决策分析中的灰色决策

第六章灰色决策方法学习目的了解灰数、灰色关联、灰色聚类的概念、原理与计算；掌握灰色决策的基本概念以及几类常用的经典灰色决策分析方法和技巧，为以后继续学习灰色决策的理论与方法奠定一定的基础。本讲内容灰色决策相关入门知识灰色决策的经典理论与方法非经典灰色决策方法6.1灰色决策相关入门知识

6.1.1灰数及其白化

1.灰数灰色系统用灰数、灰色方程、灰色矩阵等来描述，其中灰数是灰色系统的基本“单元”或“细胞”。灰数：我们把只知道大概范围而不知其确切值的数称为灰色。在应用中，灰数实际上指在某一个区间或某个一般的数集内取值的不确定数。通常用“”表示灰数。

灰数有以下几类：（1）仅有下界的灰数（2）仅有上界的灰数（3）区间灰数（4）连续灰数与离散灰数（5）本征灰数与非本征灰数（6）黑数与白数(特殊的灰数)6.1灰色决策相关入门知识6.1灰色决策相关入门知识2.区间灰数的运算

设有灰数

用符号

表示与间的运算，若

，则

应为区间灰数，因此应有

且对任意的

，。法则1 设则的和记为，且。法则2设则。法则3设则

法则4设则

法则5设则

法则6设则即。6.1灰色决策相关入门知识法则7设定理6.1.1区间灰数不能相消，相约。定义6.1.1

设

为一灰数集，若对任意的

有

,,均属于

（商运算时要满足法则6的条件），则称

为一灰数域。定理6.1.2区间灰数全体构成灰数域。定理6.1.3

区间灰数全体构成灰色线性空间。6.1灰色决策相关入门知识

3.灰数的白化定义6.1.3形如的白化值称为等权白化。定义6.1.4在等权白化中，取而得到的白化值称为等权均值白化。当区间灰数取值的分布信息缺乏时，常采用等权均值白化。定义6.1.5设区间灰数，，,当时，6.1灰色决策相关入门知识我们称取数一致；当时，称取数非一致。定义6.1.6起点、终点确定的左升、右降连续函数称为典型白化权函数。6.1灰色决策相关入门知识6.1灰色决策相关入门知识6.1.2灰色关联度灰色关联分析的基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。曲线越接近，相应序列之间关联度就越大，反之就越小。灰色关联分析方法对样本量的多少和样本有无规律都同样适用，而且计算量小，十分方便，更不会出现量化结果与定性分析结果不符的情况。

6.1灰色决策相关入门知识

1.灰色关联因素和关联算子

对系统进行灰色关联分析，则需要对系统行为特征映射量和各有效因素进行适当处理，通过算子作用，使之化为数量级大体相近的无量纲数据，并将负相关因素转化为正相关因素。定义6.1.7设为系统因素，其在序号上的观测数据为则称为因素

的行为序列;当序号

分别为时刻、指标、6.1灰色决策相关入门知识象时，则依次称为因素的行为时间序列、行为指标对序列、行为横向序列。

无论是时间序列数据、指标序列数据还是横向序列数据，都可以用来作关联分析。定义6.1.8设

为因素

的行

为序列，

为序列算子，且其中1,若

6.1灰色决策相关入门知识则称

为初始化算子，

为

在初始化算子

下的像，简称初值像;2,若,则称为均值化算子，

为

在均值化算子

下的像，简称均值像;3,若则称为均值化算子，

为

在均值化算子

下的像，简称区间值像.6.1灰色决策相关入门知识4,若，则称为逆化算子，为行为序列在逆化算子下的像，简称逆化像。5,若，则称为倒数化算子，为行为序列在逆化算子下的像，简称逆化像。称

