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文档简介

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知数列,,,…,是首项为8,公比为得等比数列,则等于()A.64 B.32 C.2 D.42.已知等差数列的前n项和为,,则A.3 B.4 C.5 D.63.若集合M={1,3},N={1,3,5},则满足M∪X=N的集合X的个数为()A.1 B.2C.3 D.44.已知斜率为2的直线l过抛物线C:的焦点F,且与抛物线交于A,B两点,若线段AB的中点M的纵坐标为1,则p=()A.1 B. C.2 D.45.已知双曲线的左、右焦点分别为、,抛物线与双曲线有相同的焦点.设为抛物线与双曲线的一个交点,且,则双曲线的离心率为()A.或 B.或 C.或 D.或6.如图,正方体的棱长为1,动点在线段上,、分别是、的中点,则下列结论中错误的是()A., B.存在点,使得平面平面C.平面 D.三棱锥的体积为定值7.已知,,,,则()A. B. C. D.8.《周易》历来被人们视作儒家群经之首,它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识,是中华人文文化的基础,它反映出中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为:把阳爻“-”当作数字“1”,把阴爻“--”当作数字“0”,则八卦所代表的数表示如下:卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000震0011坎0102兑0113依此类推,则六十四卦中的“屯”卦,符号“”表示的十进制数是()A.18 B.17 C.16 D.159.如图所示,三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图,给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影),设直角三角形有一内角为,若向弦图内随机抛掷500颗米粒(米粒大小忽略不计,取),则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为()A.134 B.67 C.182 D.10810.已知椭圆的焦点分别为,,其中焦点与抛物线的焦点重合,且椭圆与抛物线的两个交点连线正好过点,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.11.已知,,为圆上的动点,,过点作与垂直的直线交直线于点,若点的横坐标为,则的取值范围是()A. B. C. D.12.已知数列满足,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知双曲线()的左右焦点分别为,为坐标原点,点为双曲线右支上一点,若,,则双曲线的离心率的取值范围为_____.14.已知数列为等比数列,,则_____.15.如果抛物线上一点到准线的距离是6,那么______.16.“石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏,其规则是:在石头、剪子和布中,二人各随机选出一种,若相同则平局;若不同,则石头克剪子,剪子克布,布克石头.甲、乙两人玩一次该游戏,则甲不输的概率是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)以平面直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,且在两种坐标系中取相同的长度单位,建立极坐标系,已知曲线,曲线(为参数),求曲线交点的直角坐标.18.(12分)已知函数,.(1)求曲线在点处的切线方程;(2)求函数的单调区间;(3)判断函数的零点个数.19.(12分)如图,四棱锥中,平面平面,底面为梯形.,且与均为正三角形.为的中点为重心,与相交于点.(1)求证:平面;(2)求三棱锥的体积.20.(12分)如图,在四面体中,.(1)求证:平面平面;(2)若,二面角为,求异面直线与所成角的余弦值.21.(12分)已知.(1)已知关于的不等式有实数解,求的取值范围;(2)求不等式的解集.22.(10分)如图,在四棱锥中,四边形是直角梯形,底面,是的中点.(1).求证:平面平面;(2).若二面角的余弦值为,求直线与平面所成角的正弦值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】

根据题意依次计算得到答案.【详解】根据题意知:,,故,,.故选:.【点睛】本题考查了数列值的计算,意在考查学生的计算能力.2.C【解析】

方法一:设等差数列的公差为,则,解得,所以.故选C.方法二:因为,所以,则.故选C.3.D【解析】可以是共4个,选D.4.C【解析】

设直线l的方程为x=y,与抛物线联立利用韦达定理可得p.【详解】由已知得F(,0),设直线l的方程为x=y,并与y2=2px联立得y2﹣py﹣p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点C(x0,y0),∴y1+y2=p,又线段AB的中点M的纵坐标为1,则y0(y1+y2)=,所以p=2,故选C.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题,利用韦达定理是解题的关键,属中档题.5.D【解析】

