微积分和数学建模知识总结

...wd......wd......wd...微积分与数学模型〔上册〕任课教师：陈骑兵小组成员张程1440610405王子尧1440610402李昊奇1440610403梅良玉1440610426方旭建1440610406李柏睿1440610428第1章函数，极限与连续1.1函数的基本概念准备知识〔掌握集合与区间的相关知识〕函数定义：设x和y是两个变量，D是一个给定的数集。如果对于任意xD，按照某一法那么f，变量y都有确定的值和它对应，那么称f为定义在D上的函数，数集D称为函数的定义域，x称为自变量，y称为因变量。与x对应的y的值记做f(x)，称为函数f在x处的函数值。D上所有的数值对应的全体函数值的集合称为值域函数特性：1：函数的有界性设f(x)在集合X上有定义，假设存在M>=0,使得对任意x属于X都有f(x的绝对值<=M,那么称函数f(x在)X上有界；否那么，称函数f(x)在X上无界。2：函数的单调性3：函数的奇偶性4：函数的周期性5：分段函数6：复合函数1.2初等函数常值函数如：y=C,C为常数；幂函数如：y=x,R为常数；指数函数如：y=a,a>0且a1；对数函数如：y=,a>0且a1；三角函数如：y=sinx,y=cosx,y=tanx；反三角函数如：y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx；以及双曲函数1.3极限的概念〔1).极限的直观定义：当x接近于某个常数x0但不等于x0时，假设f(x)趋向于常数A，那么称A为f(x)当x趋向于x0时的极限。.极限的准确定义：给定函数f(x)和常数A，假设对于∀ε>0〔无论ε多么小〕，总彐δ>0,使得当0<|x-x0|<ε,那么称A为f(x)当x趋于x0时的极限，记做limf(x)=A.单侧极限和极限的关系：〔定理〕limf(x)=A.成立的充要条件是左极限limf(x)和右极限limf(x)均存在且都等于A〔定理〕limf(x)=A的充要条件是limf(x)=limf(x)=A1.4极限的性质与运算性质：唯一性：假设limf(x)存在，那么必唯一局部有界性：假设limf(x)=A，那么存在M>0以及>0，使得当0<|x-x0|<时，有|f(x)|M局部保号性：假设imf(x)=A，且A>0(或A<0)，那么存在>0，使得当0<|x-x0|<时，有f(x)>0(或f(x)<0)运算假设limf(x)=A,limg(x)=B,那么①.lim[f(x)±g(x)]存在，且lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B;②.limf(x)·g(x)存在，且limf(x)g(x)=limf(x)·limg(x)=AB;③.假设B≠0，那么lim[f(x)/g(x)]存在，且lim[f(x)/g(x)]=limf(x)/limg(x)=A/B夹逼准那么：假设函数f(x),g(x),h(x)满足:当x∈U(x0,δ)时，有g(x)≤f(x)≤h(x)；〔2)limx→x0g(x)=A,limx→x0h(x)=A,那么极限limx→x0f(x)存在,且等于A。两个重要极限：=1\*ROMANIlim=1通用形式：lim=1=2\*ROMANIIlim(1+)=e通用形式：lim(1+)=e1.5无穷小量无穷小量的定义：假设对于∀ε>0，彐δ>0，使得当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)|<ε,那么称f(x)为x→x0时的无穷小量。注：〔1〕无穷小量是一个以零为极限的变量；〔2〕无穷小量不是一个数，不要将其与非常小的数混淆；〔3〕0是唯一可作为无穷小量的常数。无穷大量的定义：假设对于∀M>0，彐δ>0，使得当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)|>M,那么称f(x)为x→x0时的无穷大量定理：(1)假设f(x)为无穷大量，那么1/f(x)为无穷小量；(2)假设f(x)为无穷小量，且f(x)≠0，那么1/f(x)为无穷大量。无穷小量的运算性质：=1\*alphabetica两个无穷小量的和或差仍为无穷小量；b有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量；C常数与无穷小量的乘积仍为无穷小量；d有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量。无穷小量的比较：a假设lim(β/α)=0,那么称β是α的高阶无穷小，Fb假设lim(β/α)=∞,那么称β是α的低阶无穷小，c假设lim(β/α)=C≠0,那么称β是α的同阶无穷小，d假设lim(β/α)=1,那么称β与α是等阶无穷小，记做β~α。1.6函数的连续性连续函数的定义：=1\*romani假设函数f(x)在包含x0的某个领域U(x0,δ)内有定义，且limx→x0f(x)=f(x0)，那么称f(x)在点x连续=2\*romanii假设函数f(x)在包含x0的某个领域U(x0,δ)内有定义，且limΔx→0Δy=0,其中Δy表示对应于自)在包含x0的某个右(左)领域内有定义，且左右极限相等，那么称f(x)在点x右〔左〕连续。