希尔伯特黄变换

Hilbert-Huang变换主讲人：第一大组组员：Hilbert,David(1862～1943)德国著名数学家黄锷中国台湾海洋学家2000年当选美国国家工程学院院士一、基本概念引入确定性信号：其每个时间点上的值可以用某个数学表达式或图表唯一的确定；信号随时间做有规律的、已知的变化（方波、正弦波）随机信号：信号随时间做无规律、未知的随机变化，不能用一个确切的数学公式描述，不能准确的预测信号，所描述物理现象是一种随机过程。1、信号的分类狭义平稳：随机过程的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。对任意正整数n和任意实数τ，n维概率密度函数满足：平稳过程的统计特性不随时间的推移而不同。广义平稳随机过程：信号的均值与方差均与时间无关；自相关函数只与时间间隔有关。非平稳随机信号：均值、方差及自相关函数等特征及频谱随时间变化。2、平稳随机信号3、时频分析方法在许多实际应用中，信号大多是非平稳的，其统计量（如均值、相关函数、功率谱等）是时变的，这时采用传统的Fourier变换并不能反映信号频谱随时间变化的情况，需引入新的处理信号的数学工具，时频表示和时频分析是源于考虑信号的局部特性而引入的。

分析与处理平稳信号最常用的数学工具是Fourier分析。它建立了信号从时域到频域变换的桥梁。它表征了信号从时域到频域的一种整体（全局）变换。例：Chirp信号（频率成分正比于时间变化的信号）4、瞬时频率

实测信号单分量信号瞬时频率Hilbert谱（时频平面）EMD分解（经验模态分解）IMF（本征模态函数）Hilbert变换5、Hilbert-Huang变换二、Hilbert-Huang变换理论分析三、仿真波形与分析四、Hilbert-Huang变换优势与缺陷一、可实现系统的网络函数与希尔伯特变换可实现系统是因果系统，其冲激响应为：即:由傅里叶变换的频率卷积定理，有：其傅里叶变换，即频率响应为：那么根据实部与实部相等，虚部与虚部相等，解得

Hilbert变换对因果系统系统函数的实部与虚部满足希尔伯特变换约束关系。其实部与虚部不是相互独立的，实部可以由虚部唯一的确定，反之亦然。二、Hilbert变换假设一个时间复信号：根据时频对偶原理，存在一个变换对：

由傅里叶变换的共轭对称性，可知：

若令则有

同理

Hilbert变换

则可构成解析信号：其中：那么，其瞬时频率为：三、本征模态函数IMFHilbert变换处理实信号有局限性。对于如下二分量信号：式中A1和A2恒定，而w1和w2都为正。当w1=10，w2=20时，分别取A1=0.2，A2=1和A1=-1.2,A2=1时，接着对x(t)作Hilbert变换，就能得到两个条件下，x(t)的瞬时频率-时间图。此例说明，单分量信号进行Hilbert变换才能得到有意义的频率。有信号u1(t)和u2(t)，其表达式为：当c=0.5，w0=1时，对其作Hilbert变换。很明显，u1(t)和u2(t)的瞬时频率皆为常量w0。此例说明，一个余弦信号，只有限制它局部对称于零均值时，进行Hilbert变换才能得到有意义的频率。本征模态函数IMF的定义:a.在整个序列中，极大值点和极小值点数目之和与过零点数目相等，或最多相差一个；b.在任一时间点上，由局部极大值点构成的上包络和由局部极小值构成的下包络的平均值为零，或近似为零。

本征模态信号IMF可用以下数学形式表示：当物体以角速度沿半径作绕原点的圆周运动时，其在直径上投影P的运动是一简谐运动：四、本征模态函数IMF的数学模型

而实际中，物体绕原点运动的半径往往不为常数，运动的角速度也不均匀，则投影P的表达式变为：

其瞬时频率为：上两式体现了非平稳信号随时间变化的根本特征。

那么，本征模态函数，需满足如下三个条件：EMD方法的具体过程；终止条件；IMF结果；时频谱和边际谱[2]具体筛选步骤如下[3]:

