数字语音处理-第四章

第四章语音信号的短时时域分析

4.1概述14.2傅里叶变换的解释

4.3滤波器的解释34.4短时谱的时域及频域采样率44.5短时综合的滤波器组相加法524.1概述语音信号可被看作是短时平稳信号，其某一帧的短时傅里叶变换定义式如下：（4.1）式中w(n-m)是窗函数。在式中，短时傅里叶变换有两个变量，它们是离散时间n及连续频率ω若令，则得离散的短时傅里叶变换如下:

(4.2)它实际上就是的频率的取样。4.1概述可以看出：（1）当n固定时，它们就是序列

(-∞≤m≤+∞)

的傅里叶变换或离散傅里叶变换。（2）

当或k固定时，它们是一个卷积，这相当于滤波器的运算。因此，语音信号的短时频域分析可以解释为傅里叶变换或滤波器。下面分别讨论这两种情况。4.1概述4.2

傅里叶变换的解释

1.求x(n)将式（4.1）写作（4.3）时变傅里叶变换是时间标号n的函数，当n变化时，窗w(n-m)沿着x(m)滑动。傅里叶逆变换公式为：

(4.4)令m=n,则

(4.5)可以看出，只有当w(0)≠0时，x(n)才能从求出。

此外，由功率谱定义，可以写出短时功率谱与短时傅里叶变换的关系：

(4.6)功率谱是自相关函数

(4.7)的傅里叶变换。窗函数的作用

1.选出x(m)序列中被分析部分;

2.它的形状对时变傅里叶变换特性也有重要作用。如果被看成是w(n-m)x(m)序列的标准傅里叶变换，同时假设x(m)及w(m)的标准傅里叶变换存在，为：(4.8)(4.9)当n固定时，序列w(n-m)的傅里叶变换为：

(4.10)根据卷积定理，有：

(4.11)写成卷积积分形式：

(4.12)将θ改换为-θ后，可以写成：

(4.13)可见，为了使能够充分地表现的特性，要求对于来说，必须是一个冲激脉冲。

窗函数和窗宽对短时傅里叶谱的影响：由于矩形窗有较高的旁瓣，在语音频谱分析中，很少采用。实验表明，窗的主瓣宽度与窗宽度N成反比，选择窗宽时应根据应用需要，折衷考虑，要得到好的时间分辨率要求用窄窗，而要得到好的频率分辨率要求用宽窗。

4.3

滤波器的解释（ω给定）

1．短时傅里叶变换的滤波器实现形式一由式（4.1）可得

(4.14)如果把w(n)看作为一个滤波器的单位取样响应，则短时傅里叶变换就是该滤波器的输出，为滤波器的输入。

用实数来运算的方法：

(4.15)(4.16)

结论：经调制后，其付里叶变换为，这说明调制使的频谱在频率轴上向左移动了，线性滤波器输出端的频谱等于乘积，故为了使输出频谱准确等于，应当是一个冲激。即要求线性滤波器近似为一个窄带低通滤波器。2．短时傅里叶变换的滤波器实现形式二令：

(4.16)令(4.17)则有

(4.18)可以画出短时傅里叶变换的滤波器解释的另一种形式如图（4.3）所示，也分为复数运算和实数运算两种。

同样要求线性滤波器近似为一个中心频率为ω的窄带带通滤波器。

4.4短时谱的时域及频域取样率

短时傅里叶变换同时是时间n以及角频率ω的函数。由来恢复x(n)，首先遇到的就是时域取样率和频域取样率的问题。1.时域取样率（ω为固定值）

若将w(n)的傅里叶变换记为，对于大多数窗函数来说，具有低通滤波器的特性，若它的带宽为BHz，则具有与窗相同的带宽。低通滤波器的带宽是由第一个零点位置决定的。因为是-1的傅里叶变换，因而B的取值决定于窗口序列的长度N和形状。若使用哈明窗，的近似带宽为

(4.20)

2、频率取样率(n为固定值)

此时,是以2π为周期的ω的连续函数，用下述一组频率值来取样：

(4.21)

