专题03由“导”寻“源”,妙解函数不等式(第一篇)-2020年高考数学压轴题命题区间探究与突破(解析版)

201P高考数学压鞋题命题E间探究与突破专题第一篇函数与导致专题。3由“导"寻源”，妙解函数不等式一.方法综述对于仅利用函数的奇偶性、单调性即可求解的不等式问题，师生已有应对的良好方法，重在应用转化与化归思想，转化成解答具体不等式或不等式组问题 .在近几年的高考试题中，出现了一类抽象函数、导数、不等式交汇的重要题型，这类问题由于涉及抽象函数，很多学生解题时，突破不了由抽象而造成的解题障碍，不能从容应对不等式的求解问题.实际上，根据所给不等式，联想导数的运算法则，构造适当的辅助函数，然后用1用导数判断其单调性是解决此类问题的通法.学科 ％网常见的构造函数方法有如下几种：(i)利用和、差函数求导法则构造函数①对于不等式f'(X)g'(x)＞或＜0),构造函数F(x)=f(x)+g(x);②对于不等式f'(x)g'(x)＞或＜0),构造函数F(x)=f(x)—g(x);特别地，对于不等式 f'(x)＞或＜k)(kWQ)构造函数F(x)=f(x)-kx.(2)利用积、商函数求导法则构造函数①对于不等式f'(x)g(x)f(x)g'(x)>0(<0),构造函数F(x)=f(x)g(x);②对于不等式f'(x)g(x)f(x)g'(x)>0(<0),构造函数Fx=f(x)gx0gx(3)利用积、商函数求导法则的特殊情况构造函数①对于不等式xf'(x)f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=xf(x);②对于不等式xf'(x)f(x)>0(或<0),构造函数Fx=f(x)x0;x③对于不等式xf'(x)nf(x)>0(或<0),构造函数F(x)=xnf(x)；④对于不等式xf'(x)nf(x)>0(或<0),构造函数Fx=上学x0；xn⑤对于不等式f'(x)f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=exf(x)；⑥对于不等式f'(⑥对于不等式f'(x)f(x)>0(或<0),构造函数Fxf(x).⑦对于不等式f(x)+f'(x)tanx>0^<0),构造函数F(x)=sinxf(x);⑧对于不等式f(x)—f'(x)tanx>州<0),构造函数fx=f(x)sinx0;sinx⑨对于不等式f'(x)f(x)tanx>0(或<0),构造函数F(x)=cosxf(x);⑩对于不等式f'(x)f(x)tanx>0(或<0),构造函数Fx=f(x)cosx0.cosx?(理)对于不等式f'闺kf(x)>0(或<0),构造函数F(x)=ekxf(x)；?(理)对于不等式f'(%)kf(x)>0(或<0),构造函数Fx=当”e二.解题策略类型一构造具体函数求解£f>—【例1】【2018届第二次调研】已知定义在 R上的函数收叼满足且 2恒成立，则不等式/ 1/(0<G■+工八’2 2的解集为()A(-9,-1)b(l.+g)c|[-g,-l)U：L+w)D.I(TJ)【答案】D【解析】令t…则rr)<=+5即为即r©设goo=/co-一右因为对于任意的富后R，都有成立:*所以对任意》曰%都有小(幻>叨所以双功=/00-：工一：为单调递增晚3且ff⑴=/(1)-汨=%所以『仕)-;-T<。的解集为t<L■*♦♦即短(1,即所以不等式式/)(9+物解集为(—1」上故选D【指点迷津】对于与函数有关的不等式的求解问题：通常是代入函数的解析式，直接求解不等式的解集，若不等式不易解或不可解，则将问题转化为构造新函数，利用新函数的性质 一一单调性与奇偶性等，结合函数的图象求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用 .对于复合函数问题，先换元，再构造函数，是常用的方法.【举一反三】【黑龙江省2018年仿真模拟(一)】设函数f(E：是“灯(*£田的导函数，『(0)二1,且3fU)=f(^)-3,则的解集是()A.停+T B.仔+8)C.偿“)DJH【答案】B【解析】根据条件F3f<0)=3—f(0)—3) I.HW=6；.'.f(x)=2橘-1jf(x)=6的j，由4f>f(x)得；4(2的一1)>6e?Ij整理得，3工>上/.3i>ta2j,h当i，原不等式的解集为(詈.一)战选：B.类型二构造抽象函数求解【例2】【四川省眉山市仁寿第一中学校南校区 2019届第一次调研】设函数n可是奇函数『00(*E①的导函数,当*>。时，wgra)ja),则使得(/-幻「⑺》o成立的H的取值范围是( )A.(-ZO)U(OZ)b.(-肛-2)U亿+8)c(-2,0)U(2,+吟 d(-^-2)U(07)【答案】D【解析】根据题意，设W，)二如上*「(幻(工>0),学*科网TOC\o"1-5"\h\z，(力=(7口工)'『(*)+/nxf(r)=-/():)+inrf'(x)其导数 x1truef(x)<--f(x)又由当工>0时， 上,1@，第)=一,5)+加工厂(，)<。则有 x ,即函数仪/：在(0.+3)上为减函数，又由玳】)二51/1)=0,则在区间(oj;上，瓦式)二⑴=o,又由5K0,则“H)《o,在区间(l+田上成均=加*,/(町<0。)=°