设,,根据和抛物线性质得出,再根据双曲线性质得出,,最后根据余弦定理列方程得出、间的关系,从而可得出离心率.【详解】过分别向轴和抛物线的准线作垂线,垂足分别为、,不妨设,,则,为双曲线上的点,则,即,得,,又,在中,由余弦定理可得,整理得,即,,解得或.故选:D.【点睛】本题考查了双曲线离心率的求解,涉及双曲线和抛物线的简单性质,考查运算求解能力,属于中档题.6.B【解析】

根据平行的传递性判断A;根据面面平行的定义判断B;根据线面垂直的判定定理判断C;由三棱锥以三角形为底,则高和底面积都为定值,判断D.【详解】在A中,因为分别是中点,所以,故A正确;在B中,由于直线与平面有交点,所以不存在点,使得平面平面,故B错误;在C中,由平面几何得,根据线面垂直的性质得出,结合线面垂直的判定定理得出平面,故C正确;在D中,三棱锥以三角形为底,则高和底面积都为定值,即三棱锥的体积为定值,故D正确;故选:B【点睛】本题主要考查了判断面面平行,线面垂直等,属于中档题.7.D【解析】

令,求,利用导数判断函数为单调递增,从而可得,设,利用导数证出为单调递减函数,从而证出,即可得到答案.【详解】时,令,求导,,故单调递增:∴,当,设,,又,,即,故.故选:D【点睛】本题考查了作差法比较大小,考查了构造函数法,利用导数判断式子的大小,属于中档题.8.B【解析】

由题意可知“屯”卦符号“”表示二进制数字010001,将其转化为十进制数即可.【详解】由题意类推,可知六十四卦中的“屯”卦符号“”表示二进制数字010001,转化为十进制数的计算为1×20+1×24=1.故选:B.【点睛】本题主要考查数制是转化,新定义知识的应用等,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.B【解析】

根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论.【详解】解:设大正方形的边长为1,则小直角三角形的边长为,

则小正方形的边长为,小正方形的面积,

则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为,

故选:B.【点睛】本题主要考查几何概型的概率的应用,求出对应的面积之比是解决本题的关键.10.B【解析】

根据题意可得易知,且,解方程可得,再利用即可求解.【详解】易知,且故有,则故选:B【点睛】本题考查了椭圆的几何性质、抛物线的几何性质,考查了学生的计算能力,属于中档题11.A【解析】

由题意得,即可得点M的轨迹为以A,B为左、右焦点,的双曲线,根据双曲线的性质即可得解.【详解】如图,连接OP,AM,由题意得,点M的轨迹为以A,B为左、右焦点,的双曲线,.故选:A.【点睛】本题考查了双曲线定义的应用,考查了转化化归思想,属于中档题.12.C【解析】

利用的前项和求出数列的通项公式,可计算出,然后利用裂项法可求出的值.【详解】.当时,;当时,由,可得,两式相减,可得,故,因为也适合上式,所以.依题意,,故.故选:C.【点睛】本题考查利用求,同时也考查了裂项求和法,考查计算能力,属于中等题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】

法一:根据直角三角形的性质和勾股定理得,,,又由双曲线的定义得,将离心率表示成关于的式子,再令,则,令对函数求导研究函数在上单调性,可求得离心率的范围.法二:令,,,,,根据直角三角形的性质和勾股定理得,将离心率表示成关于角的三角函数,根据三角函数的恒等变化转化为关于的函数,可求得离心率的范围.【详解】法一:,,,,,,设,则,令,所以时,,在上单调递增,,,.法二:,,令,,,,,,,,,.故答案为:.【点睛】本题考查求双曲线的离心率的范围的问题,关键在于将已知条件转化为与双曲线的有关,从而将离心率表示关于某个量的函数,属于中档题.14.81【解析】

