《函数的应用（小结）》设计

《函数的应用（小结）》教学设计【教学目标】知识与技能：（1）理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件（2）二分法求方程的根．（3）函数应用过程与方法：零点存在性的判定；二分法求近似解方法．情感、态度、价值观：在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．【教学重点】重点：零点的概念及存在性的判定；二分法求近似解方法．难点：零点的确定．【教学过程】一、复习回顾，1.函数的零点对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点（zeropoint）．显然，函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标．方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．2.函数零点的判定：研究方程的实数根也就是研究相应函数的零点，也就是研究函数的图象与x轴的交点情况。

一定在区间（a，b）上。若交点不在（a，b）上，则它不是函数图象。通过上述探究，让学生自己概括出零点存在性定理：一般地，我们有：如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线并且有f（a）·f（b）<0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）＝0的根．⑴函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．⑵函数零点的求法：求函数的零点：①（代数法）求方程的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．⑶二次函数的零点：．①△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．②△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．③△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．二分法：对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）．给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤如下：1）确定区间，验证，给定精确度；2）求区间的中点；3）计算；4）判断：（1）若，则就是函数的零点；（2）若，则令（此时零点）；（3）若，则令（此时零点）．5）判断：区间长度是否达到精确度？即若，则得到零点近似值；否则重复2——5．三、练习1．函数f(x)＝x2－3x－4的零点是()A．(1，－4) B．(4，－1)C．1，－4 D．4，－1[答案]D[解析]由x2－3x－4＝0，得x1＝4，x2＝－1.2．(2015·河北孟村回民中学月考试题)若函数f(x)在[a，b]上连续，且同时满足f(a)·f(b)＜0，.则()A．f(x)在上有零点B．f(x)在上有零点C．f(x)在上无零点D．f(x)在上无零点[答案]B[解析]由已知，易得，因此f(x)在上一定有零点，但在其他区间上可能有零点，也可能没有零点．3．函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在区间为()A． B．C． D．[答案]C[解析]∵f(x)在其定义域(0，＋∞)上是单调递增函数，而在四个选项中，只有，∴函数f(x)的零点所在区间为，故选C.4．(2010·浙江)已知x0是函数的一个零点．若，，则()A．f(x1)＜0，f(x2)＜0 B．f(x1)＜0，f(x2)＞0C．f(x1)＞0，f(x2)＜0 D．f(x1)＞0，f(x2)＞0[答案]B[解析]由于函数在(1，＋∞)上单调递增，函数h(x)＝2x在(1，＋∞)上单调递增，故函数f(x)＝h(x)＋g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在(1，＋∞)上只有唯一的零点x0，且f(x1)＜0，f(x2)＞0，故选B.5．某工厂2010年生产某种产品2万件，计划从2011年开始每年比上一年增产20%，那么这家工厂生产这种产品的年产量从哪一年开始超过12万件？()A．2019年 B．2020年C．2018年 D．2021年[答案]B[解析]设经过x年这种产品的年产量开始超过12万件，则，即，∴，取x＝10，故选B.6．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：由此可以判断方程ax2＋bx＋c＝0的两个根所在的区间是()A．(－3，－1)和(2，4) B．(－3，－1)和(－1，1)C．(－1，1)和(1，2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)[答案]A[解析]∵f(－3)＝6＞0，f(－1)＝－4＜0，∴f(－3)·f(－1)＜0.∵f(2)＝－4＜0，f(4)＝6＞0，∴f(2)·f(4)＜0.∴方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间分别是(－3，－1)和(2，4)．7．用二分法求方程f(x)＝0在区间(1，2)内的唯一实数解x0时，经计算得f(1)＝，f(2)＝－5，，则下列结论正确的是()A． B．C． D．x0＝1[答案]C[解析]由于，则．8．某研究小组在一项实验中获得一组关系y、t之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系()A．y＝2t B．y＝2t2C．y＝t3 D．y＝log2t[答案]D[解析]由点(2，1)，(4，2)，(8，4)，故选D.9．设a，b，k是实数，二次函数f(x)＝x2＋ax＋b满足：f(k－1)与f(k)异号，f(k＋1)与f(k)异号．在以下关于f(x)的零点的说法中，正确的是()A．该二次函数的零点都小于kB．该二次函数的零点都大于kC．该二次函数的两个零点之间差一定大于2D．该二次函数的零点均在区间(k－1，k＋1)内[答案]D[解析]由题意得f(k－1)·f(k)＜0，f(k)·f(k＋1)＜0，由零点的存在性定理可知，在区间(k－1，k)，(k，k＋1)内各有一个零点，零点可能是区间内的任何一个值，故D正确．10．(2015·山东梁山一中期中试题)若函数f(x)＝x3－x－1在区间[1，]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算列表如下那么方程x3－x－1＝0的一个近似根(精确度为0，1)为()A． B．