又由m＞0,则/⑶＜0,则『《£；在［0,1）和（L+r：上，f«＜0,又由依犷为奇函数，则在区间（-1.。,；和（-4-1）上，都有“幻》0,fx"-fx"-4<0UW<0解可得桨＜-2或0＜斤＜2,则工的取值范围是（-g.-2）u（02）,故选D.【指点迷津】联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等 『式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的形状”变换不等式形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数 .【举一反三】【河北省唐山一中2018届强化提升（一）.］设/（町是函数代灯的导函数，且「⑺》/（4）（¥E⑴二线《『为自然对数的底数），则不等式/（打©（耳的解集为（）A（Ofejb便画c.图d,1显*【答案】A【解析】构造F0）=管:FW＞0. 在定义域内单调通增F⑴二”j则不等式/（配方〈工+0）由陪＜L即普＜1FEM<FC1)综上，不等式的解集为故选.类型三追根求源，抽象问题具体化【例3】【四川省棠湖中学2018-2019学年第一次月考】定义.在R上的函数〃满足-刈，当4，b£(-3.。时总有仃-8”3耒切，若fO+1):人2巾.),则实数席的取值范围是.I-%-与U(1.+8)【答案】【解析】丁定义在R上的函数f(x>满足fC-G=i西,1■f(X)是偶函的,(-K>>f(X)-f(|S|>t.，苦力bE(-知0>时总有"等二。3b),a-fl.\f(x)在C-f0)上单调递增，.1.f(x)在CO,70)上单调递减.；f(iu*l)>f(2m),1\f(|m+l|)>f(|2m|),.'.(m-i)(3wi+1)>0,m<-3或m>1.I卜实数m的取值范围是(_第，+«).购案为；(—川-1)u(bf【指点迷津】函数的奇偶性和单调性是函数的重要性质，它们应用贯穿于整个高中数学的教学之中 .学习中应注意牢记奇偶性、单调性的不同表达形式.对于所遇到的数学问题，应注意挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的奇偶性单，调性解题，能起到化难为易、化繁为简、化抽象为具体的作用^【举一反三】【安徽省淮南市2018届二模】已知函数代的是定义在R上的奇函数，且在区间(-8刈上单调递loff3a增，若实数日满足月2)>一/(7£则口的取值范围是()A,Q区+s)b.(1小)。g网 D.(“刎【答案】A

L解析】•••函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在区间(- 8,0］上单调递增,•.f(x)在R上都是增函数，则不等式/(23 等价为月2即产寸>^=22,即a>即a>3、曲学科.网［-3叫上单［-3叫上单¥<0时即实数a的取值范围是葭豆+s),故答案为：A三.强化训练.【辽宁省部分重点高中2019届9月联考】已知函数”划为定义在［-&£-引上的偶函数，且在f(-/+2*-3)< +-)调递减，则满足, $的万的取值范围( )A.(L+e)b(0,1］c(1■ D.I。物【答案】C【解析】因为函数月幻为定义在［—3上—2］上的偶图数，所以—34t-2=(M=5,因为函数外乃为定义在［-3.3］±的偶迪数,且在［-3,0］上单调递减，所以六一小十打一3)<f(/+o等价干*—小一工—3)《r(-x=-1),gpo> +2x-3>-^2-1>-34<X<应选c..【四川省雅安中学2019届第一次月考】设f(K,2a)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当+fa)6⑺>o,且f(-3)=o,则不等式『(幻。(幻<o的解集是()A.J3QU(3,+g)b.(-f-3)U(0.3)C.(-g.-3)u(3,+g)d,(-3⑼U(0.