北京科技大学材料力学课件第九章

第九章压杆稳定材料力学§9–1稳定性失效的概念

细长杆件承受轴向压缩载荷作用时，将会由于平衡的不稳定性而发生失效，这种失效称为稳定性失效

(failurebyloststability),又称为屈曲失效

(failurebybuckling)。1983年10月4日，高54.2m、长17.25m、总重565.4kN大型脚手架屈曲坍塌，5人死亡、7人受伤。横杆之间的距离太大2.2m>规定值1.7m;地面未夯实，局部杆受力大；与墙体连接点太少；安全因数太低：1.11-1.75<规定值3.0。压杆失稳破坏的实例

2006年12月9日，北京市顺义城区北侧减河上一座悬索桥在进行承重测试时突然坍塌,约50米桥体连同桥上进行测试的10辆满载煤渣的运输车一起塌下,1名司机和2名检测人员受伤。

柱脚与地面连接强度不足，局部杆受力大，导致另一柱脚被拔起Ａ型柱的连接杆焊点突然失效，导致Ａ型柱失稳破坏杆件在失稳后，有可能以弯曲曲线形式的平衡状态的维持，也可能不再平衡。杆件失稳≠不平衡1.稳定平衡和临界平衡

一个处于平衡状态的受力系统，当受到一个轻微的扰动后，仍然能够恢复原有形式的平衡状态，则称为稳定平衡。反之，称为非稳定平衡。

结构构件或机器零件在压缩载荷或其它特定载荷作用下发生变形，最终在某一位置保持平衡，这一位置称为平衡位置，又称为平衡构形（equilibriumconfiguration）。

承受轴向压缩载荷的细长压杆，有可能存在两种平衡构形——直线的平衡构形与弯曲的平衡构形。

平衡构形—压杆的两种平衡构形FP<FPcr:

直线平衡构形FPFP>FPcr:弯曲平衡构形(在扰动作用下)FPFP

FP<FPcr

:在扰动作用下，直线平衡构形转变为弯曲平衡构形，扰动除去后，能够恢复到直线平衡构形，则称原来的直线平衡构形是稳定的。FPFP判别弹性平衡稳定性的静力学准则（staticalcriterionforelasticstability）

FP<FPcr,稳定的直线平衡构型FPFP>FPcr

:在扰动作用下，直线平衡构形转变为弯曲平衡构形，扰动除去后，不能恢复到直线平衡构形，则称原来的直线平衡构形是不稳定的。FPFP判别弹性平衡稳定性的静力学准则（staticalcriterionforelasticstability）

FP>FPcr,不稳定的直线平衡构型(1)结构必须是由细长或薄壁构件（长杆、薄板或壳体）组成(2)构件必须承受压载荷作用(3)压载荷必须达到或超过失稳的临界载荷，即：2结构杆件发生失稳的必要条件在外界干扰力作用下，直线平衡构形转变为弯曲平衡构形，扰动除去后，不能恢复到直线平衡构形，则称：压载荷为达到失稳的临界载荷Pcr。当压载荷达到某数值时，即：3.压杆的临界载荷§9–２两端铰支细长压杆的临界力确定临界载荷的平衡方法

当梁内弯矩分段、材料不同、截面不同，梁的近似挠曲线微分方程必须分段表示。积分法一般步骤为：（近似挠曲线微分方程）临界载荷作用下的弯矩方程:令lPPPcrPcrxyyPcrNMy（近似挠曲线微分方程）考虑杆的边界条件:解的形式为:求解此常微分方程,可以得到含待定常数的通解:选择一个半波:n=1,

欧拉公式lPPPcrPcrxyyn称为半波数最小临界载荷讨论:(3)n=1,表示失稳曲线仅有一个半波.(2)I应当选取最小惯性矩bhxy例如:两端铰支压杆,I=Imin=

IyPcr9Pcr4Pcrn=1n=2n=3n称为半波数不同挠曲线近似微分方程

不同的约束不同边界条件不同的Pcr§9–3其它支座条件下细长压杆的临界力PcrPcrPcrl/2l/4l/4l两端固定端约束观察失稳曲线拐点处无弯矩确定两个拐点(inflexion)—反映不同支承影响的系数，称为长度系数（coefficientof1ength）——可由屈曲后的正弦半波长度与两端铰支压杆屈曲时的正弦半波长度的比值确定。

l

—不同压杆屈曲后挠曲线上正弦半波的长度，称为有效长度(effectivelength)；一端自由，一端固定一端铰支，一端固定欧拉公式的一般形式PcrPcrPcrl/2l/4l/4lPcrl2lPcrl0.7lPcr—长度系数（coefficientof1ength）—欧拉公式(μl)22EIPcr=E—压杆材料的弹性模量I—压杆失稳方向的惯性矩l—压杆长度l—有效长度(effectivelength)—欧拉公式(μl)22EIPcr=注意：1、当约束与空间取向无关时（如：球铰链），惯性矩