设数列的公比为,利用等比数列通项公式求出,代入等比数列通项公式即可求解.【详解】设数列的公比为,由题意知,因为,由等比数列通项公式可得,,解得,由等比数列通项公式可得,.故答案为:【点睛】本题考查等比数列通项公式;考查运算求解能力;属于基础题.15.【解析】

先求出抛物线的准线方程,然后根据点到准线的距离为6,列出,直接求出结果.【详解】抛物线的准线方程为,由题意得,解得.∵点在抛物线上,∴,∴,故答案为:.【点睛】本小题主要考查抛物线的定义,属于基础题.16.【解析】

用树状图法列举出所有情况,得出甲不输的结果数,再计算即得.【详解】由题得,甲、乙两人玩一次该游戏,共有9种情况,其中甲不输有6种可能,故概率为.故答案为:【点睛】本题考查随机事件的概率,是基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.【解析】

利用极坐标方程与普通方程、参数方程间的互化公式化简即可.【详解】因为,所以,所以曲线的直角坐标方程为.由,得,所以曲线的普通方程为.由,得,所以(舍),所以,所以曲线的交点坐标为.【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程,参数方程与普通方程间的互化,考查学生的计算能力,是一道容易题.18.(1)(2)答案见解析(3)答案见解析【解析】

(1)设曲线在点,处的切线的斜率为,可求得,,利用直线的点斜式方程即可求得答案;(2)由(Ⅰ)知,,分时,,三类讨论,即可求得各种情况下的的单调区间为;(3)分与两类讨论,即可判断函数的零点个数.【详解】(1),,设曲线在点,处的切线的斜率为,则,又,曲线在点,处的切线方程为:,即;(2)由(1)知,,故当时,,所以在上单调递增;当时,,;,,;的递减区间为,递增区间为,;当时,同理可得的递增区间为,递减区间为,;综上所述,时,单调递增为,无递减区间;当时,的递减区间为,递增区间为,;当时,的递增区间为,递减区间为,;(3)当时,恒成立,所以无零点;当时,由,得:,只有一个零点.【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程,利用导数研究函数的单调性,考查分类讨论思想与推理、运算能力,属于中档题.19.(1)见解析(2)【解析】

(1)第(1)问,连交于,连接.证明//,即证平面.(2)第(2)问,主要是利用体积变换,,求得三棱锥的体积.【详解】(1)方法一:连交于,连接.由梯形,且,知又为的中点,为的重心,∴在中,,故//.又平面,平面,∴平面.方法二:过作交PD于N,过F作FM||AD交CD于M,连接MN,G为△PAD的重心,又ABCD为梯形,AB||CD,又由所作GN||AD,FM||AD,得//,所以GNMF为平行四边形.因为GF||MN,(2)方法一:由平面平面,与均为正三角形,为的中点∴,,得平面,且由(1)知//平面,∴又由梯形ABCD,AB||CD,且,知又为正三角形,得,∴,得∴三棱锥的体积为.方法二:由平面平面,与均为正三角形,为的中点∴,,得平面,且由,∴而又为正三角形,得,得.∴,∴三棱锥的体积为.20.(1)证明见解析(2)【解析】

(1)取中点连接,得,可得,可证,可得,进而平面,即可证明结论;(2)设分别为边的中点,连,可得,,可得(或补角)是异面直线与所成的角,,可得,为二面角的平面角,即,设,求解,即可得出结论.【详解】(1)证明:取中点连接,由则,则,故,,平面,又平面,故平面平面(2)解法一:设分别为边的中点,则,(或补角)是异面直线与所成的角.设为边的中点,则,由知.又由(1)有平面,平面,所以为二面角的平面角,,设则在中,从而在中,,又,从而在中,因,,因此,异面直线与所成角的余弦值为.解法二:过点作交于点由(1)易知两两垂直,以为原点,射线分别为轴,轴,轴的正半轴,建立空间直角坐标系.不妨设,由,易知点的坐标分别为则显然向量是平面的法向量已知二面角为,设,则设平面的法向量为,则令,则由由上式整理得,解之得(舍)或,

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