随机变量的数字特征1

第四章随机变量的数字特征数学期望方差协方差和相关系数矩几个重要随机变量的期望和方差存在的一些问题1.在实际问题中,求随机变量的分布函数不是一件容易的事2.只需知道随机变量的某些特征(如显像管的平均寿命,其寿命与平均寿命的偏离程度,产品质量的一致性,稳定性3.有些问题是虽有分布函数,并不能清楚地反映某一特性的本质下举一甲、乙射手打靶的例子。例设有甲、乙两射手，他们的射击技术用下表列出：甲射手乙射手

X（击中环数）89108910pk（概率）

0.30.10.60.20.50.3试问哪一个射手本领较好？分析：若两射手各射N枪，则他们打中的环数大约为甲：8*0.3N+9*0.1N+10*0.6N=9.3N乙：8*0.2N+9*0.5N+10*0.3N=9.1N当N很大时，平均起来，甲每枪射中9.3环，乙射中9.1环。4.1数学期望

一.离散型随机变量的数学期望

1.定义设X~P{X=xk}=pk,k=1,2,…,若级数绝对收敛，则称该级数为r.v.X的数学期望，简称期望或均值。记为E（X）或EX即若发散时，则称X的数学期望不存在。2.几个常用随机变量的数学期望(1)（0-1）

分布

X~P{X=k}=pk

(1p)1-

k,k=0,1(2)二项分布b(n,p)X~P{X=k}=pk

(1

p)nk,k=0,1,2,…,n(3)泊松分布p()二.连续型随机变量的数学期望1.离散化分析设X~f(x),-<x<,现在[a,b]上考虑r.v.X的期望：E(X)。把[a,b]等分成n个小区间，插入分点：a=x0<x1<…<xn=b,其中xi=xi-xi-1=(b-a)/n,i=1,2,…,n，则于是X落在(xi-1,xi]上的概率可认为是X集中在点xi处的概率。故2.定义若X~f(x),-<x<,绝对收敛，则称其为连续型r.v.X的数学期望。即3.几个常用随机变量的数学期望（1）均匀分布U(a,b)（2）正态分布N(,2)三、随机变量的期望的意义1、从数学期望定义的形式上看，它是X可能值以其相应概率的加权平均；2、若对X的取值进行多次观察，则它的观测值的算术平均值X将在E(X)附近摆动。四、随机变量函数的数学期望在许多实际问题中，我们要计算随机变量的函数Y=g(X)的数学期望，用以前的方法先要求出Y的密度函数f(y)，再计算E(Y)，事实上，有更简便的方法，我们不加证明地给出下面的定理。定理1

若X~P{X=xk}=pk,k=1,2,…,则Y=g(X)的期望推论若(X,Y)~P{X=xi,Y=yj,}=pij,i,j=1,2,…,则Z=g(X，Y)的期望定理2

若X~f(x),-<x<,则Y=g(X)的期望推论若(X,Y)~f(x,y),-<x<,-<y<,则Z=g(X,Y)的期望五、数学期望的性质1.E(C)=C,C为常数;2.E(aX+b)=aE(X)+b,a,b为常数;3.E(X+Y)=E(X)+E(Y);4.若X与Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y).可推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情形。例：设盒中有n张卡片，它们的编号分别为1,2,…,n，从中有放回地抽取k次，求所抽卡片的号码之和的数学期望。解：以Xi表示第i次所抽卡片的号码，X表示k次所抽卡片的号码之和，那末因是有放回地抽取，有例1用Y表示伯努利试验中首次成功时失败的次数，则Y~P{Y=k}=(1-p)k

p,k=0,1,2,…,

例2设

期望不存在。例3设4.2方差

一.方差的定义

方差是衡量随机变量取值与其均值的偏离程度的一个数字特征。定义若E(X)存在，则称E[X-E(X)]2为r.v.X的方差，记为D(X),或Var(X).