连续点及其分类满足条件：f(x)x=xlimf(x)存在limf(x)=f(x)三者有一个不成立，那么称f(x)在点x连续,称x为连续点第一类连续点：可去连续点跳跃连续点第二类连续点：跳跃连续点振荡型连续点连续函数的运算性质与初等函数的连续性连续函数的四那么运算法那么：假设f(x),g(x)均在x0连续，那么f(x)±g(x),f(x)·g(x)及f(x)/g(x)(g(x0)≠0)都在x0连续；反函数的连续性假设y=f(x)在区间Ix上单值，单增(减)，且连续，那么其反函数x=φ(y)也在对应的区间Ix={y|y=f(x),x∈Ix}上单值，单增(减),且连续；复合函数的连续性函数u=φ(x)在点x=x0连续，且φ(x0)=u0，函数y=f(u)在点u0连续，那么复合函数y=f(φ(x))在点x0处连续。结论：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。1.7闭区间上连续函数的性质最值定理：=1\*romani闭区间上的连续函数在该区间一定有界=2\*romanii闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值介值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)，那么对于f(a)f与f(b)之间的任意常数C， 在(a,b)内至少存在一点x,使得f(x)=C(a<x<b)推论：设f(x)在[a,b]上连续，那么对于C〔m,M)，必存在x(a,b)，使得f(x)=C零点存在定理：设f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b)<0,那么在开区间(a,b)内，至少存在一点，使得f()=0，即f(x)在〔a,b)内至少有一个零点。重点：=1\*romani理解并掌握初等函数的特性以及分段函数和复合函数。=2\*romanii.理解并掌握极限的定义；性质和四那么运算=3\*romaniii掌握夹逼准那么的定理及应用=4\*romaniv掌握无穷小量的实质和性质=5\*romanv理解连续函数的定义难点：=1\*ROMANI掌握极限与连续函数间的内在联系=2\*ROMANII掌握两个重要极限的形式并且能熟练运用=3\*ROMANIII能熟练运用等价无穷小之间的转换求极限=4\*ROMANIV能牢记并准确判断出函数连续点的类型=5\*ROMANV能运用数学建模解决实际问题第二章导数与微分2.1导数的定义设函数=()在点及其某领域内有定义，当自变量在处取得增量(+)()，如果=存在，那么称函数在点处可导，并称此极限值为函数在点处的导数，记为。常见的导数表达式还有：和。2.1.3单侧倒数如果极限存在，那么称此极限值为函数在的左导数，记做，如果极限存在，那么称此极限值为函数的右导数，记做。2.2函数的运算法那么；〔2〕；；基本初等函数的导数公式； 〔2〕；； 〔4〕；；〔6〕；；(8)；〔9〕； 〔10〕；〔11〕；〔12〕；〔13〕； 〔14〕；〔15〕； 〔16〕；2.3隐函数的导数，由参数方程所确定的函数的导数假设因变量表示为自变量的明确表达式，那么称为显函数而有时变量和的关系不用显式给出，甚至某些情况下不能用显式给出，就产生了隐函数。一般地，称由方程F(，)所确定的函数为隐函数。隐函数的求导发设由方程，确定了隐函数，于是对方程两端关于求导，遇到直接求导，遇到就将看成的函数，再乘以对的导数，得到一个含有的方程，然后从中解除即可。2.4高阶导数一般地，函数的导数任然是的函数，它称为的一阶导数，如果的导数存在，就称其为函数的二阶导数，记做，或，根据导数的定义，，类似的，函数的三阶导数，...，阶导数的导数就称为阶导数，分别记做 ...，或，...，或.2.5微分设函数在点及其领域有定义，假设在点处的增量与自变量增量满足如下关系，其中A是与无关的常数，是→0时的高阶无穷小，那么称函数在点处可微，称为函数在点处的微分，并记为丨，称为的线性主部。2.5.2微分的运算法那么〔C为常数〕； 〔2〕； ； (4(5)； (6)(7)； (8)；(9)； (10〕；〔11〕； 〔12〕；〔13〕； 〔14〕；〔15〕； 〔16〕；2.微分的四那么运算法那么由函数的和，差，积，商的求导法那么，可得到微分的四那么运算法那么，设函数，在点处可微，那么有；；；；第三章微分中值定理与导数的应用第一节微分中值定理费马引理：设函数在点的某邻域内有定义，并且在处可导，如果对任意的，有〔或〕，那么。证：不妨设时，，对于，有，故当时，；当时，，由保号性，，故。罗尔定理〔Rolle〕如果函数满足：〔1〕在闭区间上连续〔2〕在开区间内可导，〔3〕，那么至少存在一点，使得在该点的导数等于零：=0二、拉格朗日中值定理1〕Lagrange中值定理〔或有限增量定理，微分中值定理〕：如果函数满足：〔1〕在闭区间上连续，〔2〕在开区间内可导。那么至少存在一点，使注1：拉格朗日中值公式反映了可导函数在上整体平均变化率与在内某点处函数的局部变化率的关系.因此,拉格朗日中值定理是联结局部与整体的纽带.2：直线，故既为有向线段值的函数。