为灰色关联算子集，称(X,D)为灰色关联因子}5,4,3,2,1|{==iDDi6.1灰色决策相关入门知识

2.灰色关联公理和灰色关联度定义6.1.17设

为系统特征序列，且

为相关因素序列。给定实数

，若实数

满足规范性,整体性,偶对对称性,接近性,则称

为

与

的灰色关联度，

为

与

在

点的关联系数，并称四个条件为灰色关联四公理。定理6.1.5设系统行为序列，，对于,令6.1灰色决策相关入门知识

则满足灰色关联四公理，其中称为分辨系数。称为与

的灰色关联度。灰色关联度的计算步骤如下：步骤1求各序列的初值像（或均值像）。令步骤2求差序列。记

6.1灰色决策相关入门知识6.1灰色决策相关入门知识步骤3求两极最大差与最小差。记步骤4求关联系数步骤5计算关联度6.1灰色决策相关入门知识

3.广义灰色关联度（1）灰色绝对关联度命题6.1.5设系统行为序列，记折线

为

，令则当

为增长序列时，

；当

为衰减序列时，

；当

为振荡序列时，

符号不定。6.1灰色决策相关入门知识定义6.1.18设系统行为序列

，

为序列算子,且

,其中,,则称

为始点零化算子，

为

的始点零化像，记为命题6.1.6设系统行为序列,

的始点零化像分别为

,,令则：当

恒在

上方，

；

当

恒在

下方，

；

当

与

相交，

的符号不定。定义6.1.19称序列各个观测数据间时距之和为长度。6.1灰色决策相关入门知识6.1灰色决策相关入门知识定义6.1.20设序列与长度相同，如命题6.1.5中所示，如命题6.1.6中所示，则称为与的灰色绝对关联度，简称绝对关联度。定理6.1.6定义6.1.20给出的灰色绝对关联度满足灰色关联公理中规范性、偶对对称性与接近性，但不满足整体性。6.1灰色决策相关入门知识命题6.1.7

设序列

与

的长度相同，令

，

。其中，

为常数，若

与

的灰色绝对关联度为

，则。

定义6.1.21

若序列

各对相邻观测数据间时距相同,则称

为等时距序列。6.1灰色决策相关入门知识引理6.1.1设为等时距序列，若其时距，则时间轴,可将化为1-时距序列。引理6.1.2设与的长度相同，且皆为1-时距序列，而，分别为与的始点零化像，则，6.1灰色决策相关入门知识定理6.1.8设序列和长度相同，当它们时距不同或至少有一个为非等时距序列时，若通过均值生成填补相映空穴使之化成时距相同的等时距序列，则此时灰色绝对关联度不变。定理6.1.9灰色绝对关联度具有下列性质：①；②只与和的几何形状有关，而与其空间相对位置无关，平移不改变绝对关联度的值；6.1灰色决策相关入门知识③任何两个序列都不是绝对无关的,即恒不为零；④与几何上相似程度越大，越大；⑤与平行，或围绕摆动，且位于之上部分的面积与位于之下部分的面积相等时，

=1；⑥当或中任一观测数据变化时，将随之变化；6.1灰色决策相关入门知识⑦与长度变化，亦变；⑧

;⑨

。（2）灰色相对关联度定义6.1.22设序列，长度相同，且初值皆不等于零，，分别为，的初值像，则称与的灰色绝对关联度为与的灰色相对关联度,简称为相对关联度，记为。6.1灰色决策相关入门知识

相对关联度表征了序列

与

相对于始点的变化速率之间的关系，

与

的变化速率越接近，

越大，反之就越小。定理6.1.10灰色相对关联度具有下列性质：①，⑥，⑦，⑧，⑨与灰色绝对关联度对应性质类似。

②只与序列

和

的相对于始点的变化率有关,而与各观测值的大小无关，或者说，数乘不改变相6.1灰色决策相关入门知识对关联度的值；③

任何两个序列的变化速率都不是毫无联系的，即

恒不为零；④与相对于始点的变化速率越趋于一致，越大；⑤与

相对于始点的变化速率相同,即；或与的初值像的始点零化像，满足：围绕摆动，且位于之上的面积与位于6.1灰色决策相关入门知识之下部分的面积相等时，=1；（3）灰色综合关联度定义6.1.23设序列，长度相同,且初值不等于零,

和分别为与的灰色绝对关联度和灰色相对关联度，，则称为与的灰色综合关联度，简称综合关联度。6.1灰色决策相关入门知识

6.1.3灰色聚类灰色聚类是根据灰色关联矩阵或灰数的白化权函数将一些观测指标或观测对象划分成可定义类别的方法。按聚类对象划分，灰色聚类可分为灰色关联聚类和灰色白化权函数聚类。