当SD界于0.2一0.3之间时,筛选过程终止。第二种是只要波形的极值点和过零点的数目相等时筛选过程就终止的简单准则。（不满足对称性）EMD通过多次的移动过程，一方面消除信号上的骑波(ridingwaves)，另一方面对高低不平的振幅进行平滑处理，为了保证筛出的IMF在幅值和频率上都具有足够的物理意义,对筛选过程的次数必须有所限制。因为过多的筛选次数可能使IMF信号变为一个常幅值的调频信号,从而使其失去物理意义。[4]Huang提出了筛法过程的两种终止准则:第一种是仿柯西收敛准则,即过程停止的条件还可以描述成：（1）本征模态函数分量cn或余量rn变得比规定的预定值小时；（2）rn变成单调函数，从中再不能处理得出本征模态函数分量。EMD算法流程图[5][3]上式给出了各幅度和频率的时间函数。时频谱和边际谱[4]参考文献[1]钟佑明,秦树人.Hibert—Huang变换中的理论研究[J].振动与冲击,2002,21(4):13-17.[2]刘世金.Hilbert—Huang变换及其应用研究[J].高师理科学刊,2012,32(4):40-42.[3]李关防.希尔伯特黄变换在瞬态信号处理中的应用[D].哈尔滨工程大学,2008.[4]陈娟,邱天爽.Hilbert_Huang变换及其在信号处理中的应用[D].大连理工大学,2006.[5]罗奇峰,石春香.Hilbert—Huang变换理论及其计算中的问题[J].同济大学学报:自然科学版,2003,31(6):637-640.EMD优缺点EMD优点EMD存在的问题EMD算法改进

模态混叠基本模式分量筛分停止条件端点效应EMD的优点EMD有以下优点：（1）由IMF分量的一系列瞬时频率(k=0,1,2,…,n)，可以充分反映出的瞬时频率特征。（2）基于IMF分量的展开，可以得到一个可变幅度与可变频率的信号描述方法，从而打破固定幅度与固定频率的傅里叶级数展开的限制。（3）与传统信号分解算法相比，最大的优点是其自适应性。EMD

方法将信号分解为若干个IMF

以及一个余项的和，各IMF

代表了原信号的合乎物理特征的时频结构，且IMF

是在分解过程中根据原信号的固有属性自适应地产生，而非在分解之前预先指定，EMD

方法不但在时间和频率具有局部自适应性，作为表示的基的IMFs

的结构也是自适应的。EMD存在的问题Hilbert-Huang变换在分析非稳定信号时具有良好的自适应性，信号进行EMD分解得到的基本模式分量，能够表现出信号内在的物理意义，该方法已广泛应用于各个领域。但是，与小波变换等信号处理方法相比，

Hilbert-Huang变换仍处于发展阶段，其理论及算法还需要完善。经验模态分解EMD

（EmpiricalModeDecomposition）方法是一种启发式算法，带有很大的经验成分。它在数学上有许多根本性的问题尚未解决，主要的问题集中EMD算法改进、模态混叠、基本模式分量筛分停止条件、端点效应等四个方面。一、EMD算法改进Hilbert-Huang变换的核心：EMDEMD分解的结果直接影响后续的信号分析结果。由于EMD在计算信号的极值包络线时，两次使用了三次样条插值算法，该算法带来的问题是包络线的过冲和欠冲。具体改进方法改进方法：

1、求取信号均值包络线的方法

余泊提出了基于信号局部特征的自适应时变滤波分解方法；

盖强等提出了极值域均值模式分解法，使用了局部信号中的所有数据，因而可以得到正确的局部均值；Chen等提出了直接采用基于极值点滑动平均的B样条函数的线性组合作为均值的方法。2、从提高样条插值的拟合精度方法

胡劲松提出了基于高次样条插值的EMD算法,提高算法精度；

鈡佑明等提出了基于分段幂函数法插值的EMD算法，提高拟合曲线的柔性。相关参考文献[1]余泊.自适应时频分析方法及其在故障诊断中的应用[博士学位论文].大连理工大学，1998.[2]盖强，张海勇.一种消除局域波法中边界效应的新方法.大连理工大学学报，2002,42（1）：115~117.[3]ChenQH,HuangNE,XuYS.AB-splineapproachforempiricalmodedecompositions.AdvancesinComputationalMathematics,2006(24):171~19.[4]胡劲松.面向旋转机械故障诊断的经验模态分解时频分析方法及实验研究[博士学位论文].杭州：浙江大学，2003.[5]鈡佑明，秦树人，汤宝平.一种振动信号新变换法的研究.振动工程学报，2002,15（2）：231~238.二、模态混叠模式混叠是指一个IMF（IntrinsicModeFunction）中包含差异极大的特征时间尺度，或者相近的特征时间尺度分布在不同的IMF中，导致相邻的2个IMF波形混叠，相互影响，难以辨认。模态混叠产生原因EMD

