第2章 平面问题的基本理论-习题

第二章平面问题的基本理论例如：深梁问题例1（习题2-3）试分析不受面力的空间体表面薄层中的应力状态。

选择坐标系如图。因该表面无任何面力，fx、fy、fz

=0,故表面上(σz

,

τzx

,

τzy)=0在近表面很薄一层(σz

,

τzx

,τzy)→0∴接近平面应力问题。

例2（习题2-4）

按平面应变问题特征来分析，本题中

只有

思考题设有厚度很大(即

z

向很长)的基础梁放置在地基上,如果想把它近似地简化为平面问题处理,问应如何考虑?

思考题

1.试检查，同一方程中的各项，其量纲必然相同（可用来检验方程的正确性）。2.将条件ΣMc=0,改为对某一角点的ΣM=0，将得出什么结果？3.微分体边上的应力若考虑为不均匀分布，将得出什么结果？思考题

1.试证明微分体绕

z轴的平均转动分量是

2.当应变为常量时，εx=a,εy=b,γxy=c，试求出对应的位移分量。选择习题

2—7、2—19。

思考题

1.试证：由主应力可以求出主应变，且两者方向一致。2.试证：三个主应力均为压应力，有时可以产生拉裂现象。试根据空间问题的物理方程进行解释。3.试证：在自重作用下，圆环（平面应力问题）比圆筒（平面应变问题）的变形大。试根据它们的物理方程来解释这种现象。

例1

列出边界条件：

例2

列出边界条件：思考题

1、若在斜边界面上，受有常量的法向分布压力q作用，试列出应力边界条件，(图(a))。2、证明在无面力作用的0A边上，σy不等于零（图(b)）。3、证明在凸角A点附近，当无面力作用时，其应力为零（图(c)）。4、试导出在无面力作用时，AB边界上的

σx,

σy

,

τxy

之间的关系。(图(d))。5、试比较平面应力问题和平面应变问题的基本方程和边界条件的异同，并进一步说明它们的解答的异同。选择习题2—13例1

试列出图中的边界条件。解：(a)在主要边界y=±h/2应精确满足下列边界条件：

在小边界x=l，当平衡微分方程和其它各边界条件都已满足的条件下，三个积分的边界条件必然满足，可以不必校核。

在小边界x=0应用圣维南原理，列出三个积分的近似边界条件，当板厚δ=1时，例2

试列出图中的边界条件。解：(a)在主要边界x=0,b，应精确满足下列边界条件：

在小边界y=0应用圣维南原理，列出三个积分的近似边界条件，当板厚δ=1时，注意：在列力矩的条件时两边均是对原点O的力矩来计算的。对于y=h的小边界可以不必校核。四、按位移求解（位移法）的优缺点：适用性广─可适用于任何边界条件。求函数式解答困难，但在近似解法（变分法、差分法、有限单元法）中有着广泛的应用。例1考虑两端固定的一维杆件。

图(a)，只受重力作用，fx=0,fy=ρg。试用位移法求解。解：为了简化，设μ=0

位移u=0,v=v(y)

按位移求解，位移应满足式(b),(c),(d)。代入式(b),第一式自然满足，

第二式成为

y=0,l，位移边界条件(v)y=0=0

∴

B=0

(v)y=l=0

∴

思考题1、试用位移法求解图(b)的位移和应力。2、试将弹性力学中平面问题的位移法与结构力学的位移法相比，有那些相同

和不同之处？选择习题

2—10。图(b)图(a)