1.灰色关联聚类设有个观测对象，每个对象观测个特征数据，得到序列如下：6.1灰色决策相关入门知识

，…，对所有的，计算出与的灰色绝对关联度，得上三角矩阵如下：其中，，。6.1灰色决策相关入门知识定义6.1.24

上述矩阵称为特征变量关联矩阵。取临界值

，一般要求

>0.5,当

时，则视

与

为同类特征.定义6.1.25

特征变量

，

，…，

在临界值r下的分类称为特征变量的r灰色关联聚类。r根据实际问题的需要确定,r越接近于1,分类越细;r越小，分类越粗。

2.灰色变权聚类定义6.1.26设有

个聚类对象，

个聚类指标，

个不同灰类，根据第

个对象关于

指标的观测值

将第

个对象归入第

个灰类，称为灰色聚类。定义6.1.27

将n个对象关于指标j的取值相应地分为s个灰类，我们称之为

j指标子类。6.1灰色决策相关入门知识定义6.1.28

设j指标k子类的白化权函数记为

，则称

为

的转折点。典型的白化权函数记为

.定义6.1.29

若白化权函数

无第一和第二个转折点

,则称

为下限测度白化权函数，记为

.若白化权函数

第二和第三转折点

，

重合,6.1灰色决策相关入门知识则称为适中测度白化权函数，记为。若白化权函数无第三和第四转折点，，则称为上限测度白化权函数，记为。定义6.1.30对于典型白化权函数,令，对于下限测度白化权函数,令,对于适中测度6.1灰色决策相关入门知识和上限测度白化权函数，令；则称为j指标k

子类临界值。定义6.1.31

设

为

j指标

k子类临界值，则称

为

j指标

k子类的权。定义6.1.32设

为对象i关于指标

j的观测值，

为

j指标

k子类白化权函数，

为

j指标

k子类的权,则称6.1灰色决策相关入门知识6.1灰色决策相关入门知识为对象

i属于

k灰类的灰色变权聚类系数。定义6.1.33①称为对象

i的聚类系数向量。②称为聚类系数矩阵。定义6.1.34设，则称对象i

属于灰类。6.1灰色决策相关入门知识灰色变权聚类适用于指标的意义、量纲皆相同的情形，当聚类指标的意义、量纲不同且不同指标的观测值在数量上悬殊较大时，不宜采用灰色变权聚类。

3.灰色定权聚类当聚类指标的意义、量纲不同，且在数量上悬殊较大时，采用灰色变权聚类可能导致某些指标参与聚类的作用微弱。解决的途径有两种：6.1灰色决策相关入门知识一是先采用初值化算子或均值化算子将各个指标样本值化为无量纲数据，然后进行聚类。这种方式对所有聚类指标一视同仁，不能反映不同指标在聚类过程中作用的差异性。二是对各聚类指标事先赋权。本节主要讨论第二种聚类方法。6.1灰色决策相关入门知识定义6.1.35

设

为对象i关于指标j的观测值，

为j指标k子类白化权函数。若j指标k子类的权与k无关，即对任意的

，总有，则可将的上标k略去，记为

，并称为对象i属于k灰类的灰色定权聚类系数。若则上式为灰色等权聚类系数。6.1灰色决策相关入门知识灰色定权聚类的计算步骤如下：

步骤1给出j指标k子类白化权函数

。

步骤2确定各指标的聚类权

。

步骤3从第一步和第二步得出的白化权函数

，聚类权

以及对象i关于j指标的观测值

，计算出灰色定权聚类系数

。步骤4若

，则断定对象i属于灰类

。

6.2灰色决策经典理论与方法

6.2.1灰色决策基本概念

决策的本质含义就是“做出决定”或“决定对策”。决策活动不仅是各类管理活动的重要组成部分而且贯穿于每个人的工作、学习和生活过程的始终。

灰色决策是在决策模型中含灰元或一般决策模型与灰色模型相结合的情况下进行的决策。在以下讨论中，我们将需要研究、解决的问题或需要处理的事物以及一个系统行为的现状等统称为事件。事件是我们进行决策的起点。6.2灰色决策经典理论与方法

