均值不等式求最值 学霸总结对点训练

均值不等式求最值方法总结口决：正，二定，三取等。积定和最小，和定积最大。（求和的式子乘积为定值，求积的式子和为定值。）基本公式：.若a,b>0，则a+b>2ab当且仅当a=b取“=”.若a,b,c>0，则a+b+c>33abc当且仅当a=b=c取“二”3,若a,beR，则a2+b2>2ab当且仅当a=b取“=”4.贝U(2+a2+a2)(2+b2+b2)>(ab+ab+12n12n1122+abnnaa“二，，12拓展公式：.若a,b>0，则ab<(a^b)2<a2^b222.若a,b,c>0，则abc<aa+*c)33当且仅当a=b取“=”当且仅当a=b=c取“=”a2+b27.若a，beR，贝|ab<218,若x>0，贝Ux+->2x1若x<0，贝Ux+—<—2x.若ab>0，则a+->2ba若ab<0，则a+b<-2

ba.若a,beR，则(a+b)2<a2+b222当且仅当a=b取“=”当且仅当x=1取“二”当且仅当x=-1取“=”当且仅当a=b取“=”当且仅当a=b取“=”当且仅当a=b取“=”_二或L-.犯方法出结；2环血表）上将皿上豹k偃」知孰舞花广庐二工，陋现千城傕^_二或L-.犯方法出结；2环血表）上将皿上豹k偃」知孰舞花广庐二工，陋现千城傕^二-基.初忒,◎,/辑.卜委3^^~:朴力打，格聿得赤£疑潮/二1碓J@__^tk±c^3yTbc~.S峻—>22帖一人鱼技代与"¥叫.甚2±1海愎_xl^MMl,_—,如用1房'站£_产于=AF--9、次,a斗浜/彳）（口」5一匚/*二心=匚，〔a$匠FL,_3*6*，a斗取乐）5a*b^-C^。,a=b”取专>i"b&k.*g_）—'；~“二["，I*-1用JQ]，-壬=一1肽笄）―=——空尸十之行一Q%>。，q~b喀箜）,3——―L_i_„,2h_^*d__（，・bV。.,_Qh》辰才）*——£LA^-kfeRx.__a二b%①一一妙谊十C?nbtbc寸缺工d,U、JUi^£MWWW匚仙।J__:均值不博讨求却良方垓（月外f/一姐中3十*产均浒盥忒'_JL任/@揖雕君曼£而6”乂加JUASENWEM1月|一、“1”代换1、直接代入形如ax+by=1,求m+九最值的式子可用直接代入法xyii19.-①已知x>0,y>0，且+=1,求x+y的最小值。xy错解：：'x>0,y>0，且+=1，/.x+y=1+9(x+y)>22xy=12故(x+y)=12。..xyIxyJxymin错因：解法中两次连用基本不等式，在x+y>2xy等号成立条件是x=y，在1+9>29等号成xyxy立条件是1=9即y=9x，取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，xy列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解:八八19正解:八八19«x>0,y>0,+=1，xy...x+y=(x+y)1+9IxyJy9xy++10>6+10=16xy(x+y)=16(x+y)=16。min当且仅当=■时，上式等号成立，又+=1，可得x=4,y=12时，x_yxy对点练习：（i）若x,y£R+且2x+y=1，求］+1的最小值xy（2）已知a,b,x,y£R+且a+b=1，求x+y的最小值

xy2、转换为“1”（略）11对点练习：若logx+logy=2，求v+”的最小值.并求x,y的值44xy3、“1”的平方例7若川：+/_工二%*,求拄+8的最大值中解；屋+1+r>如i"=3%匕’+『+r>3加er=36「①一〃一.・一！时」…

二、凑1、增减项①(略)对点练习：已知％<54，求函数y=4%-2+1的最大值。

4%—5二、凑1、增减项①(略)对点练习：已知％<54，求函数y=4%-2+1的最大值。

4%—5②已知x,y为正实数，且x2+y22=1,求x1+y2的最大值.2a2+b2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式abW2同时还应化简1+y2中y2前面的系数为2,%1+y2=%2.七y2+y2+2面将%，12＋y22分别看成两个因式：+y2+2x2＋(W1+y22+22)2x2＋y222＋213二4即%1+y2=2•%1+y22+2③形如y=mg(%)+A+B(A>0,B>0)(%)g(x)恒正或恒负，求最值的式子④16对点练习：求函数y=3%2+,的最小值。2+%22、凑系数①当口UXC4时，求y=%(8—2%)的最大值。解析：由口知，2%+(8—2%)=8为定值，将y=%(8—2%)凑上一个系数即可。y=XS-2x）=l[2x>（8-2项M；户4；-2乎=g当2x=E-2克，即％=2时取等号当％=2时，y=x（8—2x）的最大值为8。②已知x>0,y>0,且3x+2y=12,求lgx+1gy的最大值。解：x>0,y>0,lgx+1gy=1gQy）=lg3x'2y<1g1f3"：2y]=1g1J；]=1g66|_612J\|_612J_当且仅当3x=2y,即x=2,y=3时，等号成立，所以最大值是1g6。…3-、对点练习：设0<x<，求函数y=4x（3—2x）的最大值。3、拆项①均拆整式（略）②拆整式变分式例1已知0Mx〈匕求函数j—十—大.川的最大值.解=）=_/（工+1）+（工+1）=（工+1）（1_工工）=（工+1『（]_工）4川川“」节1+与+…[32=4.••]=工M4=«——o当且仅当二…L上式取」一③拆分式例6已知。<.大々冗，求函数'-」“2’的最小值。%inxTtT.因为腿——5吟T吗.啊.当且仅当X刎时一式取士。故工「小④均拆幕指数

