数电课件第一、二章 逻辑代数基础

2.晶体管时代3.集成电路时代集成电路：20世纪60年代发展起来的一种新型器件，把众多晶体管、电阻、电容及连线制作在一块半导体芯片（如：硅片）上，做成具有特定功能的独立电子线路。外型一般用金属圆壳或双列直插结构。集成电路具有性能好，可靠性高，体积小，耗电少，成本低等优点。1.电子管时代数字电子技术的发展与应用集成度：每片集成电路中的门电路或等效门电路的数量。SSI：1～

10门；MSI：10～

100门；LSI：1～

1万门；VLSI：1～

10万门以上；4.大规模集成电路（LSI)和超大规模集成电路(VLSI)时代※1971年4位CPU(4004)出现，含2300个晶体管；※1997年PentiumⅡCPU出现，含750万个晶体管；※0.35μm0.25μm0.18μm0.13μmPentium42GHz本课程的研究内容

1.逻辑代数的基本理论；

2.常用数字集成电路的结构、工作原理、逻辑功能和使用方法；3.数字电路的分析、设计方法；4.脉冲信号的产生与应用5.ROM/可编程逻辑电路基础3.独立、按时完成作业，主动质疑；六、学习方法2.端正学习态度，培养自信心和兴趣；4.课前预习、独立思考，提高自学能力；

5.课后多查阅参考书。

1.注重逻辑功能和使用方法；掌握分析设计方法；

第一章逻辑代数基础

1.1概述

1.2逻辑代数中的三种基本运算

1.3逻辑代数的基本公式和常用公式

1.4逻辑代数的基本定理

1.5逻辑函数及其表示方法

1.6逻辑函数化简

1.7小结1.1概述数字量与模拟量数制与码制算术运算和逻辑运算数制码制十进制二进制十六进制数制转换BCD码反码补码开始例例.1数字量与模拟量模拟信号：在时间上和数值上连续的信号。对模 拟信号进行传输、处理的电子线路称为模拟 电路。数字信号：在时间上和数值上不连续的（即离散 的）信号。对数字信号进行传输、处理的电 子线路称为数字电路。u数字信号波形tu模拟信号波形t一、数字电路的特点1）工作信号是二进制的数字信号，在时间上和数值上是离散的（不连续），反映在电路上就是低电平和高电平两种状态（即0和1两个逻辑值）2）在数字电路中，研究的主要问题是电路的逻辑功能，即输入信号的状态和输出信号的状态之间的关系。3）对组成数字电路的元器件的精度要求不高，只要在工作时能够可靠地区分0和1两种状态即可。二、数字电路的分类1）按集成度分类：数字电路可分为小规模（SSI，每片数十器件）、中规模（MSI，每片数百器件）、大规模（LSI，每片数千器件）和超大规模（VLSI，每片器件数目大于1万）数字集成电路。集成电路从应用的角度又可分为通用型和专用型两大类型。2）按所用器件制作工艺的不同：数字电路可分为双极型（TTL型）和单极型（MOS型）两类3）按照电路的结构和工作原理的不同：数字电路可分为组合逻辑电路和时序逻辑电路两类。组合逻辑电路没有记忆功能，其输出信号只与当时的输入信号有关，而与电路以前的状态无关。时序逻辑电路具有记忆功能，其输出信号不仅和当时的输入信号有关，而且与电路以前的状态有关。.2数制与码制一、数制 任意进制数都可以表示成展开式：数码基数位权

i:位数…3210.-1–2–3…进位制：表示数时，仅用一位数码往往不够用，必须用进位计数的方法组成多位数码。多位数码每一位的构成以及从低位到高位的进位规则称为进位计数制，简称进位制。1.十进制数码为：0～9；基数是10。运算规律：逢十进一，即：9＋1＝10。十进制数的权展开式：同样的数码在不同的数位上代表的数值不同。任意一个十进制数都可以表示为各个数位上的数码与其对应的权的乘积之和，称权展开式。(5555)10＝5×103＋5×102＋5×101＋5×100又如：(209.04)10＝2×102

＋0×101＋9×100＋0×10－1＋4×10－22、二进制数码为：0、1；基数是2。运算规律：逢二进一，即：1＋1＝10。二进制数的权展开式：如：(101.01)2＝1×22