定义6.2.2某一研究范

围内事件的全体称为该研究范围事件内的事件集，记为

,其中

为第i个事件，相应的所有可能的对策全体称为对策集，记为，其中

为第j种对策。定义6.2.3事件集和对策集的笛卡尔积称为局势集，记为。对任意的，称为局势，记作6.2灰色决策经典理论与方法6.2.2灰靶决策

定义6.2.4设为

局势集，

为局势

在k目标下的效果值,R为实数集,则称：

为在目标下的效果映射。6.2灰色决策经典理论与方法

定义6.2.5若

,则对策

与

关于事件

在k目标下等价，记作，称集合

为k目标下关于事件

对策

的效果等价类。设k目标是效果值越大越好的目标，

，则称k目标下关于事件

对策

优于

，记作

，称集合

为k目标下关于事件

对策

的优势类。类似地，可以定义效果值适中为好，或越小越好情况下的对策优势类。6.2灰色决策经典理论与方法定义6.2.6

若，则称事件

与

关于对策

在k目标下等价,记作

,称集合

为k目标下关于对策

的事件

的效果等价类。设k目标是效果值越大越好的目标，

,则称k目标下关于对策

的事件

优于事件

,记作

,

称集合

为k目标下关于对策

的事件

的优势类。

类似地，可以定义效果值适中为好，或越小越好情况下的事件优势类。6.2灰色决策经典理论与方法

定义6.2.7若，则称局势

在k目标下等价于局势

，记作

，称集合

为k目标下局势

的效果等价类。设k目标是效果值越大越好的目标，

，则称局势

在k目标下优于局势

，记作

，称集合

为k目标下局势

的效果优势类。类似地，可以定义效果值适中为好，或越小越好情况下的局势效果优势类。6.2灰色决策经典理论与方法

命题6.2.1设

，为k目标下的效果集，

为k目标下的局势效果等价类的集合，则映射

：是1－1到上的。6.2灰色决策经典理论与方法

定义6.2.8设

为k目标下的局势效果的上、下临界值，则称

为k目标下的一维决策灰靶，并称

为k目标下的满意效果,称相应的

在k目标下的可取局势，

为k目标下的关于事件

的可取对策。6.2灰色决策经典理论与方法命题6.2.2设

为局势

在k目标下的效果值，

,即

为k目标下的可取局势，则对任意的

，s亦为可取局势，即当

可取时，其效果优势类中的局势皆为可取局势。

以上是单目标的情况，类似地，可以讨论多目标局势的决策灰靶6.2灰色决策经典理论与方法定义6.2.9设

为目标1的局势效果临界值，

为目标2的局势效果临界值，则称为二维决策灰靶.

若局势

的效果向量

,则称

为目标1和目标2下的可取局势，

为事件

在目标1，2下的可取对策。6.2灰色决策经典理论与方法

决策灰靶实质上相对优化意义下满意效果所在的区域.在许多场合下,要取得绝对的最优是不可能的，因而人们常常退而求其次，要求有个满意的结果就行了。当然，根据需要，可将决策灰靶逐步收缩，最后退化为一点，即是最优效果，与之对应的局势就是最优局势，相应的对策即为最优对策。6.2灰色决策经典理论与方法定义6.2.11称为以

为靶心，以R为半径的S维球形灰靶，称

为最优效果向量。定义6.2.12设

,称为向量

的靶心距。靶心距的数值反应了局势效果向量的优劣.6.2灰色决策经典理论与方法定义6.2.13设

,

为不同的局势；

;

