《总体集中趋势的估计》设计

《总体集中趋势的估计》教学设计【教学目标】1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数．(平均数、中位数、众数)．2.理解集中趋势参数的统计含义．【教学重点】利用频率分布直方图来估计总体的平均数、中位数、众数【教学难点】理解集中趋势参数的统计含义【课时安排】1课时【教学过程】认知初探1．众数、中位数和平均数的定义(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．(2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数．如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数．(3)平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数．2．众数、中位数和平均数的比较名称优点缺点平均数与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大中位数不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响对极端值不敏感众数体现了样本数据的最大集中点众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感3.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系(1)平均数：在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替．(2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等．(3)众数：众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据．思考1哪些量能刻画总体取值的特征？提示:平均数、中位数、众数等,都是刻画“中心位置”的量,它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势.思考2：在频率分布直方图中得到的特征量平均数、中位数、众数是样本数据的特征量吗？提示:在频率分布直方图中得到的特征量是样本数据特征量的估计值,近似值,不是精确值.在频率分布直方图中估计样本的特征量,进而用样本估计总体,估计总体的特征量.1．一组样本数据为：19,23,12,14,14,17,10,12,18,14,27，则这组数据的众数和中位数分别为()A．14,14B．12,14C．14,D．12,A[把这组数据按从小到大排列为：10,12,12,14,14,14,17,18,19,23,27，则可知其众数为14，中位数为14.]2．某校从高一年级参加期末考试的学生中抽出60名，其成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示，由此估计此次考试成绩的中位数、众数分别是(),75B．,80C70,70D．70，75A[由题图可知小于70分的有24人，大于80分的有18人，则在[70,80)之间的有18人，所以中位数落在[70,80)这组内，且为70＋eq\f(10,3)≈；众数就是频率分布直方图中最高的矩形底边中点的横坐标，即eq\f(70＋80,2)＝75.]3．如果5个数x1，x2，x3，x4，x5的平均数为7，那么x1＋1，x2＋1，x3＋1，x4＋1，x5＋1这5个数的平均数是________．8解析：∵eq\f(x1＋x2＋x3＋x4＋x5,5)＝7，∴eq\f(x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＋x4＋1＋x5＋1,5)＝eq\f(x1＋x2＋x3＋x4＋x5,5)＋1＝7＋1＝8.即x1＋1，x2＋1，x3＋1，x4＋1，x5＋1这5个数的平均数为8.4．对于数据3，3，2，3，6，3，10，3，6，3，2，有下列结论：①这组数据的众数是3；②这组数据的众数与中位数的数值不相等；③这组数据的中位数与平均数的数值相等；④这组数据的平均数与众数的数值相等．其中正确的结论是①解析：选A.在这11个数中，数3出现了6次，频率最高，故众数是3；将这11个数按从小到大顺序排列得2，2，3，3，3，3，3，3，6，6，10，中间数据是3，故中位数是3；而平均数eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(2×2＋3×6＋6×2＋10,11)＝4.故只有①正确．例题讲解平均数、中位数和众数的计算【例1】已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有()A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．c＞a＞b D．c＞b＞aD[由题意得a＝eq\f(1,10)(16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13)＝eq\f(157,10)＝，中位数为16，众数为18，则b＝16，c＝18，∴c＞b＞a.]方法总结(1)求样本数据的中位数和众数时，把数据按照从小到大的顺序排列后，按照其求法进行．(2)求样本数据的平均数的难点在于计算的准确性．当堂练习1已知一组数据按从小到大排列为-8,-1,4,x,10,13且这组数的中位数是7,那么这组数据中的众数是 () D.【解析】选D.因为共有六个数,因此,当按从小到大的顺序排列后,中位数等于最中间两数的平均数,因此,x=10.所以众数为10.平均数、中位数和众数的实际应用[例2]某公司销售部有销售人员15人，为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下：每人销售件数1800510250210150120人数113532(1)求这15位销售人员该月销售量的平均数、中位数及众数；(2)假设销售部负责人把每位销售人员的月销售定额定为320件，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较合理的销售定额．[解析](1)平均数eq\x\to(x)＝eq\f(1,15)×(1800×1＋510×1＋250×3＋210×5＋150×3＋120×2)＝320(件)，中位数为210件，众数为210件．(2)不合理，因为15人中有13人的销售额达不到320件，也就是说320虽是这一组数据的平均数，但它却不能反映销售人员的一般水平．销售额定为210件要合理些．由于210既是中位数，又是众数，是绝大部分人都能达到的销售额．方法总结利用样本数字特征进行决策时的两个关注点(1)平均数与每一个数据都有关，可以反映更多的总体信息，但受极端值的影响大；中位数是样本数据所占频率的等分线，不受几个极端值的影响；众数只能体现数据的最大集中点，无法客观反映总体特征．(2)当平均数大于中位数时，说明数据中存在许多较大的极端值．当堂练习2高一(2)班有男同学27名，女同学21名，在一次语文测验中，男同学的平均分是82分，中位数是75分，女同学的平均分是80分，中位数是80分．(1)求这次测验全班的平均分(精确到分)；(2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的同学至少有多少人；(3)分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因．[解析](1)利用平均数计算公式得eq\x\to(x)＝eq\f(1,48)×(82×27＋80×21)≈(分)．(2)∵男同学成绩的中位数是75分，∴至少有14人得分不超过75分．又∵女同学成绩的中位数是80分，∴至少有11人得分不超过80分．∴估计全班至少有25人得分低于80分(含80分)．(3)男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学的成绩中两极分化现象严重，分数高的和低的相差较大．根据频率分布直方图求平均数、中位数和众数例3从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如下的频率分布直方图．由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求：(1)这50名学生成绩的众数与中位数；(2)这50名学生的平均成绩．【解】(1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在直方图中高度最高的小长方形的底边中点的横坐标即为所求，所以众数应为75.由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等．因此在频率分布直方图中将所有小矩形的面积一分为二的垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标所对应的成绩即为所求．因为×10＋×10＋×10＝＋＋＝，所以前三个小矩形面积的和为.而第四个小矩形面积为×10＝，＋＞，所以中位数应位于第四个小矩形内．设其底边为x，高为，所以令＝，得x≈，故中位数应约为70＋＝.(2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，即每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的面积求和即可．所以平均成绩为45××10)＋55××10)＋65××10)＋75××10)＋85××10)＋95××10)＝.方法总结频率分布直方图的数字特征(1)众数：众数一般用频率分布表中频率最高的一组的组中值来显示，即在样本数据的频率分布直方图中，最高矩形的底边中点的横坐标；(2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等；(3)平均数：平均数在频率分布表中等于组中值与对应频率之积的和．当堂练习3为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图，则：(1)这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75)的人数是______；(2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数为______；(3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数为______；(1)13(2)(3)64解析：(1)