例卡打"r'：弁函|旌।,1'；L；；IJ的最上底解；1均拆棘指数)T二+I-3a>0.1y—*"1-:i1)=r.f(]—3r)当JI仪当?_]—即,=；时，等号成立，即产的坡小小为4、凑等量X2+7X+10①y=1(x>-1)求的值域。X+1解析：将分子配方凑出含有(x+1)的项，再将其分离。二十1x+1X+1・一,八4-八当或二一1，即时,y>2(x+1)义+5=9(当且仅当x=1时取“=”号)。x+1已知工>—],求用数丫=挑二1的最大值.件驾解IQj-imiAO,二1=（工/1「斗4卜七叫M当且我当了二1时,上式取ifeV=3。ilklX③略对点练习:对点练习:例13已知。＜工＜],求图数丫=3+」一的最小值。x]-工解：因为。所以1一大；＞。。所以J=*+—!—=|"工+0一：)]|-+^—1=5+^——^+—^—＞90

X]-A-Jl,.V|-A)X|--X当且代当IM."二——时,即一口匚,上式取W故，皿=9e工1一13\4<|例15已知兀Y,二EK,且J寸+二=1,求+—的最小值。xy<M-设2>o,故有2C+丫+：-])=u。>iVT+4Va"+(iy[X—A=12,JX--Ao当且俚当——A-1'.--=A*同时成立时上述不等ay£式取3即#=L,**=,£二।代入M+丫■!■耳三1•解得工=36.此时—2=36।枚—r1—71'717T久y工的最小值力拓。4、凑参数例1：已加工仁二，求函数'41-2+^—的最大值。TOC\o"1-5"\h\z44.V-5解，因力――5＜口，所以首先要"调整”符号，又(仆一2)」_不是常数，所以对小一2要进行拆、篌项,'4-V-55if1\"".'i＜-...5-4＞0.；.v=4-1-24-=_；5-4-^h|十3，一工+3=144-^-5、5-4aJ当且仅当5—4工=」一，即工=1时，上式等号成立，故当工=1时，=U①J、三、平方1、公式法①已知％,y为正实数，3x+2j=10,求函数W=3x+2y的最值.W>0,牝=3%+2y+23%-2y=10+23x-2y<10+(3%)2・(2y)2=10+(3%+2y)=20.*.WW20=25对点练习：求函数y=2x-l+5-2%(1<%<5)的最大值。2、两边同时平方①求函数》=2x-l+5-2%(1<%<5)的最大值。解析：注意到2x-1与5一2x的和为定值。y2=(2x-1+5—2x)2=4+2(2x-1)(5—2x)<4+(2x-1)+(5—2x)=8又y>0,所以0<y<22当且仅当2x-1=5-2x，即x=3时取等号。故y=22。2max例3已知0工工<,3求函数丁=七（4—的最大值。解1r=36■寸（4一Yf=18犬2王（4一£）（4一工］<IK27当且仅当2—寸（4一小），即窜=毡时।上式取"J故口3.—世③ab2(a+b)=4,求2a+b的最值四、替换①（略）②（略）③已知a,b为正实数，2b+ab+a=30,求函数y=；^ai/的最小值.由已知得：30—ab=a+2b：a+2b三22ab;令u=ab则u2+22u—3OW0,—52WuW3・•・abW32,abW18,.'.y三±1830—ab三22ab2对点练习：1.已知a>0,b>0,ab—（a+b）=1,求a+b的最小值。a2b2c2④求b+c+a的最小值。五、多次均值①X+y+的最值町②(X+y)+(1+9)的最值xy六、消元①8a+2b=ab,求a+b的最值。②x—3y+2z=0,求y2的最值xz③已知X,J为正实数，且X2+12=1,求X1+y2的最大值.2七、倒数法0<,jv<一.一例4已知2,求函数和-2町的最小值.分析分母是工与2耳的积、可通过配系数，使它们的相为定值；也可通地配系效，使它们的和为口+片（这是解本题时真正需要的I于是逋过取倒数即•・••］■锦决问瓶.网］一"113兀』一2工『一口』工『-311+j-3工十1一2工［WI1十龙.1+工=J_TOC\o"1-5"\h\z―32-12取例效，得--办_1一工工1当且仅当1；工一17.即时，取等号.故F的鼠小值是H八、单调法X2+