设w(n)为有限时宽N，的短时付里叶反变换x(m)w(n-m)也应当是宽度为N有限时宽的。现在在频域内L个角频率上对进行取样，根据这些取样所恢复出的时间信号应该是x(m)w(n-m)进行周期延拓的结果，延拓周期等于L。为使恢复的时域信号不产生混叠，要求，故频域最小取样数为窗宽SRf=N。

3、总取样率的总抽样率（SR）等于

(4.22)在大多数实际窗中，B可以表示为FS/N的倍数

(4.23)其中，C是比例常数，

x(n)的抽样频率即为

(4.24)SR/FS即为与一般取样频率相比而得到的“过速率采样比”。

欠速率采样：

x(n)的短时谱所要求的取样率比起一般波形表示来说，要增加到2~4倍。但有时在时域或频域用低于理论上最小值的取样率，而x(n)仍能从混叠的短时变换中准确地恢复。欠速率采样在短时谱估计，基音及共振峰分析，数字语谱图以及声码器中得到应用。4.5短时综合的滤波器组相加法

可表示为(4.25)(4.26)若定义则(4.27)(4.28)式（4.28）的图形解释

定义

(4.29)

可得

(4.30)

可见，是一个冲激响应为的带通滤波器的输出。复数带通滤波器的频率响应为

上式用图4.7(b)表示，中心频率为，带宽为，假定所有通道都使用了相同的窗函数，即

(4.31)(4.32)

考虑整个带通滤波器组时，其中每个带通滤波器具有相同的输入，其输出相加在一起，如图4.8所示，输出为y(n)，输入为x(n)，整个系统的复合频率响应为

(4.33)

如果在频率域上正确抽样(N≥L，L为窗宽)，可以证明对于所有ω都满足

(4.34)

上式证明如下:

的傅里叶反变换是窗函数，如果在频率上以N个均匀间隔抽样，抽样形式的离散傅里叶反变换为

(4.35)

如果w(n)的宽度等于L个抽样，则

w(n)=0,n＜0,n≥L(4.36)

在式(4.35)中取n=0，得到

(4.37)

从式（4.27）及式(4.34)可以推出复合系统的冲激响应为：(4.38)

这时的复合输出为

(4.39)

于是，用滤波器组相加法恢复的信号可以表示为：

(4.40)

上面已讨论到，当w(n)具有有限宽度L时，x(n)完全能从时间及频率域抽样后的时变傅里叶变换准确地恢复。下面还能证明，如果在频域内是频带受限的，则

x(n)也能准确从中恢复。

前面已指出，在有限宽度窗的情况下，为避免时间混叠，必须至少在L个均匀分布的频率上取值，其中L为窗的宽度。宽度为L的窗的带宽一般在矩形窗）至哈明窗）之间，而分析频率为，这时所得的带通滤波器在频率上叠接。4.5.2短时综合的滤波器组相加法的MATLAB程序实现

程序filterbank1.m对应于图4.6中的(b)图，先调制后滤波，实现流程图见图4.10。图4.6中的(b)图图4.10filterbank1的流程图YN读入语音数据分帧，不足补零，共N帧加哈宁窗滤波i=1~65取k=1帧数据用调制i=1~65用调制i=1~65k=k+1输出

k≥N?

程序filterbank2.m对应于图4.6中的(a)图，先滤波后调制，实现流程图见图4.12，程序运行结果见图4.13。图4.6中的(a)图图4.12filterbank2的流程图YN读入语音数据分帧，不足补零，共N帧各通道滤波i=1~65取k=1帧数据并分别送入1~65通道的输入端

各通道用调制i=1~65各通道用调制i=1~65k=k+1输出

k≥N?

(4.41)式中r为一整数，0≤i≤N-1，上式的反变换为

(4.42)又(4.43)因而

(4.44)假设在时域上利用周期为R的取样对取样得4.5.3短时综合的叠接相加法原理及MATLAB程序实现

将式（4.42）代入式（4.44）中，可得