非统计方法。适用于只有少量观测数据的项目。它的研究对象是“部分信息已知，部分信息未知”的“贫信息”不确定性系统，它通过对部分已知信息的生成、开发，来研究和预测未知领域从而达到了解整个系统的目的，使系统由“灰”变“白”，实现对现实世界的确切描述和认识。其最大的特点是对样本量没有严格的要求，不要求服从任何分布。灰色系统的基本原理灰色系统是通过对原始数据的收集与整理来寻求其发展变化的规律。这是因为，客观系统所表现出来的现象尽管纷繁复杂，但其发展变化有着自己的客观逻辑规律，是系统整体各功能间的协调统一。因此，如何通过散乱的数据系列去寻找其内在的发展规律就显得特别重要。灰色系统理论认为，一切灰色序列都能通过某种生成弱化其随机性的模型而呈现本来的规律，也就是通过灰色数据序列建立系统反应模型，并通过该模型预测系统的可能变化状态。灰色系统理论认为微分方程能较准确地反应事件的客观规律，即对于时间为t的状态变量，通过方程就能够基本反映事件的变化规律。第9章灰色综合评价和灰色预测9.1灰色理论的创立与发展9.2灰色理论的基本概念和基本原理9.3灰色关联分析9.4灰色综合评价9.5灰色系统预测9.3灰色关联分析一、基本思想二、基本概念三、分析步骤四、常用关联度一、基本思想回归分析、方差分析、主成分分析等都是用来进行系统分析的方法。这些方法都有下述不足之处：（1）要求有大量数据，数据量少就难以找出统计规律。（2）要求样本服从某个典型的概率分布，要求各因素数据与系统特征数据之间呈线性关系且各因素之间彼此无关。（3）计算量大，一般要靠计算机帮助。（4）可能出现量化结果与定性分析结果不符的现象，导致系统的关系和规律遭到歪曲和颠倒。9.3灰色关联分析一、基本思想灰色系统理论提出了一种新的分析方法——系统的关联度分析方法。它根据因素之间发展态势的相似或相异程度来衡量因素间关联的程度，它揭示了事物动态关联的特征与程度。灰色系统理论建模的主要任务是根据具体灰色系统的行为特征数据，充分开发并利用不多的数据中的显信息和隐信息，寻找因素间或因素本身的数学关系。通常的办法是采用离散模型，建立一个按时间作逐段分析的模型。9.3灰色关联分析9.3灰色关联分析灰色关联度分析，首先要找准数据序列，即用什么数据才能反映系统的行为特征。当有了系统行为的数据列（即各时刻的数据）后，根据关联度计算公式便可算出关联程度。关联度是因素之间关联性大小的量度，定量地描述了因素之间相对变化的情况，反映各评价对象对理想（标准）对象的接近次序，即用灰色关联度来评价对象的优劣次序，其中灰色关联度最大的评价对象为最佳。灰色关联度分析是一种多因素统计分析方法，基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密，即认为几何形状越接近，则发展变化态势越接近，关联程度越大。由于灰色关联度分析方法是按发展趋势作分析，因此对样本量的多少没有要求，也不需要有典型的分布规律，计算量小。关联度分析方法的最大优点是它对数据量没有太高的要求。二、基本概念1.

关联因素行为时间序列行为指标序列行为横向序列2.关联算子初值化算子均值化算子区间值化算子逆化算子倒数化算子3.

灰色关联度行为时间序列行为指标序列行为横向序列9.3灰色关联分析定义1.1：设为系统因素，其在序号上的观测数据，则称为因素的行为序列；定义1.2：若为时间序号，为因素在时刻的观测数据，则称为因素的行为时间序列；定义1.3：若为指标序号，为因素在第指标的观测数据，则称为因素的行为指标序列；定义1.4：若为对象序号，为因素在第对象的观测数据，则称为因素的行为横向序列；无论是时间序列,指标序列还是横向序列,都可以用来做灰色关联分析定义1：关联因素9.3灰色关联分析定义2.1定义2.2定义2:关联算子9.3灰色关联分析定义2.3命题1

皆可使序列无量纲化.定义2.49.3灰色关联分析原始数据57101213初值像11.422.42.6原始数据3671113均值像0.3750.750.8751.3751.625原始数据3671113区间值像00.30.40.81原始数据0.30.40.60.50.7逆化像0.70.60.40.50.39.3灰色关联分析定义2.5命题2原始数据245810倒数化像0.50.250.20.1250.19.3灰色关联分析定义3：灰色关联度命题1：则有:注：负相关关系可通过逆化算子或倒数化算子转化为正相关关系。定义3.19.3灰色关联分析定义3.2