分别为

与

的效果向量。若

,则称局势

优于

，记作

当式中等号成立时，亦称

与

等价，记作

。定义6.2.14若对

与

恒有

，则称最优局势不存在，或称事件无最优对策。定义6.2.15若最优局势不存在，但存在h,l,使任意i=1，2…n与j=1,2…m,都有

,即对任意的

有

,则称

为次优局势，并称

为次优事件，

为次优对策。6.2灰色决策经典理论与方法定理6.2.1设

为局势集，

为球形灰靶，则S在“优于”关系下构成有序集。定理6.2.2局势集

中必有次优局势6.2灰色决策经典理论与方法6.2.3实数型灰色关联决策

局势效果向量的靶心距是衡量局势优势的一个标准，而局势效果向量与最优效果向量的关联度是评价局势优劣的一个准则。定义6.2.16设

为局势集，

为最优效果向量。若

所对应的局势

，则称

为理想最优效果向量。相应地，称

为理想最优局势。6.2灰色决策经典理论与方法命题6.2.3设

为局势集，局势

对应的效果向量为

;1,当k目标效果值越大越好时，取

；2,当k目标效果值接近某一适中值

为好时,取

3,当k目标效果值越小越好时，取

则

为理想最优效果向量。6.2灰色决策经典理论与方法命题6.2.4设

为局势集，局势

对应的效果向量

为理想最优效果向量，

为

与

的灰色绝对关联度，若

满足对任意

且

和任意

且

，恒有

，则

为次优效果向量，

为次优局势。6.2灰色决策经典理论与方法灰色关联决策可按下列步骤进行： 步骤1确定事件集A和对策集B，构成局势集S。 步骤2确定决策目标1,2,…,s。 步骤3求不同局势

在k目标下的效果

步骤4求k目标下局势效果序列

的均值像

步骤5由第四步结果写出局势

的效果向量 步骤6求理想最优效果向量 步骤7计算

与

的灰色绝对关联度

步骤8由

得次优效果向量和次优局势6.2灰色决策经典理论与方法6.2.4灰色发展决策

灰色发展决策根据局势的发展趋势或未来行为作决定.定义6.2.17设

为事件集，

为对策集，

为局势集，则称

为局势

在目标下的局势效果时间序列。

在此之前，我们讨论的都是某一固定时刻的静止的局势。在定义6.2.17中，则是随着时间的推移，局势效果不断变化的情形6.2灰色决策经典理论与方法命题6.2.5

设局势

在k目标下的局势效果时间序列为

,为

之GM(1,1)模型参数的最小二乘估计，则

之GM(1,1)时间响应累减还原式为6.2灰色决策经典理论与方法定义6.2.18设k目标下对应于局势

的局势效果时间序列

之GM(1,1)时间响应累减还原式为

当目标为效果值越大越好的目标时，若 1

，则称

为k目标下的发展系数最优局势。 2，

,则称

为k目标下的预测最优局势。

6.2灰色决策经典理论与方法定理6.2.3设k目标为效果值越大越好的目标，

为k目标下的发展系数最优局势，即

而

为

所对应的局势效果预测值,则必存在

>0使

=

即在充分远的将来，

为预测最优局势。

对于效果值越小越好或适中为好的目标,可以证明定理6.2.3的结论同样成立。6.2灰色决策经典理论与方法

6.2.5灰色聚类决策定义6.2.20设有n个决策对象，m个决策指标，s个不同的灰类，决策对象i关于决策指标j的量化评价值为

为决策指标j关于k灰类的白化权函数，

为决策指标j的聚类权，

，则称

为决策对象i属于k灰类的决策系数。6.2灰色决策经典理论与方法定义6.2.21称

为决策对象的决策系数向量；称

为决策系数矩阵。定义6.2.22

若

,则称决策对象i属于灰类

。

在实际问题中，常常会遇到多个决策对象属于同一决策灰类，而该灰类所能容纳的决策对象个数又有一定的限额的情况。这时我们需要对这些决策对象进行排序，以便确定它们的取舍。6.2灰色决策经典理论与方法定义6.2.23称

为决策对象i属于k灰类的单位化决

策系数。定义6.2.24称

为决策对象i的单位决策系数向量；称

为单位决策系数矩阵。6.2灰色决策经典理论与方法命题6.2.6对决策对象i按决策系数

和单位决策系数

聚类，两者所得结果是一致的。

即按决策系数与按单位决策系数进行聚类，对决策对象来说，其所在的灰类不变。

在同一灰类中，对于已经过单位化的单位决策系数向量，其各分量大小的差异会影响决策对象的排序.造成这种差异的原因是我们在对单位决策系数进行比较时，没有把单位决策系数看成一个整体来考虑。6.2灰色决策经典理论与方法定义6.2.25设有s不同的决策灰类，令