例2

厚度δ=1的悬臂梁，受一端的集中力

F的作用。已求得其位移的解答是

试检查此组位移是否是图示问题的解答。解：此组位移解答若为图示问题的解答，则应满足下列条件

1、区域内用位移表示的平衡微分方程

2、应力边界条件：在所有受面力的边界上满足。其中在小边界Sσ上可以应用圣维南原理，用三个积分的边界条件来代替。

3、位移边界条件：本题在x=l的小边界上，已考虑利用圣维南原理，使三个积分的应力边界条件已经满足。

因此，只需校核下列三个刚体的约束条件：A点（x=l及y=0），

读者可校核这组位移是否满足上述条件，如满足，则是该问题之解。例1

试考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在

解：应变分量存在的必要条件是满足形变相容条件，即（a）相容；（b）须满足B=0,

2A=C

；（c）不相容。除非C=0。

例2

在无体力情况下，试考虑下列应力分量是否可能在弹性体中存在(相容性)：解：弹性体中的应力，在单连体中必须满足相容方程。（a）此组应力满足相容方程。（b）为了满足相容方程，其系数必须满足A+B=0思考题

1.试比较按位移求解的方法和按应力求解的方法，并与结构力学中的位移法和力法作比较。2.若

εx

=ay2,εy

=bx2,γxy

=(a+b)xy

是否可能成为弹性体中的形变？3.若fx=fy=0,σx=ax2,σy=bxy2,τxy=0是否可能为弹性体中的应力？选择习题2—16、2—17。例3

图中的梁，受到如图所示的荷载的作用，试用下列应力表达式求解其应力，

解：本题是按应力求解的，在应力法中，应力分量在单连体中必须满足（1）平衡微分方程；（2）相容方程

将应力分量（a）代入平衡微分方程和相容方程，两者都能满足。（3）应力边界条件（在S=Sσ上）。在主要边界上，例3

图中的梁，受到如图所示的荷载的作用，试用下列应力表达式求解其应力，

解：

将C1,C2代入(a),得到应力公式,例3

解

将式（b）表达式代入次要边界条件，由此可见，在次要边界上的积分边界条件均能满足。因此，式（b）是图示问题之解。

例4在材料力学中，当矩形截面梁（厚δ=1）受任意的横向荷载q(x)作用而弯曲时，弯曲应力公式为

（a）试由平衡微分方程（不计体力）导出切应力τxy和挤压应力σy的公式。（提示：注意关系式

积分后得出的任意函数，可由梁的上下边界条件来确定。）

（b）当q为常数时，试检验应力分量是否满足相容方程，试在σx中加上一项对平衡没有影响的函数f(y)，再由相容方程确定f(y),并校核梁的左右边界条件。

例4解：本题引用材料力学的弯应力σx的解，作为初步的应力的假设，再按应力法求解。应力分量必须满足（1）平衡微分方程；（2）相容方程；（3）应力边界条件（在S=Sσ上）。

（a）不计体力，将

代入平衡微分方程第一式，得

两边对

y积分，得

再由上下的边界条件将τyx代入平衡微分方程的第二式,……

第二章

习题提示与答案

2－1

是2－2

是2－3

按习题2－1分析。2－4

按习题2－2分析。2－5

在ΣM=0的条件中，将出现二、三阶微量。当略去三阶微量后，得出的切应力互等定理完全相同。2－6

同上题。在平面问题中，考虑到二阶微量的精度时，所得出的平衡微分方程都相同。其区别只是在三阶微量（即更高阶微量）上，可以略去不计。2－7

应用的基本假定是：平衡微分方程和几何方程─连续性和小变形，物理方程─理想弹性体。2－8

在大边界上，应分别列出两个精确的边界条件；在小边界（即次要边界）上，按照圣维南原理可列出三个积分的近似边界条件来代替。2－9

在小边界OA边上，对于图2－15（a）、（b）问题的三个积分边界条件相同，因此，这两个问题为静力等效。2－10

参见本章小结。2－11

参见本章小结。2－12

参见本章小结。2－13

注意按应力求解时，在单连体中应力分量σx，σy，τxy必须满足

（1）平衡微分方程，

（2）相容方程，

（3）应力边界条件（假设S=Sσ)。

所以（a）和（b）问题中的应力虽然满足了平衡微分方程和