设若满足灰色关联四公理:(1)规范性(2)整体性(3)偶对称性(4)接近性即参考序列定理1

设令关联系数（注：这是邓聚龙教授提出的灰色关联度，在众多的关联度量化模型中最为典型，是一种绝对关联度）第一步:求各序列的初值象(或均值象):第二步:求差序列.记第三步:求两极最大差和最小差.记第四步:求关联系数第五步:计算关联度.三、分析步骤参考序列例11°以即工业数据序列为系统特征序列求关联度:第一步：求初值像即参考序列第二步：求差序列得:第三步：求两极差参考序列，即都与工业相减第四步：计算关联系数从而第五步：求灰色关联度由此可知，运输业与工业的关联度最大2°如果以为系统特征序列，由得于是2°对于为系统特征序列，由得于是从而于是关联公理中的整体性。联系1°中结果，显然这正是灰色例：我国2001年-2005年国内生产总值以及第一产业、第二产业、第三产业数据分别如下：（单位：千亿元）国内生产总值：第一产业产值：第二产业产值：

第三产业产值：以国内生产总值为系统特征序列（参考序列），计算灰色关联度。四、几种常用的灰色关联度

利用位移差和斜率（速度、加速度）来表示关联度，是目前许多关联度量化模型的基本思路。（一）邓氏关联度

其中，为分辨系数。这是邓聚龙教授提出的灰色关联度，在众多的关联度量化模型中最为典型。10.3.1基于灰色关联度的聚类分析（二）广义灰色绝对关联度

其中

其中，，（k=1,2,..n）广义灰色绝对关联度的适用范围较广，它对等时距序列、非等时序列以及序列中有多个数据空缺的情形均适用，甚至还可用计算长度不同的序列间的关联度。10.3.1基于灰色关联度的聚类分析（三）B型关联度

其中

,,分别为离散函数与的位移差，一阶斜率差和二阶斜率差。上述关联度是根据事物发展过程中的相近性与相似性而提出的，其基本思想是用描述相近性的物理特征位移差及描述相似性的物理特征速度差（一阶斜率差）、加速度差（二阶斜率差）来共同反映序列间的关联程度。第9章灰色综合评价和灰色预测9.1灰色理论的创立与发展9.2灰色理论的基本概念和基本原理9.3灰色关联分析9.4灰色综合评价9.5灰色系统预测9.4灰色综合评价一、步骤二、实例一、步骤利用灰色关联分析进行综合评价的步骤是：1．根据评价目的确定评价指标体系，收集评价数据。设n个数据序列（n个评价对象）形成如下矩阵：9.4灰色综合评价其中为指标的个数，2．确定参考数据列/最优指标集（F*）

参考数据列应该是一个理想的比较标准，可以以各指标的最优值（或最劣值）构成参考数据列，也可根据评价目的选择其它参照值．记作3．对指标数据进行无量纲化

无量纲化后的数据序列形成如下矩阵：

m个指标n个对象9.4灰色综合评价常用的无量纲化方法包括：标准化函数方法、初值化方法和均值化方法标准化函数方法成本型标准化函数：效益型标准化函数：适度型标准化函数：对于区间型指标，设[q1,q2]为该指标的最佳区间：9.4灰色综合评价9.4灰色综合评价均值化处理就是将所有数据除以序列平均值，即得到一个占平均值百分比的数列初值化是指所有数据均除以第一个数据，得到一个新的数列，这个新的数列即是各不同时刻的值相对于第一个时刻的值的百分比。或采用内插法使各指标数据取值范围（或数量级）相同．例如，某地县级医院病床使用率最高为90%，最低为60%，我们可以将90%转化10，60%转化为1，其它可以通过内插法确定其转化值．如80%转化为多少？可进行如下计算：解之得，即80%转化为7．4．逐个计算每个被评价对象指标序列（比较序列）与参考序列对应元素的绝对差值，，,为被评价对象的个数。5．确定两极最小差和两极最大差：