＋0×21＋1×20＋0×2－1＋1×2－2

＝(5.25)10各数位的权是２的幂二进制数只有0和1两个数码，它的每一位都可以用电子元件来实现，且运算规则简单，相应的运算电路也容易实现。记住！3、十六进制数码为：0～9、A～F；基数是16。运算规律：逢十六进一，即：F＋1＝10。十六进制数的权展开式：如：(D8.A)2＝13×161＋8×160＋10×16－1＝(216.625)10各数位的权是16的幂其他还有：十二进制，八进制等等由权展开式很容易将一个N进制数转换为十进制数。记住！4.数制的转换＝(1D4.6)16111010100.0110000=101011110100.01110110(AF4.76)16二进制数与十六进制数的相互转换，按照每4位二进制数对应于一位十六进制数进行转换。2、十进制数转换为二进制数采用的方法—基数连除、连乘法原理：将整数部分和小数部分分别进行转换。整数部分采用基数连除法，小数部分采用基数连乘法。转换后再合并。1、二进制数与十六进制数的相互转换整数部分采用基数连除法，先得到的余数为低位，后得到的余数为高位。小数部分采用基数连乘法，先得到的整数为高位，后得到的整数为低位。所以：(44.375)10＝(101100.011)2采用基数连除、连乘法，可将十进制数转换为任意的N进制数。二、码制一串数字和字母组成的代码，用以表示特定的事物。而组成这些代码的方法或规则称为码制。如：学号，电话号码，运动员号码，IP地址特别的：用四位二进制数码（0或1）表示一位十进制数码（0，1，2…9）的编码称为二-十进制代码，简称BCD码BCD码有很多种，8421BCD码是我们经常使用的一种。几种常见的BCD码十进制数码8421码余3码2421码5211码余3循环码012345678900000001001000110100010101100111100010010011010001010110011110001001101010111100000000010010001101001011110011011110111100000001010001010111100010011100110111110010011001110101010011001101111111101010位权8421BCD码一定为四位码

有权码的名称通常用四个码位的位权来命名。如表中的8421BCD､5421BCD､2421BCD都是有权码。各种有权BCD码所表示的十进制数D可以由按权展开式求得。例1：[0111]8421BCD=0×8+1×4+1×2+1×1=（7）10

[1100]5421BCD=1×5+1×4+0×2+0×1=（9）10[1101]2421BCD=1×2+1×4+0×2+1×1=（7）10例如：8421BCD码b3b2b1b0所表示的十进制数码为：

D=8b3+4b2+2b1+1b0

。8421BCD码代码间应有间隔例：(380)10=(?)8421BCD解：(380)10=(001110000000)8421BCD注意：用BCD码表示的十进制数不是二进制数，也不能直接转化为二进制数。如要转换，应先将其转换成十进制数，再由十进制数转换成二进制数。多位十进制数的表示例1：(011000100000)8421BCD=

(620)10例2：(00010010)8421BCD=(?)2解：(00010010)8421BCD=(12)10=(1100)2数制与BCD码间的转换.3算术运算和逻辑运算加减乘除反码补码:

正数的补码是其本身;

负数的补码是反码加一.2.2逻辑函数中的三种基本运算开始与、或、非与、或、非的基本组合符号真值表表达式与非或非与或非异或同或用0和1来描述逻辑关系的图表.1三种基本逻辑运算1.“与”与逻辑的定义：仅当决定事件（Y）发生的所有条件（A，B，C，…）均满足时，事件（Y）才能发生。表达式为：Ｙ＝ＡＢＣ…开关A，B串联控制灯泡Y两个开关必须同时接通，灯才亮。逻辑表达式为：Ｙ＝ＡＢ假设：开关接通记作1，断开记作0；灯亮记作1，灯灭记作0。可以作出如下表格来描述与逻辑关系：实现与逻辑的电路称为与门。与门的逻辑符号：Ｙ＝ＡＢ逻辑符号这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一列出来的表格叫做真值表。2.或或逻辑的定义：当决定事件（Y）发生的各种条件（A，B，C，…)中，只要有一个或多个条件具备，事件（Y）就发生。表达式为：开关A，B并联控制灯泡YＹ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋…Ｙ＝Ａ+Ｂ两个开关只要有一个接通，灯就会亮。逻辑表达式为：真值表逻辑符号实现或逻辑的电路称为或门。或门的逻辑符号：Y=A+B在同样的假设下:3.“非”非逻辑指的是逻辑的否定。当决定事件（Y）发生的条件（A）满足时，事件不发生；条件不满足，事件反而发生。表达式为：开关A控制灯泡Y实现非逻辑的电路称为非门。非门的逻辑符号：真值表逻辑符号.2与、或、非的基本组合1、与非运算：逻辑表达式为：2、或非运算：逻辑表达式为：3、异或运算：逻辑表达式为：AB

