高三数学课件：第三章 第八节 应用举例

第八节应用举例1.实际问题中有关概念(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①).(2)方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②).(3)方向角相对于某一正方向的水平角(如图③)①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向.②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向.③南偏西等其他方向角类似.(4)坡度(ⅰ)定义:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．(ⅱ)坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡比)(5)视角观测点与观测目标两端点的连线所成的夹角叫做视角(如图).【即时应用】(1)思考:仰角、俯角、方位角有什么区别？提示:三者的参照不同．仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的.(2)思考:如何用方位角、方向角确定一点的位置？提示:利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置.(3)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的__________方向.【解析】由已知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°.∴灯塔A位于灯塔B的北偏西10°.答案：北偏西10°2.解三角形应用题的一般步骤(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系.(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型.(3)选择正弦定理或余弦定理求解.(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算要求.【即时应用】(1)已知A、B两地的距离为10km,B、C两地的距离为20km,现测得∠ABC=120°，则A、C两地的距离为______km.(2)如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10米，则旗杆的高度为________米.【解析】(1)如图所示，由余弦定理可得：AC2=100+400-2×10×20×cos120°=700，∴AC=10(km).(2)设旗杆高为h米，最后一排为点A，第一排为点B，旗杆顶端为点C，则在△ABC中，AB＝10，∠CAB＝45°，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°，由正弦定理，得，故h＝30米.答案：(1)10(2)30热点考向1测量距离的问题【方法点睛】求距离问题的注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.【例1】(1)如图,设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算出A，B两点的距离为()(A)(B)(C)(D)(2)(2013·福州模拟)已知两座灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于akm，灯塔A在观测站C的北偏东20°，灯塔B在观测站C的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为()(A)akm(B)(C)(D)2akm【解题指南】(1)利用三角形的内角和定理得∠ABC，再利用正弦定理可解.(2)先根据题意作出示意图，确定∠ACB的值，再由余弦定理可直接求得AB的值.【规范解答】(1)选A.由∠ACB=45°，∠CAB=105°,得∠ABC=30°,由正弦定理得∴

(2)选B.如图，∠ACB=120°,由余弦定理得cos∠ACB==则(km).【互动探究】若将本例题(1)中A，B两点放到河岸的同侧，但不能到达，在对岸的岸边选取相距的C，D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，则两点A，B之间的距离又如何求解?【解析】如图所示，在△ACD中，∵∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°，∴AC＝CD＝在△BDC中，∠CBD＝180°－45°－75°＝60°.由正弦定理可得在△ABC中，由余弦定理可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA，∴∴AB＝(km).即两点A，B之间的距离为km.【变式备选】某人在M汽车站的北偏西20°的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶.公路的走向是M站的北偏东40°.开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米.问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？【解析】由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处.在△ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得则sin2C=所以sin∠MAC=sin(120°-C)=sin120°cosC-cos120°sinC=在△MAC中，由正弦定理得从而有MB=MC-BC=15(千米),所以汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站.热点考向2测量高度问题【方法点睛】高度问题的处理方法在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(视线在水平线上方、下方的角分别称为仰角、俯角)是一个关键．在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.【提醒】高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三角形中的边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合.【例2】要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，求电视塔的高度.【解题指南】设出塔高x，先放到Rt△ABC和Rt△ABD中把BC和BD用x表示；再在△BDC中用余弦定理求得x.【规范解答】如图，设电视塔AB的高为xm，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°得BC＝x.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，∴BD＝x.在△BDC中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°，即(x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得x＝40，∴电视塔高为40米.【反思·感悟】解决高度的问题主要是根据条件确定出所利用的三角形，准确地理解仰角和俯角的概念并和三角形中的角度相对应；分清已知和待求的关系，正确地选择定理和公式，特别注意高度垂直地面构成的是直角三角形.【变式训练】某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高.【解析】如图：在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，由正弦定理得∴过B作BE⊥CD于E，显然当人在E处时，测得塔的仰角最大，有∠BEA＝30°.在Rt△BED中，∠BDE＝180°－135°－30°＝15°，∴BE＝DBsin15°＝

(米),∴在Rt△ABE中，所以塔高为米.热点考向3测量角度的问题【方法点睛】测量角度问题的关键点解决测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．同时注意把所求量放在有关三角形中，有时直接解此三角形解不出来，需要先在其他三角形中求解相关量.【例3】在海岸A处，发现北偏东45°方向、距离A处(-1)海里的B处有一艘走私船；在A处北偏西75°方向、距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船.同时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？【解题指南】设出缉私船t小时后在D处追上走私船后，确定出三角形，先利用余弦定理求出BC，再利用正弦定理求出时间.【规范解答】设缉私船t小时后在D处追上走私船，则有CD=10t,BD=10t.在△ABC中，AB=-1,AC=2,∠BAC=120°.利用余弦定理可得BC=由正弦定理，得得∠ABC=45°，即BC与正北方向垂直.于是∠CBD=120°.在△BCD中，由正弦定理，得得∠BCD=30°,又

所以当缉私船沿东偏北30°的方向能最快追上走私船，最少要花小时.

【反思·感悟】利用正弦定理和余弦定理来解实际问题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中抽取主要因素，进行适当的简化.另外要准确选择恰当的三角形，把实际问题转化到三角形中时，正确地表示出所用的边和角.【变式训练】(2012·上海高考)海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处,如图.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t.(1)当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标.若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？【解析】(1)t=0.5时，P的横坐标代入抛物线方程得P的纵坐标yP=3.由得救援船速度的大小为海里/时.由得故救援船速度的方向为北偏东度.(2)设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为(7t,12t2).由vt=整理得因为当且仅当t=1时等号成立,所以v2≥144×2+337=252,即v≥25.因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.【变式备选】如图,某污水处理厂要在一个长方体污水处理池的池底(ABCD)铺设污水净化管道(Rt△FHE,H是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好.设计要求管道的接口H是AB的中点,E，F分别落在线段BC,AD上.已知AB=20m,AD=10m,记∠BHE=θ.(1)试将污水净化管道的长度L表示成θ的函数,并写出定义域；(2)若sinθ+cosθ=,求此时管道的长度L；(3)当θ取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的长度.【解析】(1)在Rt△BHE中，EH=，在Rt△AFH中，FH=,在Rt△EFH中，所以管道总长

(2)因为sinθ+cosθ=，所以sinθcosθ=,代入(1)中结论得L=20(+1)(m)；(3)因为=设sinθ+cosθ=t=sin(θ+),sinθcosθ=,∴又θ∈［］,t∈［］,所以此时答:当

时,铺设的管道最长,为20(+1)m.1.(2013·漳州模拟)如图，D，C，B三点在地面同一直线上，DC=a，从C，D两点测得A点的仰角分别是β,α(α＜β)，则A点离地面的高度AB等于()【解析】选A.由已知得∠DAC=β-α,由正弦定理得，得而AB=AC·sinβ=2.(2013·龙岩模拟)如图，一架直升飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10千米，速度为180千米/小时，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过2分钟后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为_____千米.【解析】在△ABP中，∠BAP=30°