6．计算关联系数

由下式，分别计算每个比较序列与参考序列对应元素的关联系数．与当用各指标的最优值（或最劣值）构成参考数据列,计算关联系数时，也可用改进的更为简便的计算方法：改进后的方法不仅可以省略第三步，使计算简便，而且避免了无量纲化对指标作用的某些负面影响．7．计算关联序/关联度对各评价对象（比较序列）分别计算其个指标与参考序列对应元素的关联系数的均值，以反映各评价对象与参考序列的关联关系，并称其为关联序，记为：8．如果各指标在综合评价中所起的作用不同，可对关联系数求加权平均值即

9．依据各观察对象的关联序，得出综合评价结果．二、实例例1：利用灰色关联分析对6位教师工作状况进行综合评价1．评价指标包括：专业素质、外语水平、教学工作量、科研成果、论文、著作与出勤．9.4灰色综合评价2．对原始数据经处理后得到以下数值，见下表

编号专业外语教学量科研论文著作出勤i=n18987529278757383979664746888436586698386k=m8957648与前面相反，m个评价对象，n个评价指标，无论如何，每个评价对象构成1个序列3．确定参考数据列：

4．计算，见下表编号专业外语教学量科研论文著作出勤i=n11012370221241613020325243111463513300616k=m10422515．求最值6．依据（12－5）式，取计算，得 同理得出其它各值，见下表编号10.7781.0000.7780.6360.5380.3331.00020.636

0.778

0.636

0.467

0.7780.368

0.778

31.000

0.636

1.000

0.538

0.6360.412

0.636

40.538

0.778

0.778

0.778

0.4670.368

0.538

50.778

0.538

0.538

1.000

1.0000.368

0.778

60.778

1.000

0.467

0.636

0.6360.412

0.778

7．分别计算每个人各指标关联系数的均值（关联序）：

8．如果不考虑各指标权重（认为各指标同等重要），六个被评价对象由好到劣依次为1号，5号，3号，6号，2号，4号．即

例2：供应商选择决策。某核心企业需要在6个待选的零部件供应商中选择一个合作伙伴，各待选供应商有关数据见下表：评价指标待选供应商123456产品质量0.830.900.990.920.870.95产品价格（元）326295340287310303地理位置（千米）213825192710售后服务（小时）3.22.42.22.00.91.7技术水平0.200.250.120.330.200.09经济效益0.150.200.140.090.150.17供应能力（件）250180300200150175市场影响度0.230.150.270.300.180.26交货情况0.870.950.990.890.820.94表1某核心企业待选供应商的指标评价有关数据产品质量，技术水平，供应能力，经济效益，交货情况，市场影响度指标属于效益型指标。产品价格，地理位置，售后服务指标属于成本型指标。现分别对上述指标进行规范化处理，规范化数据结果见表2，取各指标值的最大值，得到虚拟最优供应商。评价指标待选供应商123456指标100.437510.56250.250.75指标20.26420.8491010.5660.6981指标30.607100.46430.67860.39291指标400.34780.43480.521710.6522指标50.45830.66670.12510.45830指标60.545510.454500.54550.7273指标70.66670.210.333300.1667指标80.533300.810.20.7333指标90.29410.764710.411800.7059表2比较数列和参考数列值最优供应商111111111评价指标待选供应商123456指标10.33330.470610.53330.40.6667指标20.40460.76810.333310.53540.6235指标30.560.33330.48280.60870.45161指标40.33330.4340.46940.511110.5897指标50.480.60.363610.480.3333指标60.523810.47830.33330.52380.6471指标70.60.384610.42860.33330.375指标80.51720.33330.714310.38460.6522指标90.41460.6810.45950.33330.6296ri0.46300.55600.64910.65270.49360.6130由表3，按灰色关联度排序可看出，由于供应商4与虚拟最优供应商关联度最大，企业决策者可以优先考虑选择供应商4供货。将灰色关联分析用于供应商选择决策中，可以针对大量不确定因素及其相互关系，将定量和定性方法有机结合起来，化复杂为清晰简单，计算方便，并可在一定程度上排除决策者的主观任意性，得出的结论也比较客观。例3：灰色关联分析在企业竞争力评价中的应用关于企业竞争力评价，目前已经涌现了不少的研究成果。比如利用模糊综合评价来评估企业的竞争力，采用神经网络作为评价企业竞争力的模型，等等。但值得注意的是，这些评价方法要么过于简单，信息丢失太多，使评价结果难以令人信服；要么过于复杂，可操作性不强，缺乏实用价值。企业竞争力评价是一个灰色系统。首先因为影响企业竞争力的因素太多而且复杂，人们在评价时，只能选取有限的主要指标来进行分析。其次，所选取的评价指标的数据，有些是未知的，无法从统计资料获得。因此该系统具有信息不完全，或者“灰色”的特征。鉴于该系统的灰色特征，运用灰色系统理论评价此系统是非常适宜的。1、企业竞争力评价体系的设计该评价体系由6大类21项指标构成，较好地反映了企业竞争力的基本内涵。一个企业要有较强的竞争力，必须同时具有较强的营运能力、经营安全能力、获利能力、市场控制能力、技术创新能力以及较高的员工素质。2、多层次灰色系统评价模型采用灰色关联分析来评价企业竞争力的基本思路是：以行业内最有竞争力(理想企业)的各指标值作为参考数列X0的各实体x0k，被评价企业的各指标作为比较数列Xi的各实体xik，求关联度ri。关联度越大，说明被评价企业与竞争力最强的企业越相似，其竞争力越强；反之，则竞争力越弱。因此，关联度的大小顺序，就是被评价企业竞争力强弱的次序。其评价步骤如下：（1）选择参考数列