Y

00

01

10

11

0

1

1

0

真值表

4同或运算：AB

Y

00

01

10

11

1

0

0

1

真值表

Y=A⊙B5、与或非运算：逻辑表达式为：

2.3.1基本公式

2.3.2常用公式2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3逻辑代数的基本公式和常用公式基本公式序号公式序号公式101′

=0;0′=110

A=0111+A=121A=A120+A=A3AA=A13A+A=A4AA′=014A+A′=15AB=BA15A+B=B+A6A(BC)=(AB)C16A+(B+C)=(A+B)+C7A(B+C)=AB+AC17A+BC=(A+B)(A+C)8(AB)′=A′+B′18(A+B)′=A′B′9(A′)′=A公式（17）的证明（公式推演法）：证明公式17例公式（17）的证明（真值表法）：ABCBCA+BCA+BA+C（A+B）(A+C)0000000000100010010001000111111110001111101011111100111111111111常用公式序号公式21A+AB=A22A+A′B=A+B23AB+AB′=A24A(A+B)=A25AB+A′C+BC=AB+A′CAB＋A′C+BCD=AB+A′C26A(AB)′=AB′;A′(AB)′=A′2.4逻辑代数的基本定理开始代入定理反演定理对偶定理原变量与反变量的定义注意与区别代入规则代入规则：任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。已知等式，用函数Y=AC代替等式中的A，根据代入规则，等式仍然成立，即有：三变量反演律((AC)B)’=(AC)’+B’=A’+C’+B’例反演规则反演规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到的表达式就是函数Y的反函数Y’（或称补函数）。这个规则称为反演规则。单个变量取非作为一个整体称为该变量的反变量如:变量A的反变量是A’例对偶规则对偶规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，而与原变量反变量保持不变，则可得到的一个新的函数表达式Y＇，Y＇称为函Y的对偶函数。这个规则称为对偶规则。对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。与反演规则的区别例注意：在运用反演规则和对偶规则时，必须按照逻辑运算的优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最后非运算，否则容易出错。先乘除，后加减2.5逻辑函数及其表示方法转换规则开始逻辑函数逻辑函数的表示方法逻辑函数的两种标准形式真值表逻辑表达式逻辑图最小项和最大项积例定义性质表示方法例.1逻辑函数逻辑函数：如果对应于输入逻辑变量A、B、C、…的每一组确定值，输出逻辑变量Y就有唯一确定的值，则称Y是A、B、C、…的逻辑函数。记为：与普通代数不同的是，在逻辑代数中，不管是变量还是函数，其取值都只能是0或1，并且这里的0和1只表示两种不同的状态，没有数量的含义。任何一个具体的因果关系都可以用一个逻辑函数来表示。

若两个逻辑函数相等，则它们的真值表一定相同；反之，若两个函数的真值表完全相同，则这两个函数一定相等。.2逻辑函数的表示方法1、真值表真值表：是由变量的所有可能取值组合及其对应的函数值所构成的表格。真值表列写方法：每一个变量均有0、1两种取值，n个变量共有2n种不同的取值，将这2n种不同的取值按顺序（一般按二进制递增规律）排列起来，同时在相应位置上填入函数的值，便可得到逻辑函数的真值表。

当A=B=1、或者B=C=1时，函数Y=1；否则Y=0。例ABCDY2、逻辑表达式3、逻辑图逻辑图：是由表示逻辑运算的逻辑符号所构成的图形。ＡＢＢＣＹ＝ＡＢ＋ＢＣ逻辑表达式：是由逻辑变量和与、或、非3种运算符连接起来所构成的式子。4、逻辑函数表示方法之间的转换1)由真值表到逻辑图的转换把真值表Y=1项中的0看成对应变量的反变量；1看成对应变量的原变量；同一行相与，不同行相或Y有四个1表示有四个与项相或用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符。即可的得到逻辑图.2)由逻辑图到真值表的转换逻辑图表达式真值表设定中间变量；并写出相应的表达式YA’BC’AB’AC例填真值表进行必要的变形——与或式三项中有一项为1时Y一定为1算真值表.3逻辑函数的两种标准形式1、逻辑函数的最小项（1）最小项：如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。

3个变量A、B、C可组成8个最小项：（2）最小项的表示方法：通常用符号mi来表示最小项。下标i的确定：把最小项中的原变量记为1，反变量记为0，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标i。3个变量A、B、C的8个最小项可以分别表示为：（3）最小项的性质：①任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。③全部最小项的和必为1。②任意两个不同的最小项的乘积必为0。

