2020届高考数学教研讲义：柯西不等式(无答案)

柯西不等式试题分析：年份高考试题主要考点考查内容2010自选模块，5分柯西不等式利用柯西不等式求最值2011自选模块，10分柯西不等式利用柯西不等式证明不等式2012文9,5分柯西不等式的应用利用柯西不等式求最值2014文16,4分；自选模块5分柯西不等式的应用基本柯西不等式求最值，证明不等式一、知识点1、柯西不等式的二维形式(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2(当且仅当ad二be时，等号成立)，2、柯西不等式的n维形式设a,a,A,a;b,b,Ab为实数，则有12n12n12(ab+ab+Aab)2<(a2+a2+A+a2)(b2+b2+A+b2)12nnn简写为(乙a2)(乙b2)nnn简写为(乙a2)(乙b2)>(乙ab)2iiiii=1i=1i=1中有至少一方全为零等号成立)(当且仅当71=2=A二丁或a,b,i二1,2,3,A,nbbbii12n3、柯西不等式的三角形式：:a2+b2+\：e2+d2>(a+e)2+(b+d)2(当且仅当ad二be时，等号成立）4、柯西不等式的向量形式:册m网（mtn共线时等号成立）二、实战训练1、利用柯西不等式解决不等式证明问题【典例精析】（2017江苏）已知a,b,c,d为实数，且a2+b2二4,c2+d2=16,证明：ac+bd<8变式训练:1.（2014年咼考浙江自选模块）设正数a,b,c满足abc=a+b+c，求证：ab+4bc+9ac>86，并给出等号成立的条件.2.（2011浙江自选）设正数X,y,Z满足2X+2y+z=1.（1）求3xy+yz+ZX的最大值；2）证明：丄+丄+丄n1252）证明：1+xy1+yz1+zx263.已知x,y,zg3.已知x,y,zgR+，且x+y+z=1，求证:14+—>36xyz已知a,a,A,agR+,求证：a2+a2+A+a2>(a+a+A+a)212n12nn12n2、利用柯西不等式解决最值问题【典例精析】（2014年高考浙江卷文科第16题）已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1，则a的最大值为.变式训练：a2b2c21.（2010浙江自选）设正实数a，b，c,满足abc>1.求++的最小a+2bb+2cc+2a值.2.已知a,b为正常数，x>0,y>0,则(x+y)(+)的最小值为()xyA.4'：abb.(、a+•*b)2c.2abd.a+b3•若正数a,b满足a+b=1，则-1-+咅的最小值是a+1b+24•已知0eR，则一1石+—1石的最小值为sm20cos205•若不等式+-1—+丄>0在条件a>b>c时恒成立，则九的取值范围是a-bb-cc-a【典例精析】（2012年高考浙江卷文科第9题）若正数x,y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是.变式训练：1.已知X,y€R+，且3x2+2y2W6，求ro=2x+y的最大值。2.求函数y二3、：x-1+“10-2x的最大值。3.函数y=<1-x+J4+2x的最大值为3、柯西不等式的向量形式的取值范围是【典例精析】若0i=(cosa,sina),b=(3cos2p,3sin2p)，则的取值范围是变式训练：若a,b€R+，且a+b=f-，求证：+1+J3b+2<、；106设S=(-2,2),|b|=6，则£㊉b的最小值是，此时b=_

4、柯西不等式的三角形式【典例精析】函数f（x）=Qx2-8x+20-Jx2-6x+10的最大值是变式训练：求函数f（x）=px2-6x+13+.x2+4x+40的最小值5、柯西不等式的综合应用【典例精析】（2014年高考湖北卷理科第9题）已知F,F是椭圆和双曲线的公共焦点，P12兀是它们的一个公共点，且PF=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值123为（）A.4厲~3~A.4厲~3~C.3D.2变式训练：1•若长方形ABCD是半径为R的圆内接长方形，则长方形ABCD周长的最大值为（）A.2RB.2\2RC.4RD.4\2R

则（2.直线a+b=1通过点M(cosa，sina)则（B.11+a2B.11+a2b2<111D.hb2>13.（陕西卷）设a，b，m，neR,且a2+b2二5,ma+nb二5,则恋m2+n2的最小值为4•给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为120°.如图所示，点C在以O圆心的圆弧AB上变动，若OC=xOA+yOB，其中x,yeR，则x+y的最大值是,课后练习49161.设a,b,c均为正数且a+b+c=9，贝y+丁+—的最小值为()abcA.81B.9C.7D.492.若存在实数x使J3x+6+J14-x>a成立，常数a的取值范围为3.已知lg(x+y)=lgx+lgy,则x+2y的最小值为,4.已知a,b€R+，且a+b=1，求证：(ax+by)2<ax2+by2已知a,b,c,d是不全相等的正数，求证：a2+b2+c2+d2>ab+bc+cd+daa2+b2+6.已知正数a,b,c满足a+b+c=1，证明：a3+b3+c3>7.（