I

应当取最小值Imin。2、当约束与空间取向有关时（如：夹板式铰链），则按照两个互相垂直方向的惯性矩I和相应的约束(μ)。分别计算临界压力，取其最小值为杆的Pcr。压力P与压杆内最大挠度Vmax的关系PmaxHFG实际材料失稳PvmaxOA`近似解理想材料失稳CED精确解APcr稳定承载真实压杆的缺陷：初曲率非均匀性偏心载荷实际支承处，约束类型的确定已经讨论过的杆端约束，均为典型的理想约束。然而，实际工程中杆端的约束情况是比较复杂的，有时很难将其归结为某一种理想约束。在实践中，可能将其表示为理想约束与弹簧的组合形式。因此，为了计算压杆临界载荷，在实际工程中杆端的约束形式及杆的等效长度，应当视具体情况，查工程设计规范而决定。柔度又称长细比，用

表示。柔度是综合反映压杆长度、约束条件、截面尺寸和截面形状对压杆临界载荷影响的量，由右式确定：

其中，i为压杆横截面的惯性半径：从上述二式可以看出，柔度反映了压杆长度、支承条件以及压杆横截面几何尺寸对压杆承载能力的综合影响。§9–4欧拉公式的适用范围，经验公式对于弹性屈曲,必须有：p—比例极限临界应力—柔度—截面的惯性半径欧拉公式的适用范围：(μl)22EIPcr=设：cr＝

P时，=pPEp＝

故：三类不同压杆的区分

大柔度杆—柔度大于或等于极限值p时的压杆称为大柔度杆或细长杆。

中柔度杆—柔度小于p，但大于或等于另一个极限值s时的压杆称为中柔度杆或中长杆。

小柔度杆—柔度小于极限值s时，压杆不会发生屈曲，但将会发生屈服。这类压杆称为小柔度杆或粗短杆。

显然，只有p时，即：对于大柔度杆，才可以用欧拉公式计算压杆临界力。应当记忆：对于一般钢材，P=200~300MPa。其p~100左右。三类不同的压杆细长杆（大柔度杆）—发生弹性屈曲中长杆（中柔度杆）—发生弹塑性屈曲粗短杆（小柔度杆）—不发生屈曲，而发生屈服

对于细长杆，临界应力公式

对于中长杆，由于发生了塑性变形，理论计算比较复杂，工程中大多采用直线经验公式计算其临界应力，最常用是直线公式：其中，a和b为与材料有关的常数，单位为MPa。三类压杆的临界应力公式

对于粗短杆，因为不发生屈曲，而只发生屈服(韧性材料)，故其临界应力即为材料的屈服应力将上述各式乘以压杆的横截面面积，即得到三类压杆的临界载荷。临界应力总图

根据三种压杆的临界应力表达式，在σcr－λ坐标系中可以作出关系曲线，称为临界应力总图(figuresofcriticalstresses)。

细长杆中长杆

粗短杆临界应力总图λpλSσsσpσcrλOσcr=σsσcr=a-bλ

根据临界应力总图中所示之σcr－λ关系，可以确定区分不同材料三类压杆的柔度极限值λs、λP。

令细长杆的临界应力等于材料的比例极限，得到

对于不同的材料，由于E、σ

P各不相同，λP的数值亦不相同。一旦给定E、σ

P，即可算得λP。若令中长杆的临界应力等于屈服强度，由细长杆(p)—发生弹性屈曲，用欧拉公式。中长杆(s<p)—发生弹塑性屈曲，用经验公式。短粗杆(<s)—不发生屈曲，而发生屈服。小结：例题

两根直径均为d的压杆，材料都是Q235钢，但二者长度和约束条件各不相同。试；

2.已知：

d=160mm、E=206GPa,求：二杆的临界载荷

1.分析:哪一根压杆的临界载荷比较大；

1.分析:

哪一根压杆的临界载荷比较大：

从临界应力总图可以看出：材料相同的压杆，柔度越大，临界应力越小。所以判断哪一根压杆的临界载荷大，必须首先计算压杆的柔度。

1.分析:

哪一根压杆的临界载荷比较大：

2.已知：

d=160mm，

Q235钢，E

=206GPa,

求：二杆的临界载荷.

