2020-2021学年重庆市七校高一下学期期末联考数学试题

2020-202厚年重庆市七校高一下学期期末联考数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（原创）已知复数z满足z=（3+i）i,则复平面内与复数z对应的点在（）第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限（原创）大足中学高一20位青年教师的月工资（单位：元）为叫，兀，・・・，兀，其均值和方差分别1220为元和$2,若从下月起每位教师月工资增加200元，则这20位员工下月工资的均值和方差分别为（）D.无+200,szA.兀，32+2002B.无+200,32+2002D.无+200,sz（改编）某校高一（1）班甲、乙两同学进行投篮比赛，他们进球的概率分别是|■和|,现甲、乙各投篮一次，至少有一人投进球的概率是（）13D154.（改编）在圆O中弦AB的长度为8,则AOAB=（）A.8B.16C.24D.32A.8B.16C.24D.32（原创）在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，F为DC±靠近C点处的三等分点，则亦=（）A.-AB+ADC._丄A.-AB+ADC._丄AB+AD6D-丄亦-巫6（原创）已知两条不同的直线人〃和两个不同的平面％卩，下列四个命题中错误的为（）A.若加丄〃丄卩，〃丄则加丄ocB.若〃〃卩，B丄d,则加丄aC.若ocPP=m,〃/（x且〃/卩,则〃加D.若a//B，〃uoc,那么加//卩TOC\o"1-5"\h\z7.（原创）已知在长方体ABCD-AiBiCiDi中，且AB=3.AD=AA=4,若m是Cq的中点，则异面直线与AD所成角的余弦值为（）A克b.返C.亜D.迺29292929

8•有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机抽取两次，每次取一个球，甲表事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的数字之和是7”，贝％）A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）（改编）一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（）事件“两次均击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件事件“第一次击中”与事件“第二次击中”为互斥事件事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件（改编）下列结论正确的是（）人.在厶ABC中，A>B是sinA>sin3充要条件在AABC中，2cosBsinA=sinC,则aABC为等腰三角形在AABC中，ocosA二ccosC,则在AABC为等腰三角形在△ABC中，b2=ac,且2sinB=sinA+sinC,则AABC为正三角形11.正方体ABCD-AiBiCiDi中，E为棱CC】的中点，则下列说法正确的是（A.DC//平面A0E丄平面C.直线与平面C.直线与平面AiBiCiDi所成的正切值为V24D.平面ADiE截正方体所得截面为等腰梯形12.（原创）关于复数z=x+yi（x,yGR）,下列说法正确的是（）A.Z2=X2+J2B.若|z—2“=2,贝g+（歹一2）2=4C.若方为纯虚数,贝iJxhO,y二0D.i^4（w+w）三、填空题三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）成六组：1组［40,50），第2组［50,60），第3组【60,70），第4组【70,80），第5组【80,90），第6组bo,ioo］,13.（原创）已知13.（原创）已知i是虚数单位，则2-i4+3i14.（改编）为了研究疫情病毒和人的血型间的关系，在被感染的2400人中，O型血有800人，A型血有600人，B型血有600人，AB型血有400人.在这2400人中，采用分层抽样的方法抽取一个容量为120人的样本,则应从O型血中抽取的人数为・

得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：（1）求补全这个频率分布直方图，并利用组中值估计本次考试成绩的平均数；（2）从频率分布直方图中，估计第65百分位数是多少；（3）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率.15.（改编）若三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA丄平面ABC，SA=3,BC=2迈,^BAC二45。G—2b)CaG—2b)Ca+b)=27.贝寸球O的表面积16（原创）在AABC中，已知BC二2，且I3AB+2~AC1=10，则AABC面积的最大值为四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（原创）（本小题满分10分）已知a=5,b=2,（1）求a与b的夹角Q；（2）求3a—b18.（改编）（本小题满分12分）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且csin（B+C-A）=asin（A+B）.（1）求角A的值；（2）若sinB=2sinC，且△ABC的面积为2打，求△ABC的周长.19.（改编）（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是棱长为4的菱形，PA丄平面ABCD，PA=3,ZABC=60°，E是BC中点，若H为PD的中点。（1）求证：EH//平面PAB；（2）求E点到平面PAB的距离.20.（改编）（本小题满分12分）我校近几年加大了对学生奥赛的培训，为了选择培训的对象，今年5月我校进行一次化学竞赛，从参加竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分