其中

分别为第一灰类、第二灰类，…，第s灰类的调整系数。6.2灰色决策经典理论与方法定义6.2.26

设有n个决策对象，s个不同灰类，且对象i属于灰类k,则称

为对象i的综合决策测度.定义6.2.27设

，

,若

,则称在

灰类中，决策对象

优于决策对象

。定义6.2.28设

，

,…，

即对象

均属于

灰类，且

，

若决策灰类

容纳的对象个数为

，则称对象

为灰类的取入对象，其余的对象为

灰类的候选对象。6.2灰色决策经典理论与方法灰色聚类决策可按以下步聚进行：步骤1按照综合评价要求划分灰类数s，将各指标的取值范围也相应地划分为s个灰类，确定j指标k子类白化权函数步骤2确定每个指标的聚类权步骤3计算对象i属于灰类k的决策系数步骤4计算对象i属于灰类k的单位决策系数步骤5判定对象i属于

灰类；步骤6计算对象i属于灰类k的综合决策测度步骤7按综合决策测度对同属于灰类k的所有对象进行排序。6.2灰色决策经典理论与方法6.2.6单目标化局势决策定义6.2.29

设

为事件集，

为对策集，为局势集,

为局势

∈S在目标k下的效果样本值，则

称为上限效果测度。6.2灰色决策经典理论与方法

称为下限效果测度。

称为适中效果测度，其中

为目标k下的指定效果适中值6.2灰色决策经典理论与方法

上限效果测度反映效果样本值与最大效果样本值的偏离程度，下限效果测度反映效果样本值与最小效果样本值的偏离程度，适中效果测度反映效果样本值与指定的效果适中值的偏离程度。在单目标化局势决策中，对于希望效果样本值“越大越好”、“越多越好”这一类的目标，可采用上限效果测度；对于希望效果样本值“越小越好”、“越少越好”这一类的目，可采用下限效果测度；对于希望效果样本值“既不太大又不太小”、“既不太多又不太少”这一类的目标，可采用适中效果测度。6.2灰色决策经典理论与方法命题6.2.7效果测度

满足以下条件:１，无量纲

；２，；３，效果越理想,

越大。定义6.2.30称

为局势集S在k目标下的一致效果测度矩阵。定义6.2.31设

，称

为局势

的一致效果测度向量。6.2灰色决策经典理论与方法定义6.2.32设

为k目标的决策权，

,则

称

为局势

的综合效果测度,仍记为

定义6.2.33称

为综合效果测度矩阵。定义6.2.34若

,则称

为事件

的最优对策;

若

,则称

为与对策

相对应的最优事件；

若

,则称

为最优局势。6.2灰色决策经典理论与方法单目标化局势决策可按下列步骤进行： 步骤1根据事件集和对策集构造局势集； 步骤2确定决策目标； 步骤3对各目标，求相应的效果样本矩阵； 步骤4求k目标下一致效果测度矩阵； 步骤5确定各目标的决策权； 步骤6计算出综合效果测度矩阵；

步骤7确定最优局势6.3非经典灰色决策方法

6.3.1灰色区间关联决策方法经典灰色关联决策中，只考虑各方案的效果评价向量与理想最优方案效果评价向量之间的关联度，在很多情况下，不能使已有信息得到充分利用.事实上，在一些决策问题中，某个方案最接近理想最优方案，但不一定同时远离临界最优方案。因此，有时需要考虑方案远离临界最优方案的程度或同时考虑这两方面的因素。6.3非经典灰色决策方法另一方面，在经典灰色关联决策问题中，各方案的效果评价值均为清晰数（即白数），本质上没有涉及到灰数。基于以上两方面的原因，本节在6.2节的基础上,对灰色关联决策方法进行了改进与拓展。决策者可按照自己的偏好和决策问题的具体情况，选择适当的关联决策方法.6.3非经典灰色决策方法灰色关联决策的基本概念与原理：某一研究范围内的备选方案全体称为决策集合，记为

