创新设计2016-2017学年高考数学第二章点直线平面之间的位置关系232平面与平面垂直的判定课件

第二章§2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.2平面与平面垂直的判定学习目标1.理解二面角的有关概念，会求简单的二面角的大小.2.理解两平面垂直的定义.3.掌握两平面垂直的判定定理.知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠栏目索引知识梳理自主学习知识点一二面角答案概念平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为

.从这一条直线出发的

所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的

，这两个半平面叫做二面角的

.图示面半平面两个半平面棱平面角文字在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于

的射线，则这两条射线构成的

叫做这个二面角的平面角图示符号OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角范围______答案角[0，π]棱答案平面角规定二面角的大小可以用它的

来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是

的二面角叫做直二面角记法棱为l、面分别为α，β的二面角记为

.如图所示，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角

.直角P－l－Q平面角α－l－β思考二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？答案答无关.如图，根据等角定理可知，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关.知识点二平面与平面垂直1.定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是

，就说这两个平面互相垂直.平面α与平面β垂直，记作

.2.画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的_____垂直.如图所示.答案横边直二面角α⊥β3.平面与平面垂直的判定定理答案文字语言一个平面过另一个平面的

，则这两个平面垂直图形语言符号语言l⊥α，

⇒α⊥β垂线l⊂β答案返回思考(1)应用面面垂直的判定定理的关键是什么？答应用此定理的关键在于，在其中一个平面内找到或作出另一个平面的垂线，即实现面面垂直向线面垂直的转化.(2)两个平面垂直，则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗？答不一定.平行、相交，垂直都有可能.题型探究重点突破题型一二面角及其平面角的概念例1下列命题中：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.其中正确的是(

)A.①③B.②④C.③④D.①②解析答案反思与感悟解析由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，所以①不对，实质上它共有四个二面角；由a，b分别垂直于两个面，则a，b都垂直于二面角的棱，故②正确；③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③不对；由定义知④正确.故选B.答案B反思与感悟反思与感悟1.要注意区别二面角与两相交平面所成的角并不一致.2.要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角面上的角的联系与区别.3.可利用实物模型，作图帮助判断.解析答案跟踪训练1若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角(

)A.相等 B.互补C.相等或互补 D.关系无法确定解析如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角H－DG－F的大小不确定.D解析答案题型二面面垂直的判定例2如图，三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点.(1)求证：BD∥平面FGH；解析答案证明方法一如图所示，连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH.在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，∴AC＝2DF.∵G为AC的中点，∴DF∥GC，且DF＝GC，∴四边形CFDG是平行四边形，∴DM＝MC.∵BH＝HC，∴MH∥BD.又BD⊄平面FGH，MH⊂平面FGH，∴BD∥平面FGH.方法二在三棱台DEF－ABC中，AB＝2DE，H为BC的中点，∴BH∥EF，且BH＝EF，∴四边形BHFE是平行四边形，∴BE∥HF.在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，∴GH∥AB.又GH∩HF＝H，AB∩BE＝B，∴平面FGH∥平面ABED.∵BD⊂平面ABED，∴BD∥平面FGH.解析答案(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.反思与感悟证明∵G，H分别为AC，BC的中点，∴GH∥AB.∵AB⊥BC，∴GH⊥BC.又H为BC的中点，∴EF∥HC，EF＝HC，∴EFCH是平行四边形，∴CF∥HE.∵CF⊥BC，∴HE⊥BC.又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H，∴BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD，∴平面BCD⊥平面EGH.反思与感悟面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只需转证线面垂直，关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直.解析答案(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；证明∵∠BCD＝90°，∴BC⊥CD.∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.又∵AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.∴EF⊥平面ABC.又∵EF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面ABC.故不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.解析答案(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?解由(1)，得EF⊥平面ABC，BE⊂平面ABC，∴EF⊥BE.要使平面BEF⊥平面ACD，只需BE⊥AC.又∵AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，解析答案题型三与二面角有关的计算例3如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求二面角B－A1C1－B1的正切值.反思与感悟解取A1C1的中点O，连接B1O，BO.由题意知B1O⊥A1C1，又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，所以BO⊥A1C1，所以∠BOB1即是二面角B－A1C1－B1的平面角.因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1⊂平面A1B1C1D1，所以BB1⊥OB1.反思与感悟反思与感悟1.求二面角的大小关键是要找出或作出平面角.再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为作角→证明→计算.2.为了能在适当位置作出平面角要注意观察二面角两个面的图形特点，如是否为等腰三角形等.解析答案跟踪训练3正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P是AD的中点.求二面角A－BD1－P的大小.解析答案解过点P作BD1、AD1的垂线，垂足分别是E、F，连接EF.∵AB⊥平面AA1D1D，PF⊂平面AA1D1D，∴AB⊥PF.∵PF⊥AD1，且AB∩AD1＝A，∴PF⊥平面ABD1，∴PF⊥BD1，又∵PE⊥BD1，且PE∩PF＝P，∴BD1⊥平面PEF，∴EF⊥BD1，∴∠PEF为所求二面角的平面角.∴∠PEF＝30°.∴二面角A－BD1－P为30°解析答案解后反思折叠问题是指平面图形经过折叠成为立体图形后，在立体图形中解决有关问题.关于折叠问题，一定要抓住折叠前后的图形中的变量与不变量，这是解决问题的关键.例4在直角梯形ABCD中，∠D＝∠BAD＝90°，AD＝DC＝