设：i为第i个评价企业的序号，i＝1，2，…，m；k为第k个评价指标的序号，k＝1，2，…，n；vik为第i个评价单元的第k个指标的评价值。取每个指标的最佳值的v0k参考数列V0的实体，于是有：

对一个由m个评价企业，n个评价指标的系统，有下列矩阵：（2）指标值规范化处理进行规范化处理之后，得：（3）计算关联系数，得关联系数矩阵为：式中：为第i个评价单元(企业)第k个指标与第k个最佳指标的关联系数。（4）计算单层次的关联度

考虑到各指标的重要程度不一样，所以关联度计算方法采取权重乘以关联系数。根据专家法得到某一层的各指标相对于上层目标的优先权重为：

式中，，t表示该层中的指标个数。则关联度的计算公式是：

（6）企业竞争力大小排序依据关联度ri(i＝1，2，…，m)大小进行排序，关联度的大小顺序即为企业竞争力优劣次序。实例计算：这里以4个家电企业(V1，V2，V3，V4)为实例，说明它的应用。（1）建立企业竞争力评价指标体系（2）计算单层关联度

4个家电企业(V1，V2，V3，V4)各指标的数据vik(i＝1，2，3，4；k＝1，2，3，…，18)及各指标的最佳值v0k列于表1。对表1中的各指标的值经规范化处理后，利用公式求得到各指标与参考数列中各最佳值的关联系数值列于表2。（3）多层结构关联度合成利用专家调查法得到如下权重：WAB＝(0.14，0.14，0.17，0.20，0.18，0.17)WB1C＝(0.3，0.4，0.3)WB2C＝(0.3，0.4，0.3)WB3C＝(0.3，0.3，0.4)WB4C＝(0.5，0.3，0.2)WB5C＝(0.3，0.2，0.3，0.2WB6C＝(0.6，0.4)利用公式可以得到B层各指标的关联度：进一步可求得最高层指标A的关联度（4）企业竞争力排序：V3＞V4＞V1＞V2结论：(1)如前所述，企业竞争力系统实际上是一个信息不完备、不确切的系统。利用灰色系统理论评价企业竞争力，可以在信息不完备、不确切的条件下，扩大信息源，提高评价分析的可信度。