;目标因素集合记为。方案

在目标

下的效果评价值为非负区间灰数

，方案

的效果评价向量记为，为了消除为了消除量纲和增加可比性，6.3非经典灰色决策方法用灰色极差变换对效益型目标值，

对成本型目标值，

其中，，，j=1,2,…,m.对（i=1,2,…,n；j=1,2,…,m）进行标准化处理.6.3非经典灰色决策方法定义6.3.1设标准化后的各方案效果评价向量为其中均为[0,1]上的非负区间灰数.记，，，（j=1,2,…,m），则称m维非负区间灰数向量，其中，，为理想最优方案效果评价向量；称m维非负区间灰数6.3非经典灰色决策方法向量，其中，为临界最优方案效果评价向量。灰色关联决策就是利用灰色关联度对各方案的标准化效果评价向量进行度量后，给出方案的优劣排序,找出最优方案。通常可用以下3种关联决策方法：（1）最大关联度方法取与理想最优方案效果评价向量灰关联度最大的效果评价向量为最优效果评价向量,对应的方案为最优6.3非经典灰色决策方法方案.这种决策方法对应于决策者对决策环境持乐观态度，是风险喜好者.（2）最小关联度方法取与临界最优方案效果评价向量灰关联度最小的效果评价向量为最优效果评价向量，对应的方案为最优方案。这种决策方法对应于决策者对决策环境持保守态度，是风险厌恶者。6.3非经典灰色决策方法（3）综合关联度方法取与理想最优方案效果评价向量灰关联度最大，并且与临界最优方案效果评价向量灰关联度最小的效果评价向量为最优效果评价向量，对应的方案为最优方案.这种决策方法同时考虑了最大关联度方法和最小关联度方法的优势.可以根据决策问题的具体情况和决策者的偏好选择不同的综合关联函数.6.3非经典灰色决策方法定义6.3.2设方案Ai的效果评价向量关于理想最优方案效果评价向量的灰关联度为，关于临界最优方案效果评价向量的灰关联度为

,两类灰关联度的权重为，，则称为效果评价向量的灰色线性综合关联度。并称6.3非经典灰色决策方法为效果评价向量的灰色乘积综合关联度。定义6.3.3（灰色区间关联度）设标准化后的各方案效果评价向量及理想最优方案效果评价向量和临界最优方案效果评价向量为定义6.3.1中所示，目标权重向量为w=(w1,w2,…,wm)，则称6.3非经典灰色决策方法为子因素关于理想母因素的灰色区间关联系数（i=1,2,…,n；j=1,2,…,m）。并称（i=1,2,…,n）为方案Ai的效果评价向量关于理想最优方案的效果评价向量的灰色区间关联度，并简称为方案Ai关于理想最优方案的灰色区间关联度，称6.3非经典灰色决策方法为子因素关于临界母因素的灰色区间关联系数（i=1,2,…,n；j=1,2,…,m）。并称为方案Ai关于临界最优方案的灰色区间关联度.其中为分辨系数或比较环境调节因子。6.3非经典灰色决策方法经典灰色关联度是灰色区间关联度的特例。定义6.3.4（灰色区间相对关联度）设标准化后的各方案效果评价向量及理想最优方案效果评价向量和临界最优方案效果评价向量由定义6.3.1给出，目标权重向量为w=(w1,w2,…,wm)，记

,,,

（j=1,2,…,m）,则称6.3非经典灰色决策方法为子因素关于理想母因素的灰色区间相对关联系数，其中当与时，上式中对应项取值为1（i=1,2,…,n；j=1,2,…,m）,并称为方案Ai关于理想最优方案的灰色区间相对关联度.称6.3非经典灰色决策方法为子因素关于临界母因素的灰色区间相对关联系数，其中当与时，上式中对应项取值为1（i=1,2,…,n；j=1,2,…,m），并称为方案Ai关于临界最优方案的灰色区间相对关联度。6.3非经典灰色决策方法

1.最大关联度方法最大关联度决策算法如下：(1)利用灰色极差变换公式对非负区间灰数评价向量进行标准化处理,得到各方案标准化的效果评价向量式;(2)计算决策问题的理想最优方案效果评价向量；(3)利用灰色区间关联系数公式（或灰色区间相对关联系数公式）计算出各方案的灰色关联度判断向量式；6.3非经典灰色决策方法(4)利用加权关联度公式计算各方案与理想最优方案之间的灰色区间关联度（或灰色区间相对关联度）（i=1,2,…,n）；(5)按灰关联度的值从大到小的顺序给出方案优劣排序，其中关联度的最大值对应的方案为最优方案.6.3非经典灰色决策方法

