数值分析(研究生)第四章线性方程组的直接解法一

第四章线性方程组的直接解法（一）第一节实际问题的导入第三节矩阵的三角分解法第二节高斯消去法第四节解三对角方程组的追赶法求解§1实际问题的导入

Cramer法则：计算量太大.线性方程组的系数矩阵可分为：

低阶稠密矩阵——阶数不超过500，零元素很少；

大型稀疏矩阵——阶数高且零元素多.解线性方程组的方法：

直接法——系数矩阵是低阶稠密矩阵的线性方程组及某些大型稀疏矩阵的线性方程组；

迭代法——系数矩阵是大型稀疏矩阵的线性方程组.§2高斯消去法一、高斯消去法思路首先将A化为上三角阵，再回代求解.=消元记Step1：设，计算因子将增广矩阵第i行mi1

第1行，得到其中Stepk：设，计算因子且计算共进行？步n

1回代定理若A的所有顺序主子式均不为0，则高斯消元无需换行即可进行到底，得到唯一解.注：事实上，只要A

非奇异，即A1

存在，则可通过逐次消元及行交换，将方程组化为三角形方程组，求出唯一解.二、选主元消去法例1单精度解方程组/*精确解为和*/8个8个用高斯消元法计算：8个小主元可能导致计算失败.

全主元消去法每一步选绝对值最大的元素为主元素，保证.Stepk:①选取②Ifik

k

then交换第k行与第ik

行;Ifjk

k

then交换第k列与第jk

列;③消元.注：列交换改变了xi

的顺序，须记录交换次序，解完后再换回来.列主元消去法省去换列的步骤，每次仅选一列中最大的元.例2注：列主元法没有全主元法稳定.例3注意：这两个方程组在数学上严格等价.标度化列主元消去法对每一行计算。为省时间，si

只在初始时计算一次.以后每一步考虑子列中最大的aik

为主元.注：稳定性介于列主元法和全主元法之间.实际应用中直接调用高斯消元法解3阶线性方程组的结果：结合全主元消去后的结果：高斯-若当消去法与高斯消元法的主要区别：

每步不计算mik

，而是先将当前主元akk(k)

变为1;把akk(k)

所在列的上、下元素全消为0;运算量由于计算机中乘除运算的时间远远超过加减运算的时间，故估计某种算法的运算量时，往往只估计乘除的次数，而且通常以乘除次数的最高次幂为运算量的数量级.高斯消元法:Stepk：设，计算因子且计算共进行n

1步(nk)次(nk)2

次(nk)次(nk)(nk+2)

次消元乘除次数：1次(ni+1)次回代乘除次数：高斯消元法的总乘除次数为，运算量为级.全主元消去法:比高斯消元法多出，保证稳定，但费时.列主元消去法:比高斯消元法只多出，略省时，但不保证稳定.标度化列主元消去法:比高斯消元法多出除法和，比列主元法稳定.但若逐次计算si(k)，则比全主元法还慢.高斯-若当消去法:运算量约为.故通常只用于求逆矩阵，而不用于解方程组.求逆矩阵即.§3

矩阵的三角分解法高斯消元法的矩阵形式：Step1:记L1=，则Stepn

1:其中

Lk=一、矩阵的LU分解记为L单位下三角阵记

U=定理若A的所有顺序主子式均不为0，则A

的

LU

分解唯一（其中L

为单位下三角阵）.证明：由§1中定理可知，LU分解存在.下面证明唯一.若不唯一，则可设A=L1U1=L2U2

，推出一般上三角阵单位下三角阵注：L

为一般下三角阵而U

为单位上三角阵的分解称为Crout分解.

实际上只要考虑A*的LU

分解，即

，则即是A的Crout分解.道立特分解法：

——LU

分解的紧凑格式反复计算,很浪费哦……通过比较法直接导出L和

U的计算公式.思路固定i:对j=i,i+1,…,n

有lii=1a将i

，j对换，对j=i,i+1,…,n有b

算法:道立特分解法Step1:u1j=a1j;lj1=aj1/u11;(j=1,…,n)Step2:计算和，从i=2,…,n1;Step3:ab一般采用列主元法增强稳定性.但注意也必须做相应的行交换.对称

正定矩阵的分解法定义一个矩阵A=(aij)nn

称为对称阵，如果aij=aji.定义一个矩阵A

称为正定阵，如果对任意非零向量都成立.回顾：对称正定阵的几个重要性质

A1

亦对称正定，且aii>0若不然，则存在非零解，即存在非零解。对任意,存在,使得,即.其中第i

位

A

的顺序主子阵Ak

亦对称正定对称性显然。对任意有

,其中.

A

的特征值i

>0

设对应特征值的非零特征向量为，则.

A

的全部顺序主子式

det(Ak

)>0因为二、平方根法将对称

正定阵

A

做LU

分解U=uij=u11uij/uii111u22unn记为

A对称即记D1/2=则仍是下三角阵定理设矩阵A对称正定，则存在非奇异下三角阵使得.若限定L对角元为正，则分解唯一.注：对于对称正定阵A，从可知对任意ki

有.即L

的元素不会增大，误差可控，不需选主元.P126Step1:对A作Crout分解直接比较等式两边的元素，可得到计算公式（p130）.Step2:追——即解：Step3:赶——即解：与G.E.类似，一旦i=0

则算法中断，故并非任何三对角阵都可以用此方法分解.§4

解三对角方程组的追赶法定理若A

为对角占优的三对角