(2)在计算关联度时，用加权平均合成法取代算术平均合成法，以考虑各指标的重要性程度的差别，这样更合理、更准确些。以上计算的是绝对关联度基于此，可以引入速度关联度：其他关联度模型123其他关联度模型45其他关联度模型67其他关联度模型89第9章灰色综合评价和灰色预测9.1灰色理论的创立与发展9.2灰色理论的基本概念和基本原理9.3灰色关联分析9.4灰色综合评价9.5灰色系统预测4.5.6灰色系统预测的研究趋势时间段1983-19901991-19951996-20002001-20052006-2009篇数23363279510111283时间段1983-19901991-19951996-20002001-20052006-2009篇数2971133386801以”灰色预测”为主题词在中国期刊网进行检索以”Greyforecast”为主题词在Eivillage数据库进行检索9.5灰色系统预测一、灰色系统预测的建模思想二、灰色系统预测的种类三、GM（1.1）模型的数列预测四、GM（1.1）模型的区间预测五、GM（1.1）模型的灾变预测六、GM(2,1)、DGM(2,1)、和Verhulst模型七、GM模型的研究趋势9.5灰色系统预测9.5灰色系统预测灰色模型和其他任何模型一样，不可能具有普遍适用性，而是有其特定的建模条件。灰色模型的特点在于其建模机理与其他模型不同，在建模的数据处理上，通过灰色序列生成找寻数据演变的规律性。在进行灰色系统建模前需要判断序列是否是光滑序列，数据序列是否满足灰指数规律。灰色系统的模型GM(n,h)是以灰色模块概念为基础，以微分拟合法为核心的建模方法。其中n表示微分方程阶数，h表示参与建模的序列个数，用得较多的是GM(1,1)模型。9.5灰色系统预测9.5灰色系统预测例：累计生成序列9.5灰色系统预测累减生成例令K＝0，X1(0)=0累计生成序列9.5灰色系统预测9.5灰色系统预测二、灰色系统预测的种类常用的灰色预测有五种：（1）数列预测，即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。（2）灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。（3）季节灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测灾变值发生在一年内某个特定的时区或季节的灾变预测。（4）拓扑预测，将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定值发生的所有时点，并以该定值为框架构成时点数列，然后建立模型预测该定值所发生的时点。（5）系统预测.通过对系统行为特征指标建立一组相互关联的灰色预测模型，预测系统中众多变量间的相互协调关系的变化。灰色模型适用范围分析（一）作为预测模型，常用GM(n,1)模型，即只有一个序列变量的GM模型。这是因为对社会、经济、农业等系统效益（效果、产量、产值等）的发展变化进行分析和预测时，只需研究一个变量，即“效果”的数据序列。（二）作为状态模型，常用GM(1,h)模型。因为它可以反映h－1个变量对某一变量一阶导数的影响。当然，这需要h个时间序列，并且事先必须作尽可能客观的分析，以确定哪些因素的时间序列应计入这h个变量中。但GM(1,h)模型只能反映其它h－1个变量对某一变量的一阶导数的影响，不能反映多因素系统内各变量之间的相互作用。（三）作为静态模型，一般是GM(0,h)模型，即n＝0，表示不考虑变量的导数，所以是静态。它与线性回归模型形式相似，但有本质区别，即它建立在生成数列的基础上，而线性回归模型建立在原始数据基础上。（四）Verhulst模型是对序列数据呈饱和S型曲线的情况进行预测。将二次幂非线性微分模型称为Verhulst模型。常用于人口预测、生物生长、生命周期预测和产品经济寿命预测等。如果X本身呈S形，而其一次累加呈增长型，对X仍建立GM(1,h)模型最合适。9.5灰色系统预测三、GM模型的数列预测灰色系统理论是基于关联空间、光滑离散函数等概念定义灰导数与灰微分方程，进而利用离散数据列建立微分方程形式的动态模型，由于这是本征灰色系统的基本模型，它是近似的、非惟一的，称为灰色模型（GM），即灰色系统理论的微分方程称为Gm模型。