增强模型意识,口算解立体几何

增强模型意识，口算解题不再是梦想匹

1=1PHbc

a-(. )bPHbc

a-(. )b2+c2' bc:a2+(: )2\ \b2+c2abc\a2b2+b2c2+c2a2②二面角P-BC-A,P-CA-B,P-AB-C的平面角分新课标教材对高中立体几何的教学分成了两套思路。一套是传统思路，以欧式几何中的公理、定理及推论作为一条主线，灵活添加辅助线，数形结合求得题解；另一套则是借助空间直角坐标系，将立体图形坐标化，从而将几何问题完全转化成代数问题，再通过方程来解决问题。在此，我愿意另辟蹊径，用模型的意识来看待立体几何问题，利用补形法，力争将高考立体几何大题变为口算题！为了实现这一目标，我们先来熟悉一下几个模型：1、长方体的“一角”模型在三棱锥P-ABC中，PA±PB,PB±PC,PC±PA，且PA=a,PB=b,PC=c•①三棱锥P-ABC的高abch=:\a2b2+b2c2+c2a2证明：设直线AH交BC于D点，由于H点一定在^ABC内部，所以D点一定在BC上，连结PD.在APAD中:别是:aJb2+c2 b』a2+c2 cJa2+b2bcacab例1、四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为寸2的正方形，PA1面ABCD,PA=1，求A-DP-B的大小.分析：考虑三棱锥A-PDB，它就是模型1—长方体的“一个角”.本来我们可以利用结论②DC解：设二面角A-DP-B的大小为a•

DC则:AB.蓦PA则:AB.蓦PA2+AD21x,‘2+1 \；6tana= = ；^—= ，PA-AD 1x<2 2=arctan<62我们看到象例1这样本来是高考中大题目，可是抓到了长方体“一角”，做起来就变得很轻松了.例2、直二面角D-AB-E中，ABCD是边长为2的正方形（见图）AE=BE,求B点到面ACE的距离.E分析:这是一道高考中的大题.因为D-AB-E是直二面角，BC±面ABE,当然面ABCD±WABE,又因为ABCD是正方形，BC要垂直于面ABE.E在ABE中，AE就是面内的一条线，而BE就是BF在该面内的射影，而AE是垂直于BF，这是因为BF垂直面ACE的，所以AE是垂直于面ACE的.所以AE垂直于BF,又有AE=BE，所以AABE是等腰直角三角形.这一小段是熟悉几何环D1CB1B1境的过程.图形中特殊的位置关系约束^ABED1CB1B1补充图形，在正方体ABCD-ABCD看问题.在这1111里看直二面角的局部图形.问题就转化为：求D到面ACE的距离，就是求O点到面AB1C的距离.因为O,B到面ACB1的距离相等，所以只须求B到面ACB1的距离即可，考虑三棱锥B-ACB1，它是模型2.23 2V3BC=BA=BB=2,BF=—j==== 所以，D到面ACE的距离为竺.3点评：比起高考评分标准给的答案那要简单得多了.这儿要注意：一个是把局部的直二面角根据它的AEB是以E为直角的等腰直角三角形和ABCD是正方形的图形特征，补足正方体，这就是一种扩大的几何环境，而正方体也就是长方体模型，另一方面又抓到这正方体的一个角B-ACB1，那么这个角的模型更高，

这就使我们在运算过程中得以简化.所以说一道看起来很复杂的几何题，用典型几何模型做就显得轻松.例3底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截，AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1（见图），求C点到面AEC1F的距离.分析：这也是一道高考题，在评分标准中给出了很多的辅助线.现在我们用典型的空间模型，再对这道题解解看.解：延长qE交CB延长线于M，延长CD，交qF延长线于N，C-C1NM是模型2.CMCCCM3— 1，一，CM一3CN-BCBECM-21CNCCCN3— 1，—,CN=12.CN-CDDFCN-42因为同理所以，C到面C1MN的距离为:3x3x124<33V9x9+9x144+9x144 112、公式cos0=cos0-cos02的几何模型PA±平面a，PB是a的斜线,Bea,AB是PB在履内的射影，BC是履内一条0-cos0.直线/PBC=0,/PBA=0,/ABC=0，则有0-cos0.大家要注意搞清楚那个是0，那个是01，那个是。②，实际上只要搞清那个是0，另外两个就是01，02.特别的，a内的直线不一定过B，如上面的右图所示：

在直线AB上有一点D,过D在a画一直线DC,则0是直线PB与DC所成的角，/PBA=0，/ADC=0.则cos0=cos0•cos01 2 1 2那么这样的有可能利用这样的模型计算出异面直线成角.PB和DC的成角.例4EAL面ABCD,ABCD是边长为7?的正方形，EA=1,在AC上是否存在P点，使PE、BC成60。角.AA1=1,AA1=1,BD与面AA1B1B成分析：/APM=02/EPM=0cosZEPA•cosZAPM=cosZEPM即-=；APr•=，所以AP=1=-AC.可见AC中点即是要找的点P例5长方体ABCD-ABCD中，AB=2111130°角.AELBD于E,F为A1B］的中点，求AE,BF成角.解：cos0=cos01•cos0=cos45。cos（90。一30。）_v2 1V2—项x2=T-2所以AE,BF成角为arccos~—.这样的一个题目，最重要的是位•在高考评分标准中，都要有很长的解题过程中.这些结论在高考中，教材中有的可以直接用，有的可以先用，然后把结论来源说明.这样可以减少思考的时间与计算量.这就相当于电脑中的集成块一样，减少空间.3、双垂四面体模型如图3,四面体A-BCD,ABL面BCD,CD±面BCA，这种四面体构成许多简单多面体的基本图形，不妨称为双垂四面体，主要性质：

