有限元四节点矩形单元

有限元法做为一个有效的数值分析工具，在许多科学领域当中有成功的应用。本门课程主要有以下的目的:1)了解什么是有限元法。2)了解当前有限元软件的发展水平，学会用有限元软件如何来分析一些工程问题。3)学习有限元法的原理，主要结合弹性力学问题来介绍有限元法的基本方法，包括单元分析，整体分析，载荷与约束处理，等参单元的概念等。有限元法作为一种数值方法，有限元法的起源正好是在力学领域，因此要涉及一些力学知识，但不把重点放在力学上。这门课在9周进行考试，主要考察有限元法的基本原理，方法，概念等。矩形单元也是一种常用的单元，它采用了比常应变三角形单元次数更高的位移模式，因而可以更好地反映弹性体中的位移状态和应力状态。矩形单元1234如图3-9所示，其边长分别为2a和2b，两边分别平行于x、y轴。若取该矩形的四个角点为节点，因每个节点位移有两个分量，所以矩形单元共有8个自由度。采用§3-2节中的方法，同样可以完成对这种单元的力学特性分析。然而，如果我们引入一个局部坐标系、，那么就可以推出比较简洁的结果。第六节矩形单元图3-9矩形单元1234平面问题的有限单元法返回平面问题的有限单元法在图3-9中，取矩形单元的形心为局部坐标系的原点，和轴分别与整体坐标轴x和y平行，两坐标系存在有以下的坐标变换关系(3-48)式中其中(xi,yi）是节点i的整体坐标，i=1,2,3,4。返回平面问题的有限单元法在局部坐标系中，节点i的坐标是(i,i)，其值分别为±1。取位移模式该函数称为双线性函数。将节点的局部坐标值代入上式，可列出四个节点处的位移分量，即两组四元联立方程，由此可求得位移模式中的8个未知参数1，2，…，8，(a)返回求出α1,α2,α3,α4；α

5,α

6,α7,α8平面问题的有限单元法式中，0=i，0=i，i=1,2,3,4。若写成与前面一致的形式，有式中(d)由几何方程可以求得单元的应变(e)(f)返回再把这些参数代回(a)式中，便可得到用节点位移表示的位移模式(b)平面问题的有限单元法将(b)式代入，得(g)式中(i=1,2,3,4)(3-49)由虎克定律我们可以得出用节点位移表示的单元应力，即(3-50)返回平面问题的有限单元法式中(i=1,2,3,4)(h)对于平面应力问题(3-51)若将单元刚度矩阵写成分块形式(3-52)返回其中每一个子矩阵为

由于[Bi],[Bj]都是ξ,η的函数，它不能对x,y积分，所以需要换元J称为雅可比行列式换元后积分区间为[-1,1]由集中力引起的等效节点力由表面力引起的等效节点力由体积力引起的等效节点力最后形成载荷列阵{F}矩形单元的等效节点力计算{F0}表示作用在各节点上的集中力平面问题的有限单元法四边形单元的节点位移与单元节点力之间的关系仍为(j)其中载荷列阵{R}e与上节中的(c)式相同，仍可按上式计算等效节点力。但是，需要注意的是，矩形单元有四个节点（1，2，3，4），所以{R}e具有8个元素，即(3-54)返回平面问题的有限单元法和常应变三角形单元一样，将各单元的{k}、{}e和{R}e都扩充到整个弹性体自由度的维数，再进行叠加，即可得到整个弹性体的平衡方程。即[K]{}={R}(l)由前面的讨论可以发现，四边形单元的位移模式(a)比常应变三角形单元所采用的线性位移模式增添了

项（即相当于xy项），我们把这种位移模式称为双线性模式。在这种模式下，单元内的应变分量将不再是常量，这一点可以从[B]的表达式中看出。另外，位移模式(a)中的1、2、3、5、6、7与三角形单元相同，它反映了刚体位移和返回平面问题的有限单元法常应变，而且在单元的边界上(

=±1或

=±1)，位移是按线性变化的，显然，在两个相邻单元的公共边界上，其位移是连续的。由单元的应力矩阵表达式还可以看出，矩形单元中的应力分量也都不是常量。其中，正应力分量x的主要项（即不与相乘的项）沿y方向线性变化，而正应力分量y的主要项则是沿x方向线性变化、剪应力分量xy沿x及y两个方向都是线性变化。正因为如此，若在弹性体中采用相同数目的节点时，矩形单元的精度要比常应变三角形单元的精度高。但是，矩形单元也有一些明显的缺点：其一是矩形单元不能适应斜交的边界和曲线边界；其二是不便于对不同部位采用不同大小的单元，以便提高有限元分析计算的效率和精度。返回收敛准则

收敛准则，多项式位移函数幂次的选择1.位移函数必须包含单元的刚体位移由于刚体位移不产生应变，则{ε}=0，可把下式改写

若{ε}=0,则α2=α6=α3+α5=02.位移函数必须包含单元的常应变值εx=α2,εy=α6,

γxy=α3+α5由于位移函数的选择

它可以是三角函数，也可以是有理分式，在一般情况下取多项式，多项式中各项系数的个数取决於单元的自由度数，在多项式中由於材料的各向同性，多项式的各项必须使

x和

y

对位移有相同的影响，所以就以杨