首先计算柔度，判断属于哪一类压杆：Q235钢p=101二者都属于细长杆，采用欧拉公式。2.已知：

d=160mm，

Q235钢，E=206GPa,

求：二杆的临界载荷.二者都属于细长杆，采用欧拉公式。2.已知：

d=160mm，

Q235钢，E=206GPa,

求：二杆的临界载荷.§9–5压杆的稳定计算压杆失效与稳定性设计稳定校核条件Pw–杆内最大工作压力

Pw

Pcrnst—其中：[nst]

–许用稳定安全因数nst–实际稳定安全因数Pcr–杆的临界压力

或PcrPwnst

=nst—例题已知：b=40mm,h=60mm,l=2300mm,Q235钢E＝205GPa,FP＝150kN,[n]st=1.8校核:

稳定性是否安全。正视图俯视图解：压杆在正视图平面内，两端约束为铰支,屈曲时横截面将绕z轴转动：z=zl/iz,y=yl/iy,压杆在俯视图平面内，两端约束为固定端,屈曲时横截面将绕y轴转动：因此，压杆将在正视图平面内屈曲。工作安全因数：z=132.6因此，压杆将在正视图平面内屈曲。nw>[n]st=1.8压杆的稳定性是安全的工作安全因数：稳定计算中需要注意的几个重要问题正确地进行受力分析，准确地判断结构中哪些杆件承受压缩载荷，对于这些杆件必须按稳定性设计准则进行稳定性计算或稳定性设计。l

要注意综合性问题，工程结构中往往既有强度问题叉有稳定问题；或者既有刚度问题，又有稳定问题。有时稳定问题又包含在超静定问题之中。这一结构中，哪一根杆会发生屈曲？其临界载荷又如何确定？图示结构,AB为18号工字钢梁,[]=120MPa,CE和DF均为两端铰链约束的圆截面钢杆，d=24mm,P=100,

S=61.4。求:结构整体失稳时的理论极限载荷Pmax=？ABPCDEF1m1m1.5m1m算例解题思路由于CE和DF杆与结构是并联关系，只有CE和DF杆都失稳时，才导致结构整体失稳。ABPCDEF1m1m1.5m1m因此，应当按照两压杆的临界载荷Pcr求出结构的理论极限载荷Pmax。图示结构,AB为18号工字钢梁,[]=120MPa,CD为两端铰链约束的圆截面钢杆，d=24mm,P=100,

S=61.4，[n]st=2.8。要求:

ABPCD3m1.8m1m结构的许用载荷Pmax=？算例3解题思路校核时，必须先按梁AB强度估算一个许用载荷。再按杆CD梁稳定要求，估算第二个许用载荷。实际的许用载荷则为二者中最小值。即：Pmax=min：{，}ABPCD3m1.8m1m图示结构,AC是圆截面钢杆，d=80mm,C端与CB杆用球铰链连接，A、B端均为固定端约束。BC为矩形截面杆，截面尺寸为b☓h=70☓90mm,杆长如图所示,两杆材料相同,材料的弹性模量E＝205GPa,P=100,

S=61.4，热膨胀系数⍺=12.5☓，[n]st=3。求：当材料内温度升高100度后，校核系统的稳定性。3m1.8mABCdbh算例解题思路由于CE和DF杆与结构是串联关系，只要两杆中有一根杆失稳，就导致结构整体失稳。3m1.8mABCdbh先求出AC杆和CB杆的临界载荷Pcr，再按静不定杆方法，求出杆AC和杆CB的轴力。最后就可校核系统的稳定性。影响压杆稳定承载能力的因素不同于影响强度的因素

一般情形下，控制构件强度的因素主要是个别危险截面上的内力、危险面的几何形状和尺寸。§9–6提高压杆稳定性的措施影响压杆稳定承载能力的因素不同于影响强度的因素而压杆丧失稳定，由直线平衡构形转变为弯曲平衡构形，这一过程不是某个截面或某几个截面的行为，而是压杆的一种整体行为。与梁的位移形成过程相似，压杆的屈曲过程是压杆所有横截面弯曲变形的累加结果