21.（改编）（本小题满分12分）如图1,在平行四边形ABCD中，ZA=60°，AD=2，AB=4，将AABD（1）证明：平面A'DB丄平面BCD；（2）在线段AC上是否存在点M，使得二面角M-BD-C的大小为45°?若存在，指出点M的位置；若不存在，说明理由。22.（原创）（本小题满分12分）在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若BD=XBC(0<X<1),且AD=2，ZBAC=£.，‘兀⑴当ZBAD=-时，求AABC面积的最小值;（2）若AABC的面积不小于2再，求ZBAD的取值范围.即sin2A二2sinAcosA二sinA.因为sinA丰0，所以cosA=—,2重庆市高2023级高一下期七校联考数学兀因为0<A<兀，所以A=亍.（2）由S=besinA=2£3，可得be—8.AABC25分）6分）（8分）因为sinB—2sinC，所以b—2e，解得b—4,e—210分）选择题（60分）由余弦定理得a2—b2+e2-2becosA—12，a—2爲，所以周长为6+2朽.（12分）题号123456789101112答案BDDDABCBACABDCDBCD二．填空题（20分）12——i13.55;14.40；15.25兀；16.2。三．解答题（70分）••a—5b—217.（10分）【详解】（1）—'—Ca一2b）•Ca+b）—2a2一3a.b一2b2—2|a|2一3—50一30cos0—8—27.bcos0一2b（4分）.・.cos0——20—60°，•:向量a与b的夹角0=60°.5分）2223方一方—9方+方一6方•方—225+4一30—1993方一方一丁两10分）18.（12分）【详解】（1）因为esin（B+C-A）—asin（A+B）由正弦定理得sinCsinG—2A）—sinAsinG—C）—sinCsinA19.（12分）【详解】（1）取PA的中点M，连接HM,MB，因为H为PD的中点，且M为PA的中点，则HM—-AD且HM//AD，BD—-AD且BD//AD，22所以HM//BD且HM—BD，所以四边形DHMB为平行四边形,所以EH//BM，又由EH匸平面PAB,BMu平面PAB，所以EH//平面PAB.由（1）V—VE—PABP—ABEhx—x4x3—3x—x2x2j322・•・h-运法2：PA丄平面ABCD・•・平面PAB丄平面ABCD平面PAB平面ABCD—AB过E点做EF丄AB,交AB于点F・•・EF丄平面PABEF-込故E点到平面PAB的距离为再。2分）（4分）6分）12分）2分）因为sinC主0，所以sin（兀—2A）—sinA,3分）所以频率分布直方图如下:(2分)(10所以频率分布直方图如下:(2分)(10分)20.(12分)【详解】(1)由图可得分数在［80,90)内的频率为1-10(0.006+0.010+0.020+0.026+0.030)=0.08，0.08一10=0.008，所以本次考试成绩的平均数约为45x0.010x10+55x0.026x10+65x0.020x10+75x0.030x10+85x0.08+95x0.006x10=66.8.(4分)由题可知第65百分数应该在［70,80)内，所以第65百分数=70+驚5-濯x10=73，(7分)0.86一0.56第5组人数为50x0.08=4，第6组人数为50x0.06=3(8分)被抽取的成绩在［80,90)内的4人，分别记为a，b，c，d；成绩在baioo］内的3人，分别记为A，B，C；则从这7人中随机抽取2人的情况为:(a,b),(a,c),(a,d),(a,A),(a,B),(a,C),(b,c),(b,d),(b,A),(b,B),(b,C),(c,d),(c,A),(c,B),(c,C),(d,A),(d,B),(d,C),(A,B),(A,C),(B,C)TOC\o"1-5"\h\z共21种；(10分)被抽到2人中至少有1人成绩优秀的情况为：(a,A),(a,B),(a,C),(b,A),(b,B),(b,C),(c,A),(c,B),(c,C),(d,A),(d,B),(d,C),(A,B),(A,C),(B,C).共15种.(11分)故抽到2人中至少有1人成绩优秀的概率为：P=7.(12分)21.(12分【详解】(1)在AABD中，因为ZA=60°，AD=2，AB=4，由余弦定理得BD=JAD2+AB2-2AD•ABcos60。=2爲，所以BD2+AD2=AB2，所以AD丄BD，所以ZADB=90°,ZDBC=90°(2分)作DF丄A'B于点F，因为平面A'BC丄平面A'BD，平面A'BC门平面A'BD=A'B，所以DF丄平面A'BC，所以DF丄BC，(4分)又因为CB丄BD,BD^DF=D，所以CB丄平面A'DB，因为A'Du平面A'DB，所以CB丄A'D，又由A'D丄BD,BD^CB=B，所以A'D丄平面BCD.所以平面A'DB丄平面BCD；(6分)(2)存在点M,当M是A'C的中点，有二面角M-BD-C的大小为45。。(7分)证明如下：有(1)知A'D丄平面BDC',「.A'D丄DC，且A'D=1,DC=2,「.A'C=+5又因为M是A'C的中点，•.DM二邑,2同理可得：BM=，(8分)2取BD的中点为O,DC的中点为E，连接MO,EM,OE有MO丄BD,OE丄BD,/.ZMOE就是二面角M-BD-C的平面角。（12分）又因为OM=^,0E=l.ME=1,.\ZMOE=（12分）2（2分）22.（12分）（1）iEAB=c,AC=b,因为S=S（2分）AABCAABDAACZ）.S十CX2X当+”x2x学如‘增（4分）be>8,S>4（6分）⑵法一：记ZBAD^e,AB=c,AC=b,因为S沁面积不小于2朽，即S.>2；3mm111

则S=—xcx2xsin0+—xZ?x2xsin（—-0）-—be2222（8分）2csin0+2Z?cos0=bc>2<'2csin0-2Z?cos0be>Ssin20S>4sin20:.4sin20>2j3,又t&e（0,牙）（口分）（12分）法二：过D分别作A