①cosZADC=cosZADB-cosZBDC；②以BD、BC和AC为棱的二面角都是直二面角，以AB、BC为棱的二面角的平面角，分别是ZDBC与ZACB以AD为棱的二面角为0，则cos0BC为棱的二面角的平面角，分别是ZDBC与ZACBAC-BD对棱AB与CD垂直，且BC是它们的公垂线;图3⑤对棱AD与BC为异面直线，它们夹角为图3⑤对棱AD与BC为异面直线，它们夹角为a，BCAD例3如图4，ABCD是上下底长分别为2和6,高为&的等腰梯形，将它沿对称轴OO］拆成直二面角，如图5.证明：AC±BO1；求二面角O—AC—O］的大小.解：(1)略(2)平面AOO1±平面OO1C，又VAO±O1C，AAO平面OO1C，同理CO1±平面AOO1，四面体AOO1C是一个双垂四面体，若二面角O—AC-O］的平面角为0，则cos9=A^-C°^，根据条件，从图5中可知AO=3,OC=2,OC-AO1AOi=143，CO1=1，即可自得cos0=—^-例4如图6，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF±平面ACE.求证：人£上平面BCE；求二面角B—AC—E的大小；求点D到平面ACE的距离.分析：当(1)证明后，我们很容易识别四面体A—EBC是一个双垂四面体，若二面角B—AC—E的平面角为0，则图4cos0=CB•AE，由条件可以计算出AB=CB=2,AE二寸2，CE=\'6，AB-CE

图4.•0=arccos 值得注意的是此题的（3）并不需要用等积变换，根据平面斜线上两点到平面的距离等于它们的斜线长的比，..•点D到平面ACE的距离等于B点到平面ACE的距离，也就是线段BF的长为EBBC2V2 / 3EC欢3'利用典型立体几何模型解高考题（本小题满分13分）如图，已知三棱锥O—ABC的侧棱OA,OB,OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点.（1） 求O点到面ABC的距离；（2） 求异面直线be与AC所成的角；（3） 求二面角E-AB-C的大小.解：显然三棱锥O-ABE和O-ABC都是长方体一脚模型，（1）设O点到面ABC的距离为h，则由结论1—①，OA•OB•OC\-OA2•OB2+OB2•OC2+OA2•OC2 3（2）设be与AC所成的角为a，则由模型二cosa=cosZOEB•cosZACO，cosZOEB=由勾股定理AB=AC=BE=寸5，所以cosZcosZOEB=故cos故cosa，a=arccos—5（3）设二面角e—AB—O、C—AB—O、E—AB—C的大小分别为0,P,y，则0=p—y，由结论1一②，OE•'OA2+OB2tany= OA•OB2t§OE•'OA2+OB2tany= OA•OB2tanp—tanyv'5所以tan0=1+tanp•tany2、（本小题满分13分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PDL底面ABCD,E是AB上一点，PEXEC.已知PD=\^2,CD=2,AE=1,2求二面角E—PC—D的大小.解：过E点作eg±CD于G，过G点作FG±CD于G，连结EF，则显然三棱锥G-CEF是长方体一角模型，设二面角E—PC—D的大小为a，则由结论1一②可知：tanaEG、'CG2+FG2，下面就只剩下计算问题了tanaCG-FG因为PDL底面，故PDXDE，又因ECXPE，且DE是PE在面ABCD内的射影，故由三垂直线定理的逆定理知：ECXDE，设DE=x，因为ADAE-ACED，故工=CD,即x2=1,x=+1（负根舍去）.从而DE=1，故AEx- -3CG=CD-DG=一，2又因为四=FGCDDP所以- -3CG=CD-DG=一，2又因为四=FGCDDP所以FG=CG-DP3方 = ，CD4tanaEG•wCG2+FG2 =1，CG-FG二面角E—PC—D的大小为生.43、（本小题满分13分）如图，在三棱柱ABC—A］B］C］中，AB上侧面BB1C1C，E为棱CQ上异于C、ZBCC.=-，求:3^的一点，EAXEB1，已知AB=v'2，BB1=2，BC=1，ZBCC.=-，求:3（I） 异面直线AB与EB1的距离；（II） 二面角A—EB1—A］的平面角的正切值.解（I）显然四面体A-BEB］是双垂四面体模型由结论3—④，BE是异面直线AB与£8危勺公垂线在平行四边形BCC1B1中，设EB=x，则EB「指二X2 一… .犯作BDXCC1，交CC1于D,则BD=BC・sin生=土在^BEB1中，由面积关系得-xV4—x2=-•2.工,即(x2-1)(x2-3)=0-2 2 2解之得x=±1,x=±、3(负根舍去)当x=23时，在ABCE中,CE2+12-2CE-cos—=3