2.最小关联度方法在上述最大关联度方法中，将理想最优方案效果评价向量换为临界最优方案效果评价向量式，利用公式计算各方案关于临界最优方案的灰色关联系数向量（i=1,2,…,n），计算各方案与临界方案之间的灰色关联度（i=1,2,…,n）,按的值从小到大的顺序给出方案优劣排序，其中关联度的最小值对应的方案为最优方案。6.3非经典灰色决策方法

3.综合关联度方法(1)与最大关联度决策算法的步骤（1）相同；(2)计算决策问题的理想最优方案效果评价向量及临界最优方案效果评价向量；(3)利用灰色区间关联系数公式（或灰色区间相对关联系数公式），分别计算出各方案关于理想最优方案的灰色关联系数向量式及关于临界最优方案的灰色关联系数向量式；6.3非经典灰色决策方法(4)利用加权关联度公式，分别计算和；(5)计算各方案的灰色综合关联度；(6)按灰色综合关联度的值从大到小的顺序给出方案优劣排序,其中最大值对应的方案为最优方案。6.3非经典灰色决策方法

6.3.2方案目标值有空缺时的灰色关联决策算法

1.问题设方案集为A={A1,A2,…,An},目标集为S={S1,S2,…,Sm},方案Ai在目标Sj

下的效果评价值为非负区间灰数，其中(k=1,2,…,q)为空缺，并且用表示，即在个效果评价值中有q个空缺。6.3非经典灰色决策方法

2.空缺值的几种先验估计(1)设为空缺，但决策者仅知道，在目标Sj下，方案Ai的允许取值界限为，在上随机取值的概率分布密度为，由极大熵分布估计原理可知，平均分布密度函数

使信息熵达到最大值。此时，方案Ai在目标Sj

下的量化评估值（空缺）用区间灰数来填补是最合理的。(2)空缺的随机取值范围是

,期望值为,6.3非经典灰色决策方法由极大熵分布估计原理可推知，在

上取值的最大可能分布为指数分布,即密度函数是在

上随机取值的最合理分布.(3)空缺的随机取值范围是(－∞,+∞)，期望值为,方差为,由极大熵分布估计原理可推得,在(－∞,+∞)上随机取值的最大可能分布为正态分布.即密度函数是在(－∞,+∞)上随机取值的最合理分布.6.3非经典灰色决策方法

3.填补空缺的满意度定义6.3.5设属于空缺情况(1),记,则对任意,称为用区间灰数填补空缺时的满意度;设属于空缺情况(2)，则对任意

，则称为用区间灰数填补空缺时的满意度；设属于空缺情况(3)，则对任意，称6.3非经典灰色决策方法为用区间灰数填补空缺时的满意度。定义6.3.6记，其中q为空缺目标评价值的总数，，其中为用某一区间灰数填补空缺时的满意度（k=1,2,…,q），则用定义6.3.5中的方法填补全部空缺后，得到各方案完备的目标评价向量，对此进行灰色关联决策，称为在可信度，满意度F下的灰色关联决策。6.3非经典灰色决策方法

4.算法步骤1根据问题的已知条件，确定方案目标量化值空缺的数目及空缺的类型；步骤2由问题的具体情况给定满意度，确定填补各个空缺的区间灰数，得到各方案完备的目标评价向量；步骤3利用灰色极差变换式计算各方案的规范化目标评价向量式、理想方案式和临界方案式；步骤4利用灰色区间关联系数公式分别计算各方案关6.3非经典灰色决策方法于理想最优方案的灰色区间关联系数向量式和关于临界最优方案的灰色区间关联系数向量式；步骤5分别计算各方案关于理想最优方案的灰色区间关联度及关于临界最优方案的灰色区间关联度；并计算两类关联度的权重；步骤6计算各方案的灰色综合关联度，并依据综合关联度的值由大到小的顺序给出方案的优劣排序，灰色综合关联度最大者对应的方案为最优方案。6.3非经典灰色决策方法

6.3.3灰色决策问题的特征向量方法

1.基本概念引理6.3.1设A为n阶正矩阵；记，其中是A的n个特征根，则下述结论成立：必为A的特征根,且其对应的特征向量为正向量；对矩阵A的任意其它特征根恒有；为