另外，称为X的均方差或标准差，其量纲与X的一致。二、方差的性质(1)D(C)=0;C为常数；(2)D(kX+b)=k2D(X),k,b为常数；(3)若X，Y独立，则D(X+Y)=D(X)+D(Y);(4)D(X)=0存在常数C，使P{X=C}=1,且C=E(X);(5)对任意CR,E(XC)2≥

D(X),且

minE(XC)2=E[XE(X)]2=D(X).三、方差的计算

D(X)=E(X2)-[E(X)]2.四、几个常用随机变量的方差1.（0-1）

分布

X~P{X=k}=pk

(1p)1-

k,k=0,12.二项分布b(n,p)X~P{X=k}=pk

(1

p)nk,k=0,1,2,…,n3.泊松分布p()

4.均匀分布U(a,b)5.正态分布N(,2)五、切比雪夫不等式若r.v.X的期望和方差存在，则对任意0，有这就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。它有以下几种等价的形式：

记2=D(X),=E(X),则对k>0,有

下证证：六、随机变量的方差的意义1.从方差定义的形式上看，它是X的可能值与E(X)之差的平方以相应概率为权的加权平均；2.从Chebyshev不等式看出，方差反映了X的取值对于E(X)的分散程度。4.3协方差，相关系数

一、协方差的定义

若随机变量

X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在,则称E{[XE(X)][YE(Y)]}为X与Y的协方差,记为Cov(X，Y),即Cov(X,Y)=E{[XE(X)][YE(Y)]}而称为X与Y的相关系数或标准协方差。(无量纲)二、基本定理定理一对于随机变量V,W,若则有[E(VW)]2E(V2)E(W2).证：考虑实变量t的函数即[E(VW)]2E(V2)E(W

2).

Q(t)=0,有一重根t0,等价于[E(VW)]2=E(V2)E(W

2).

这时该不等式称为Cauchy-Schwarz不等式.定理二设XY是X与Y的相关系数，则有

(1)|XY|1(2)|XY|=1X与Y依概率1线性相关，即存在常数a,b使P{Y=aX+b}=1证:在定理一中取V=Y-E(Y),W=X-E(X)(1)

即|XY|

1(2)若|XY|=1，相当于[E(VW)]2=E(V2)E(W2).

即P{V+t0W=0}=1,P{Y=aX+b}=1,a,b为常数定义：若XY=0，则称X与Y不相关，否则称X与Y相关。

称为X的标准化，易知EX*=0，DX*=1.Cov(X*,Y*)称为X与Y的标准化协方差，易知三、协方差的性质(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(aX,bY)=ab

Cov(X,Y),其中a,b为常数；(3)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z);(4)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)；(5)D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y).(6)X与Y不相关Cov(X,Y)=0;(7)X与Y独立，则X与Y不相关，反之不然。例设(X,Y)在D={(X,Y)：x2+y21}上服从均匀分布，则X与Y不相关，但不是相互独立的。但对(X,Y)二维正态随机变量来说，X和Y不相关与X和Y相互独立等价。

见课本P.1304.4矩、协方差矩阵

一.矩1.K阶原点矩若E(|X|k)存在，则称Ak=E(Xk),k=1,2,…为X的K阶原点矩；2.K阶中心矩若E|X-E(X)|k存在，则称Bk=E[X-E(X)]k,k=1,2,…为X的K阶中心矩；易知E(X)=A1,D(X)=B2.3.k+l阶混合原点矩

E(Xk

Yl),k,l=0,1,2,…；4.k+l阶混合中心矩

E{[XE(X)]k[YE(Y)]l},k,l=0,1,2,…；易知Cov(X,Y)=E{[XE(X)][YE(Y)]}是k+l阶混合中心矩。

可见矩对于随机变量而言是一般的数字特征，而数学期望、方差、协方差等都是一些特殊的矩。二.协方差矩阵1.定义设X1，…,Xn为n个r.v.,记cij=Cov(Xi,Xj),i,j=1,2,…,n.则称C为X1,…,Xn的协方差矩阵。2.协方差矩阵的性质(1)C=C’,其中C’