第6章空间解析几何-6.3平面与直线

31一月20231§6.3空间的平面与直线第六章四、平面束一、平面的方程二、空间直线的方程三、点、直线、平面之间的位置关系五、小结与思考练习31一月20232①一、平面的点法式方程设一平面通过已知点且垂直于非零向称①式为平面的点法式方程,求该平面的方程.法向量.量则有故1.点法式方程31一月20233即解:

取该平面的法向量为的平面

的方程.利用点法式得平面的方程例1求过三点31一月20234M1M3M1M2，共面M1M，即平面的三点式方程设平面过不共线的三点M2(x2,y2,z2),M3

(x3,y3,z3),M1

(x1,y1,z1),对于平面上任一点M

(x,y,z),平面的三点式方程.(2)31一月202352.平面的一般方程平面的点法式方程为此方程称为平面的一般方程，其中整理得为平面的法向量。31一月20236(1)过原点的平面方程由于O(0,0,0)满足方程,所以D=0.于是,过原点的平面方程为:Ax+By+Cz=0Ax+By+Cz+D=0平面一般方程的几种特殊情况：31一月20237(2)平行于坐标轴的平面方程考虑平行于x轴的平面Ax+By+Cz+D=0,它的法向量n=(A,B,C)与x轴上的单位向量i=(1,0,0)垂直,所以n·i=A·1+B·0+C·0=A=0于是:平行于x轴的平面方程是By+Cz+D=0;平行于y轴的平面方程是Ax+Cz+D=0;

平行于z轴的平面方程是Ax+By+D=0.特别:

D=0时,平面过坐标轴.31一月20238(3)平行于坐标面的平面方程平行于xOy面的平面方程是Cz+D=0;平行于xOz面的平面方程是

By+D=0;

平行于yOz面的平面方程是Ax+D=0.(即z=k)(即y=k)(即x=k)31一月20239解:因平面通过

x轴,设所求平面方程为代入已知点得化简,得所求平面方程例2求通过x轴和点(4,–3,–1)的平面方程.(自学课本例3）31一月202310答案：31一月202311设平面为将三点坐标代入得解31一月202312将代入所设方程得平面的截距式方程31一月202313设平面为由平面过原点知所求平面方程为解31一月202314因此其一般式方程直线可视为两平面交线，(不唯一)二、空间直线的方程1.空间直线的一般方程31一月202315(1)对称式方程（点向式方程)故有说明:

某些分母为零时,其分子也理解为零.设直线上的动点为则此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程)直线方程为已知直线上一点例如,当和它的方向向量2.空间直线方程的对称式方程和参数方程31一月202316设得参数式方程:(2)参数式方程31一月202317解:先在直线上找一点.再求直线的方向向量令x

=1,解方程组,得交已知直线的两平面的法向量为是直线上一点.例5.用对称式及参数式表示直线(自学课本例5)31一月202318故所给直线的对称式方程为参数式方程为解题思路:先找直线上一点;再找直线的方向向量.31一月202319例6求与两平面x－4y=3和2x－y－5z=1的交线平行且过点(－3,2,5)的直线的方程.解：因为所求在直线与两平面的交线平行，也就是直线的方向向量s一定同时与两平面的法线向量n1、n2垂直，所以可以取

因此所求直线的方程为

31一月202320例7.求直线

与平面2x＋y＋z－6=0的交点.

解：所给直线的参数方程为x=2+t,y=3+t,z=4+2t,

代入平面方程中，得

2(2+t)+(3+t)+(4+2t)－6=0.

解上列方程，得t=－1.把求得的t值代入直线的参数方程中，即得所求交点的坐标为

x=1,y=2,z=2.

31一月2023211.两平面的夹角设平面∏1的法向量为

平面∏2的法向量为则两平面夹角θ的余弦为即定义：两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.三、点、直线、平面之间的位置关系31一月202322特别有下列结论：规定:若比例式中某个分母为0,则相应的分子也为0.31一月202323则两直线夹角

满足设直线的方向向量分别为3.两直线的夹角定义两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）称为两直线的夹角.31一月202324特别地有:31一月202325解:

直线直线二直线夹角的余弦为从而的方向向量为的方向向量为例8.求以下两直线的夹角31一月202326当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角

称为直线与平面间的夹角;当直线与平面不垂直时,设直线

L的方向向量为平面

的法向量为则直线与平面夹角

满足直线和它在平面上的投影直︿3.直线与平面的夹角31一月202327特别有:例9求过点(1,－2,4)

且与平面解:取已知平面的法向量则直线的对称式方程为直的直线方程.为所求直线的方向向量.

垂31一月202328解为所求夹角．31一月202329例11.设一平面平行于已知直线且垂直于已知平面求该平面法向量的方向余弦.提示:已知平面的法向量求出已知直线的方向向量取所求平面的法向量所求为31一月202330外一点,则是平面到平面的距离d为定理1

设4.点到平面的距离证明:设平面法向量为在平面上取一点,则P0

到平面的距离为(点到平面的距离公式)31一月202331求内切于平面

x+y+z=1

与三个坐标面所构成四面体的球面方程.例12解:

设球心为则它位于第一卦限,且因此所求球面方程为从而(先考虑平面的情况)31一月202332设直线L过点M0,方向向量为则点M到直线L距离d是以5.点到直线的距离定理231一月20233331一月202334通过定直线的所有平面的全体称为平面束，上式为通过直线L的平面束的方程.四、平面束*31一月202335定义：对于直线L,通过L的平面的全体称为平面束。对于直线L::A1x+B1y+C1z+D1=0(1):A2x+B2y+C2z+D2=0(2)12方程

(A1x+B1y+C1z+D1)+(A2x+B2y+C2z+D2)=0(3)称为L的平面束方程(表示缺少一个平面2的平面束)31一月202336平行于已知平面的所有平面的全体称为平行平面束.平行平面束例如平行于平面的平行平面束为31一月202337例14解31一月202338所求投影直线方程为31一月202339练习:求直线在平面上的投影直线方程.提示：过已知直线的平面束方程从中选择得这是投影平面即使其与已知平面垂直：从而得投影直线方程31一月202340练习.求过直线L:且与平面夹成角的平面方程.提示:过直线L的平面束方程其法向量为已知平面的法向量为选择使从而得所求平面方程不要漏掉此解!31一月202341内容小结1.平面基本方程:一般式点法式截距式31一月2023422.平面与平面之间的关系平面平面垂直:平行:夹角公式:31一月2023433.空间直线方程一般式对称式参数式31一月202344直线直线夹角公式:4.线与线的关系31一月202345平面

:L⊥

L//夹角公式：直线L:4.面与线间的关系5.平面束31一月202346作业习题6-3P29-311(5);3(5);4;8;11;12;1431一月202347思考与练习答案：31一月202348因此有垂直于平面∏:x+y+z=0,

求其方程.解:

设所求平面的法向量为即的法向量约去C,得即和则所求平面故方程为且

2.一平面通过两点31一月202349解得解1:设平面为所求平面方程为3.求过点且垂直于二平面和的平面方程.（课本习题6-31(5))31一月202350解2:

已知二平面的法向量为取所求平面的法向量则所求平面方程为化简得3.求过点且垂直于二平面和的平面方程.（课本习题6-