（一）GM（1，1）模型3、模型检验/预测值精度检验灰色预测模型检验一般有残差检验，关联度检验和后验差检验。（1）残差检验首先按模型计算，其次将累减生成，最后计算原始序列与的绝对残差及相对误差（2）关联度检验按关联度计算方法算出与原始序列的关联系数，然后算出关联度，根据经验，当p=0.5时，关联度大于0.6便是满意的。（3）后验差检验（1）首先计算原始序列的平均值（2）再计算原始序列的均方差（3）再次计算残差的均值（4）然后再求残差的均方差，式中（5）计算方差比（6）计算小误差概率其中令若相关误差，关联度、后验差检验在允许范围之内，则可用所建模型进行预测，否则应进行残差修正。有关建模的问题说明：（1）给定原始序列X0中的数据不一定要全部用来建立模型，对原始序列的取舍不同，可得模型不同，即a、u的值不同。（2）建模的数据取舍应保证建模序列等时距、相连，不得有跳跃出现。（3）一般建模数据序列应当由最新数据及其相邻数据构成，当再出现新数据时，可采取两种处理方法：一是将新信息加入原始序列中，重估参数；二是去掉原始序列中最老的一个数据，再加上最新数据，所形成序列和原序列维数相等，再重估参数。GM(1,1)模型的使用范围（1）建模数据最少4个；（2）指数模型一般地：-2<a<2，当GM(1,1)发展系数|a|>=2时,GM(1,1)模型无意义；（3当-a<=0.3时,GM(1,1)可用于中长期预测（4)当0.3<-a<=0.5时,GM(1,1)可用于短期预测,中长期预测慎用（5当0.5<-a<=0.8时,GM(1,1)作短期预测应十分谨慎（6当0.8<-a<=1时,应采用残差修正GM(1,1)（7）当-a>1时,不宜采用GM(1,1)案例--GM(1,1)模型例2：2003年以来我国宏观经济和能源消耗均持续快速增长,其中最重要的推动力就是工业化进程的加速,高耗能行业产值占工业比重,工业产值占全国GDP比重不断上升,使得我国”十一五”节能降耗总目标实现难度加大,准确把握未来发展趋势,及时调整产业结构,将具有重要的意义.2004200520062007工业增加值(亿元)652107723191311107367高耗能行业增加值(亿元)25231298823742044493高耗能行业增加值占工业比重(%)40.84243.343.5案例--GM(1,1)模型研究思路:分别建立工业增加值和高耗能行业增加值的GM(1,1)模型,并预测2008-2010的产值数据,进而预测高耗能行业增加值占工业增加值比重的变化趋势.第一步:以2004-2007年数据为基础,分别建立四数据GM(1,1)模型.案例--GM(1,1)模型第二步:求得工业增加值GM(1,1)模型2004200520062007652107723191311107367652107714090892107097求得:灰色绝对关联度:0.9946灰色相对关联度:0.9965灰色综合关联度:0.9955案例--GM(1,1)模型第三步:求得高耗能行业GM(1,1)模型20042005200620072523129882374204449325231301593665344545求得:灰色绝对关联度:0.9912灰色相对关联度:0.9940灰色综合关联度:0.9926案例--GM(1,1)模型2004200520062007200820092010工业增加值(亿元)652107723191311107367126190148688175196高耗能行业增加值(亿元)25231298823742044493541386579579962高耗能行业增加值占工业比重(%)40.84243.343.542.944.345.6根据以上计算结果,说明采用GM(1,1)模型来分析此问题是科学的,合理的,利用上述模型进行预测,得到2008-2010年全国工业增加值和高耗能行业增加值数据(见下表).继续保持现有态势发展,国家”十一五”节能目标将无法实现,建议立即采取措施,限制高耗能产业的发展,重点发展能耗低产出高的高新技术产业,既能够保持工业产值的增长势头,又能够符合节能降耗的总体要求.例4：河南长葛县乡镇企业产值预测（资料来源于长葛县统计局）。由统计资料查得产值序列为：引入二阶弱化算子,令其中以及其中的1-AGO序列为：设按最小二乘法求得参数的估计值可得GM(1,1)模型白化方程时间响应式为由此得模拟序列残差序列相对误差序列平均相对误差模拟误差，精度为一级。