过程中首先需要确定信号的局部极值点，然后用三次样条线将所有的局部极大值和极小值点分别连接起来形成上下包络线，再由上下包络线得到均值曲线。在求取包络线的过程中，当信号中存在异常事件时，势必影响极值点的选取，使极值点分布不均匀，从而导致求取的包络为异常事件的局部包络和真实信号包络的组合。经该包络计算出的均值，再筛选出的IMF

分量就包含了信号的固有模式和异常事件或者包含了相邻特征时间尺度的固有模式，从而产生了模式混叠现象。

Huang认为引起模式混叠现象的原因主要在于间歇（intermittency）现象，而引起间歇现象的往往是异常事件（如间断信号、脉冲干扰和噪声等）。

根据以上可知，模态混叠会导致错误的IMF分量，从而使IMF丧失具体的物理意义。改进方法目前解决模式混叠现象较好的方法是Huang提出的EEMD（EnsembleEmpiricalModeDecomposition）。通过给信号加入极小幅度白噪声，利用白噪声频谱均衡分布的特点，用白噪声来均衡噪声的特性，较为理想地解决了模态混叠现象。EEMD的具体分解步骤如下：步骤1，向原始信号中加入白噪声。步骤2，将添加了白噪声的信号通过EMD算法分解为一系列的IMF。步骤3，重复步骤1、步骤2，但每次加入不同的白噪声序列。步骤4，将每次得到的对应IMF的集成平均值作为最终的分解结果。改进方法其它学者提出了各种方法：赵进平提出了一种仅适合异常干扰时段小于正常信号周期情况下的解决方法；Li提出了利用小波进行信号预处理来滤除间断高频信号的解决方法；……以上解决方法都是基于由间断或噪声引起的模态混频，尚没有一种解决方法能适用于所有的应用数据。可见，模态混频是EMD的一个难题，还有待更深入的研究。相关参考文献[6].赵进平.异常事件对EMD方法的影响及其解决方法研究.青岛海洋大学学报，2001,31（6）：805~814.[7].LiHL,YangLH,HuangDR.T​h​e​​s​t​u​d​y​​o​f​​t​h​e​​i​n​t​e​r​m​i​t​t​e​n​c​y​​t​e​s​t​​f​i​l​t​e​r​i​n​g​​c​h​a​r​a​c​t​e​r​​o​f​​H​i​l​b​e​r​t​–​H​u​a​n​g​​t​r​a​n​s​f​o​r​m​.MathematicsandComputersinSimulation,2005,70(1):22~32.[8].宋立新，王祁，王玉静，等.具有间断事件检测和分离的经验模态分解方法.哈尔滨工程大学学报，2007,28（2）：178~182.[9].GaoYC,GeGT,ShengZY,etal.AnalysisandSolutiontotheModeMixingPhenomenoninEMD.CongressonImageandSignalProcessing，2008:223~227.三、基本模式分量筛分停止条件Hilbert-Huang变换中通过限制两个连续处理结果之间的标准差的大小来实现。

Huang建议SD取0.2~0.3，EMD分解所得结果既能保证基本模式分量的线性和稳定性，又能保证其包含相应的时间特征尺度，具有合理的物理意义。但该条件是实践经验的结果，并未考虑到基本模式分量的定义。改进方法Rilling对其进行了改进，其中极大值、极小值包络线的平均值为

，其基本模式分量均值的判断由下面的物理量决定，即：式中，

为极大值包络线，

为极小值包络线。相应的筛分停止条件有两个：（1）满足

的时刻个数与全部持续时间之比不小于

一般取=0.05，

=0.05（2）对每个时刻t,有，能更好反应基本模式分量的均值特性，且两个条件相互补充，使得信号只能在某些局部出现较大的波动，从而保证了整体均值为零。在EMD中，当分解得到的残余信号为单调信号或者其波峰、波谷少于两个时即可停止，但该问题仍需进一步研究。四、端点效应原因：EMD分解中样条插值的端点效应，在“筛选”过程中你和信号上下包络的3次样条函数在端点处拟合点的不