【答案】B【解析】构造函数F(x)=f(x)g(x)因为当丈(0时，|叫幻二即当,<0时F(x)为单调递增函数且，(£,双优：分别是定义在门上的奇函数和偶函数，所以F(x)为奇函数F(3)=：-3)爪-3)=0所以代工)或，)V。的解集是(-g,-3)u(也3)所以选B学科％网3.【云捕省曲靖市第一中学2019届9月监测卷二】已知函数V=fS))为奇函数，当丫<0时/(©:0且/(2)=0,则不等式不⑶<。的解集为( )A.(-2,(1)U(0.2)b.K-2Q)u(2.+3)C. "8.-2)U(0.2)d. 0+s)【答案】A【解析】由题意f国数月处为奇函数,且当量<o时JK4>?即图数，0)在(―她叫为单调递墙困数丽在®可也为单调递增图数，又由六2)二汽-2)二0,所I从当(一乙0)(2Too)时，fS>0,当3-2工@网Z(x)<必又由不等式炉(力<。,即席为或扁所以解集为(一2Q)u也叫故选儿4.【宁夏银川一中2019届第一次月考】设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，If(幻/'(2为导函数，当丈<0时，式x)+/Mg3>。且d-3)=0,则不等式/VAg(x)<0的解集是( )A.(―3,0)U(3,+8)B. (―3,0)U(0,3)C. (-oo-3)U(3,+oo)d.(-oo-3)U(0,3)【答案】D【解析】设F(x)=f(x)g(x),当x<0时，•••F'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0.F(x)在当x<0时为增函数.•1F(-x)=f(—x)g(—x)=-f(x)?g(x)=-F(x).故F(x)为(-8,0)u(0,+8)上的奇函数.学科&网F(x)在(0,+8)上亦为增函数.已知g(—3)=0,必有F(—3)=F(3)=0.构造如图的F(x)的图象，可知F(x)V。的解集为xC(—8,—3)「U(0,3).故选：D..【【全国百强校】河北省武邑中学2019届第一「次调研】已知奇函数胤均是定义在汽上的连续函数，满足f(2)=可且代公在：0,+8)上的导函数/⑺</,则不等式"刈〉""3的解集为()【解析】设gG)=六劝—十ij则。'(行=frM~x2.・,了值)在(0,十口)上的导函数尸00《二"⑸"「⑶Teo「国在)在⑭,+女)上为减Si触二不等式r(r)>?的解箧为1-8,2)故选B. |.【黑龙江省2018届仿真模拟(四)】设「但是函数/⑴的导函数，且r(©>2八项旌的「旧一"(1为【答案】B【解析】可构造图数F(G■黄，r1人J三 工尸一甲J由f(K)>2fO)J可得F(G>0,即有F(K)在R上递增.不等式f(皿)V《艮[1为(工>0, X>0.艮哨F(力三"即为f<lnx)<F(j>,由F5)在R上递增，可得lnx<t解得£Kx<^.■故不等式的解集为《0g故选；E..【2019年一轮复习讲练测】设函数〃©是定义在(-r，o)上的可导函数，其导函数为r㈤,且有2f5)+，r(x)>#,则不等式(工+2018)7(，+2018)|-4/(-2)>0的解集为A.1-2020⑼ b.(-%-2020)c.(-20160d.(…2016)【答案】B【解析】根据题意，设g(x)=x2f(x),XV0,其导数g'(X)=[x2f(x)]'=2xfx)+X2f'(x)=x(2f(x)+xf'(x)),又由2f(x)+xf'(x)>x2>0,且xv0,则g'(x)<0,则函数g(x)在区间(-8,0)上为减函数，(x+2018)2f(x+2018)-4f(-2)>0?(x+2018)2f(x+2018)>(-2)2f(-2)?g(x+2018)>g(-2),又由函数g(x)在区间(-8,0)上为减函数，[x+2018<-2则有I』+201H<0,解可得：xv-2020,即不等式(x+2018)2f(x+2018)-4f(-2)>0的解集为(-8,-2020);故选：B..【江西省新余市第四中学 2019届10月月考】已知函数/(*)的导函数为/。)，且对任意的实数才都有（c是自然对数的底数）,且第0）二儿若关于X的不等式胤盼的解集中恰有唯一一个整数,则实数）的取值范围是（[---0)B.—11cl2C.D.3e9（一下端【解析】分析：构造函数GW=fWe^tG(x)=2无+12故G(x)=x+-x+cf2 5 1JT+-Z+12进而得到对该函数求导得到函数的单调性和图像，结合图像得到结果解；对任意的实教超都有rw。厂工（本+》一汽。变形得到，（力+fw^2x4:=1■-6⑸=x2+*4-1构造=1■-6⑸=x2+*4-1故GG)=/+根据汽0)=1,得到G0W=进而得到汽动=3又撞徽求导得到广仁）=根据导函数的正负得到国散在卜.V，