计算与的灰色绝对关联度：从而关联度为一级。计算均方差比：所以均方差比值为一级。

计算小误差概率：所以小误差概率为一级，故可用进行预测。这里我们给出5个预测值如下：四、GM（1.1）的区间预测设原始序列：母列：子列：——预测区间五、GM的灾变预测总结：1、灾变预测的概念与条件例1：某地区年平均降雨量数据（mm）如下表：123456789X(0)(1)390.6X(0)(2)412X(0)(3)320X(0)(4)559.2X(0)(5)380.8X(0)(6)542.4X(0)(7)553X(0)(8)310X(0)(9)5611011121314151617X(0)(10)300X(0)(11)632X(0)(12)540X(0)(13)406.2X(0)(14)313.8X(0)(15)576X(0)(16)587.6X(0)(17)318.5规定ζ＝320为下限异常值（旱灾），即认为x(0)(i)≤ζ为旱灾，试作灾变预测。解：给定数列为按照x(0)(i)≤320为异常值，有下限灾变序列xζ(0)为xζ(0)=(320,310,300,313.8,318.5)=(xζ(0)(1’)，xζ(0)(2’)，xζ(0)(3’)，xζ(0)(4’)，xζ(0)(5’))=(xζ(0)(3)，xζ(0)(8)，xζ(0)(10)，xζ(0)(14)，xζ(0)(17))。与之对应的灾变日期序列：将Q中数据作1次累加生成，得Q(1)有例2：某地年降水量原始数据序列如下表所示，根据多年的时间观测，每当年降水量小于430～440mm时，该地区将发生旱灾.所以，选择阈值=435mm,利用GM(1,1)模型进行旱灾预报.表1某地年降水量（mm）原始数据六、GM(2,1)、DGM(2,1)、和Verhulst模型GM(1,1)适用于具有较强指数规律的序列,只能描述单调的变化过程.对于非单调的摆动发展序列或有饱和的S形序列,可以考虑建立GM(2,1),DGM和Verhulst模型（一）GM(2,1)模型定义1设原始序列其1-AGO序列X(1)和1-IAGO序列(1)X(0)分别为和其中X(1)的紧邻均值生成序列为则称为GM(2,1)灰色微分方程.定义2称为GM(2,1)灰色微分方程的白化方程.定理8.4.1设如定义8.4.1所述,且则GM(2,1)参数列的最小二乘估计为定理1关于GM(2,1)白化方程的解有以下结论:若是的特解,是对应齐次方程的通解,则是GM(2,1)白化方程的通解.齐次方程的通解有以下三种情况:当特征方程有两个不相等实根时,当特征方程有重根时,当特征方程有一对共轭复根时白化方程的特解有以下三种情况:当零不是特征方程的根时,当零是特征方程的单根时,当零是特征方程的重根时,（二）DGM模型定义1设原始序列为1-AGO序列为1-IAGO序列为则称为DGM(2,1)灰色微分方程.定义2称为DGM(2,1)灰色微分方程的白化方程.定理1若为参数列,而如定义1所述则灰色微分方程的最小二乘估计参数满足定理2设X(0)为非负序列,X(1)为X(0)的1-AGO序列,B,Y,如定理1所述,则白化方程的时间响应函数为灰色微分方程的时间响应序列为还原值为（三）Verhulst模型定义1设X(0)为原始数据序列,X(1)为X(0)的1-AGO序列,Z(1)为X(1)的紧邻均值生成序列,则称为GM(1,1)幂模型.定义2称为GM(1,1)幂模型的白化方程.定理1GM(1,1)幂模型之白化方程的解为定理2设如定义1所述则GM(1,1)幂模型参数列的最小二乘估计为定义3当a=2时,称为灰色Verhulst模型。定义4称为灰色Verhulst模型的白化过程。或者直接定义如下：定理3Verhulst白化方程的解为灰色Verhulst模型的时间响应式为其还原值为：

Verhulst模型主要用来描述具有饱和状态的过程,即S形过程,常用于人口预测,生物生长,繁殖预测和产品经济寿命预测等.由Verhulst方程的解可以看出,当t→∞时,若a>0,则x(1)(t)→0;若a<0,则x(1)(t)→a/b,即有充分大t的,对任意的k>t,x(1)(k+1)与x(1)(k)充分接近,此时x(0)(k)≈0,系统趋于死亡.例5，试对如下数据列建立Verhulst模型。

X（0）＝（2.874，3.278，3.337，3.39，3.679）解：原始数据列为：第1步，作一次累加生成（AGO）按上式，得生成数列如下：

t12345X(1)2.8746.1529.49812.87916.558第2步，构造矩阵A，B，Yn第3步，最小二乘法求解：

第4步，代入微分方程得Verhulst模型为：第5步，进行回代还原，并检验。结果列于下表：te(0)%23456.5129.48912.87916.5585.1698.47212.31115.8093.2783.3373.393.6792.2953.3033.843.4980.9830.034-0.4500.18129.981.03-13.264.92第6步，进行预测。七、G（1，N）和G（0，N）模型（一）G（1，N）模型1阶微分n个变量定义1：设为系统特征数据序列，,…,为相关因素序列，为的1-AGO序列，为的均值序列，则称：为GM(1,N)模型。定理1:为系统特征数据序列，为相关因素序列，为的1-AGO序列，为的均值序列，则：1、参数列的最小二乘估计为：2、其白化微分方程的解为：3、GM(1,N)模型的近似时间响应式为：4、还原值为：此模型不能直接作预测，它体现的是各自变量对因变量的影响例：有数列，即h＝2。序号12345

试建立GM（1，2）模型。第1步，对两个数据序列分别进行累加生成，得：序号12345第2步，构造矩阵B和Yn

第3步，按最小二乘法求解：第4步，得微分方程：

第5步，求响应函数。第6步，回代检验结果见下表：序号模型值实际值模型值实际值误差%123452.8745.6829.25612.73716.3892.8746.1529.45912.84916.5262.8742.8083.573.4813.6522.843.2783.3073.393.6790.001