变量全部最小项的真值表ABCm0m1m2m3m4m5m6m70000010100111001011101111000000001000000001000000001000000001000000001000000001000000001对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用公式A＋A’＝1和A(B+C)＝AB＋AC来配项展开成最小项表达式。(代数法)(4)逻辑函数的最小项表达式任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式注意要确定变量的顺序例如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。将真值表中函数值为0的那些最小项相加，便可得到反函数的最小项表达式。m1＝A'B'Cm5＝AB'Cm3＝A'BCm1＝A'BC'2.6逻辑函数化简开始公式化简卡诺图化简具有无关项的化简逻辑函数的卡诺图表示法化简规则无关项化简规则例例最简形式最简与或式二变量三变量四变量填图方法最小项法真值表法直填法例.1公式化简一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达式、与非-与非表达式、或非-或非表达式、与或非表达式5种表示形式。各种表达式之间可以相互转换:与或式→与非与非式与或式→或非或非式1、最简与或表达式逻辑函数化简的意义：逻辑表达式越简单，实现它的电路越简单，电路工作越稳定可靠。在最简与或表达式乘积项最少、并且每个乘积项中的变量也最少的与或表达式。最简与或表达式2、最简与非-与非表达式方法:在最简与或表达式的基础上两次取反;再用摩根定律去掉下面的非号:2.6.1公式化简方法：看书上例题自学

并项法 吸收法 配项法 小项法 小因子法反复应用基本公式和常用公式，消去多余的乘积项和多余的因子。例2.6.2卡诺图化简1、逻辑函数的卡诺图表示法相邻项 相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均相同，又称为逻辑相邻项。 卡诺图的特点是任意两个相邻的最小项在图中也是相邻的。即:几何位置相邻的两个最小项在逻辑上也是相邻的（只有一个变量不同）m3m2m1m00101AB二变量卡诺图：平面表格表示A=0或看成A’m0=A’B’m1=A’B注意顺序三变量卡诺图：圆柱面01001101ABCm2m3m1m0m6m7m5m410四项相邻四变量卡诺图：0100110001ABCDm2m3m1m0m6m7m5m4101110m14m15m13m12m10m11m9m8球面两个相邻最小项可以合并消去1个变量四个相邻最小项可以合并消去2个变量八个相邻最小项可以合并消去3个变量2、用卡诺图表示逻辑函数

（1）最小项法：把逻辑函数化成最小项和表达式：在卡诺图上那些与给定逻辑函数的最小项相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。0100110001ABCD0110110110111011000100例（2）真值表法把逻辑函数的真值表算出，按变量的取值填入卡诺图01001101ABC0010110110例0100110001ABCD1111110111011（3）直填法 先将函数变换为与或表达式（不必变换为最小项之和的形式），把原变量看成1，反变量看成0，根据与或式中如有一个与项为1，则函数值也为1的特点直填卡诺图。当A=0;D=0时，Y=1当B=0;C=1时，Y=1例3、卡诺图化简化简规则：

1）把逻辑函数用卡诺图表示；

2）对函数值为1的相邻项画圈： 按8、4、2、1的顺序画，圈越大越好； 每个圈尽量与其它圈不交叉； 有交叉时，至少应有一项与其他圈不重复 检查有无(并去掉)完全重复的圈。

3）按“留下相同的变量，去掉不同的变量”的规则合并相邻项。写出最简的与或式。1：用卡诺图化简下列逻辑函数：解：1）将化成最小项和的形式：注意顺序例填写卡诺图：01001101ABC1110101110画相邻项，写表达式：或：注意检查并消去完全重复的圈或者，用与或式直填卡诺图01001101ABC1110101110画相邻项，写表达式：或：11111111111112)直填卡诺图最简的与或式为：最简的与非-与非式为：四个角也是相邻的。0100110001ABCD1011100

0

1

0

0

1

1

1

1

0

1

1

10

1

1

2CDAB0011011000110110例“与或”式化简：例3CDAB00110110001101101

1

1

1

0

0

0

1

0

1

0

0

10

0

0

关于卡诺图的运算①两卡诺图相加0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=1(逻辑加)②两卡诺图相乘0×0=0,0×1=0,1×0=0,1×1=1(逻辑乘)

③两卡诺图相异或0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0(异或运算)④卡诺图反演(逻辑反).3具有无关项的化简无关项：函数可以随意取值（可以为0，也可以为1）或不会出现的变量取值所对应的最小项称为随意项，也叫做约束项或无关项。例如：判断一位十进制数是否为偶数。不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现说明×1111001