C． D．[答案]B[解析]由于f＞0，f＜0，且1．375－＜，故选B.11．(2015·河北广平县高一期中试题)“龟兔赛跑”讲过了这样一个故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到了终点，用分别表示乌龟和兔子所行的路线，t为时间，则图中与故事情节相吻合的是()[答案]D12．已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则()A．a＜b＜c B．a＜c＜bC．b＜a＜c D．c＜a＜b[答案]B[解析]因为，f(0)＝1＞0，所以f(x)的零点a∈(－1，0)；因为g(2)＝0，所以g(x)的零点b＝2；因为，h(1)＝1＞0，所以h(x)的零点．因此a＜c＜b.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．若函数f(x)＝mx2－2x＋3只有一个零点，则实数m的取值是________．[答案][解析]若m≠0，则Δ＝4－12m＝0，，又m＝0也符合要求，14．(2015·全国高考湖南卷文科，14题)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．[答案](0，2)[解析]，即，由函数于y＝b图象得，0<b<2.15．已知y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示．令f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋，则下列关于f(x)＝0的解叙述正确的是________．①有三个实根；②x＞1时恰有一实根；③当0＜x＜1时恰有一实根；④当－1＜x＜0时恰有一实根；⑤当x＜－1时恰有一实根(有且仅有一实根)．[答案]①⑤[解析]f(x)的图象是将函数y＝x(x－1)(x＋1)的图象向上平移个单位得到．故f(x)的图象与x轴有三个交点，它们分别在区间(－∞，－1)，和内，故只有①⑤正确．16．某工程由A、B、C、D四道工序完成，完成它们需用的时间依次、x、4天，四道工序的先后顺序及相互关系是：A、B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B、C完成后，D可以开工，若完成该工程总时间数为9天，则完成工序C需要的天数x最大为________．[答案]3[解析]如图，设工程所用总天数为f(x)，则由题意得：当x≤3时，f(x)＝5＋4＝9，当x>3时，f(x)＝2＋x＋4＝6＋x，∴，∵工程所用总天数f(x)＝9，∴x≤3，∴x最大值为3.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设函数，其中x∈R，当m＞1时，判断函数f(x)在区间(0，m)内是否存在零点．[解析]∵，∴，又∵m＞1，∴f(m)＜0，∴f(0)·f(m)＜0.∵函数f(x)的图象在区间[0，m]上是一条连续曲线，∴函数在区间(0，m)内存在零点．18．(本小题满分12分)设函数的两个零点分别是－3和2；(1)求f(x)；(2)当函数f(x)的定义域是[0，1]时，求函数f(x)的值域．[解析](1)因为f(x)的两个零点分别是－3，2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－3＝0，,f2＝0，))即解得故f(x)＝－3x2－3x＋18.(2)由(1)知f(x)＝－3x2－3x＋18，其图象的对称轴为，开口向下，所以f(x)在[0，1]上为减函数，则f(x)的最大值为f(0)＝18，最小值为f(1)＝12.所以值域为[12，18]．19．(本小题满分12分)用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间(1，内的一个零点(精确度．[解析]由于f(1)＝1－1－1＝－1＜0，f＝－－1＝＞0，所以f(x)在区间(1，内存在零点，取区间(1，作为计算的初始区间，用二分法逐次计算列表如下：因为|－|＜，所以原函数精确度的零点近似值可取为.20．(本小题满分12分)某公司是一家专做产品A的国内外销售的企业，每一批产品A上市销售40天内全部售完．该公司对第一批产品A上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图，图①中的折线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图②中的抛物线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图③中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系(国内外市场相同)．(1)分别写出国内市场的日销售量f(t)、国外市场的日销售量g(t)与第一批产品A的上市时间t的关系式；(2)第一批产品A上市后，求日销售利润Q(t)的解析式．[解析](1)当0≤t≤30时，设f(t)＝kt，由60＝30k，解得k＝2，则f(t)＝2t.当时，设f(t)＝at＋b，由解得则f(t)＝－6t＋240.所以，国内市场的日销售量为设g(t)＝at(t－40)，由60＝20a(20－40)，解得.所以，国外市场的日销售量(2)设每件产品A的销售利润为q(t)，由题图易得从而这家公司的日销售利润Q(t)的解析式＝21．(本小题满分12分)(2015·河北唐山一中期中)有甲，乙两家健身中心，两家设备和服务都相当，但收费方式不同．甲中心每小时5元；乙中心按月计费，一个月30小时以内(含30小时)90元，超过30小时的部分每小时2元．某人准备下个月从这两家选择一家进行健身活动，其活动不少于15小时，也不超过40小时．(1)设在甲中心健身x小时的收费为f(x)元，在乙中心健身活动x小时的收费为g(x)元．试求f(x)和g(x)(15≤x≤40)；(2)选择哪家比较合算？为什么？[解析](1)f(x)＝5x，15≤x≤40，(2)当5x＝90时，x＝18，即当15≤x＜18时，f(x)＜g(x)，当x＝18时，f(x)＝g(x)，当18＜x≤40时，f(x)＞g(x)．∴当15≤x＜18时，选甲家比较合算；当x＝18时，两家一样合算；当18＜x≤40时，选乙家比较合算．22．(本小题满分12分)一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的eq\f(1,4)，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？[分析](1)根据10年的砍伐面积为原来的一半，列方程求解．(2)根据到今年