AB＝a(如图所示)，将△ADC沿AC折起，将D翻到D′，记平面ACD′为α，平面ABC为β，平面BCD′为γ.(1)若二面角α－AC－β为直二面角，求二面角β－BC－γ的大小；(2)若二面角α－AC－β为60°，求三棱锥D′－ABC的体积.返回平面图形的折叠问题解题技巧分析本题是一个折叠问题，要弄清折叠前后哪些量不变，哪些量发生了变化.要求折叠后二面角β－BC－γ的大小，要先找角，再求角.解(1)在直角梯形ABCD中，由已知，△DAC为等腰直角三角形，解析答案解后反思如图所示，过C作CH⊥AB，垂足为H，则AH＝CH＝a.∴AC⊥BC.取AC的中点E，连接D′E，则D′E⊥AC.∵二面角α－AC－β为直二面角，∴D′E⊥β.又∵BC⊂平面β，∴BC⊥D′E.∵AC∩D′E＝E，∴BC⊥α.而D′C⊂α，∴BC⊥D′C，∴∠D′CA为二面角β－BC－γ的平面角.由于∠D′CA＝45°，∴二面角β－BC－γ为45°.(2)如图所示，过D′作D′O⊥β，垂足为O，连接OE，∵AC⊂β，∴D′O⊥AC.又由(1)可知AC⊥D′E，D′O与D′E相交于点D′，∴AC⊥平面D′EO.∴AC⊥OE.解析答案解后反思∴∠D′EO为二面角α－AC－β的平面角，∴∠D′EO＝60°.在Rt△D′OE中，解后反思解后反思从本题中可以进一步看出，折叠问题实质上是由平面到空间，再由空间到平面的一种转化.本题的解题过程中，反复对照、比较平面图和立体图，不仅仅是由平面到空间，由折叠前到折叠后，很多情况下，尤其是思路不通畅时，经常由空间回到平面，以平面中相应的关系解决空间的问题.返回当堂检测12345解析答案1.已知l⊥α，则过l与α垂直的平面(

)A.有1个 B.有2个C.有无数个 D.不存在解析由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个.C解析答案2.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是(

)A.m⊥n，m∥α，n∥β

B.m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC.m∥n，n⊥β，m⊂α

D.m∥n，m⊥α，n⊥βC解析∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m⊂α，由面面垂直的判定定理，∴α⊥β.1234512345解析答案A.相等 B.互补C.相等或互补 D.既不相等也不互补A解析画出图象易得到α与β相等或互补.解析答案123454.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如图所示)，图中互相垂直的平面有(

)A.1对

B.2对

C.3对

D.5对解析∵DA⊥AB，DA⊥PA，AB∩PA＝A，∴DA⊥平面PAB，同理BC⊥平面PAB，又易知AB⊥平面PAD，∴DC⊥平面PAD.∴平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面PAB，平面PBC⊥平面P