3：当时，此定理即为罗尔定理，故罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形。几何意义：假设连续曲线的弧上除端点外处处具有不垂直于轴的切线，那么这弧上至少有一点C，使曲线在点处切线平行于弦。Lagrange公式变形：设，，那么有在或上就有〔〕或记，那么有，[故也叫有限增量定理]定理：如果函数在区间I上的导数恒为零，那么〔，C为常数〕推论：连续函数在区间上有，那么柯西中值定理柯西中值定理：如果函数及在闭区间上连续，在开区间内可导，且在内的每一点处均不为零，那么在内至少有一点，使成立。第二节洛必达法那么一、未定式：当时，函数与都趋于零或都趋于无穷大，那么，极限可能存在，也可能不存在，称此极限为未定式，分别记为：型或型。定理1：洛必达法那么：〔型〕〔〕设①，②在点的某去心邻域，及存在，且③存在〔或为无穷大〕那么型①②且③存在〔或为〕那么对于型，〔同时为或同时为型〕，，，型的未定式，可以转化为或型未定式来计算。解决方法：取倒数，通分，取对数二、其它类型：型，型，型(1)对于型，可将乘积化为除的形式，即化为或型的未定式来计算.(2)对于型，可利用通分化为型的未定式来计算.(3)对于型，可先化以为底的指数函数的极限，再利用指数函数的连续性，化为直接求指数的极限，指数的极限为的形式，再化为或型的未定式来计算.第三节泰勒公式泰勒〔Taylor〕中值定理：如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数，那么对时，[可以表示为的一个次多项式与一个余项之和。]〔*〕称为Lagrange型余项，其中是与之间的某个值。且公式〔*〕称为按的幂展开的阶泰勒公式。注：当n=0时,泰勒公式变为拉格朗日中值定理第四节函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性的判定法：设函数在上连续，在内可导。①假设时，，那么在上单调增加②假设时，，那么在上单调减少二、曲线的凹凸性与拐点定义：设在区间Ⅰ上连续，如果对，恒有那么称在I上的图形是〔向上〕凹的〔或凹弧〕反之假设恒有那么称在I上的图形是〔向上〕凸的〔或凸弧〕。定理：[利用二阶导数符号判别曲线凹凸性]设在上连续，在内具有一阶和二阶导数，那么〔1〕假设在内，，那么在上的图形是凹的〔2〕假设在内，，那么在上的图形是凸的第五节函数的极值与最大值最小值一、函数的极值及其求法定义：设函数在点的某邻域内有定义，如果对于去心邻域中的任一，有〔或〕就称是的一个极大值〔或极小值〕在附近一局部范围内时，为最大值，但整个定义域内未必是最大值。定理1：函数取得极值的必要条件：设函数在点处可导,且在处取得极值，那么驻点：使的点为函数的驻点。1、可导函数的极值点必定是它的驻点，但函数的驻点却不一定是极值点。一个函数只能在它的驻点及不可导点处取得极值。定理2：〔函数取得极值的第一充分条件〕：设在在点处连续，且在的某一个邻域内可导，且：假设在点附近时，〔1〕当时，，当时，，那么在处取得极大值。〔2〕假设当时，，时，，那么在处取得极小值。〔3〕假设当及时，都有或，那么在处无极值。定理3：〔函数取得极值的第二充分条件〕：设在点处具有二阶导数，且，，〔不是不存在〕，那么：〔1〕当时，在处取极大值；〔2〕当时，在取极小值。求函数的极值点和极值的步骤：〔1〕确定函数的定义域，并求其导数;〔2〕解方程求出的全部驻点与不可导点;〔3〕讨论在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况，确定函数的极值点;〔4〕求出各极值点的函数值，就得到函数的全部极值.最大值最小值问题求函数在上的最大〔小〕值的步骤如下：计算函数在一切可能极值点的函数值，并将它们与相比较，这些值中最大的就是最大值，最小的就是最小值；即第六节函数图形的描绘内容要点：1、渐近线的概念水平渐近线铅直渐近线斜渐近线；2、函数图形的描绘：一、曲线渐近线：如果动点沿某一曲线无限远离原点时，动点到一条定直线的距离趋于0，称此直线为该曲线的一条渐近线。水平渐近线：〔常数〕，称直线y=b是水平渐近线铅直渐近线：，称直线铅直渐近线〔即在连续点处〕斜渐近线：〔常数〕〔常数〕那么直线是斜渐近线二、描绘函数图形的一般步骤1、确定的定义域〔函数的奇偶性、周期性〕求2、求出的全部实根〔在定义域为〕，及不存在的点，将定义域划分成几个局部区间3、列表4、确定每个区间内的符号，判定图形升降和凹凸性，极值点和拐点。5、确定水平，铅直及斜渐近线，6、描一些特殊点：极值点、拐点、曲线与坐标轴交点等，联结这些点利用性质画图第四章不定积分一、不定积分的概念1、原函数设在区间I上可导，且就称为在I的一个原函数。2、不定积分假设函数是的一个原函数，那么的原函数的一般表达式称为的不定积分，记作其中称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式， 称为积分变量，称为积分微元。3、不定积分的几何意义在平面直角坐标系中，的任一个原 函数的图形，称为的一条积分曲线，其方程为，而称为的积分曲线族二、本章教学的重难点重点：熟悉不定积分的概念及性质，牢记不定积分的基本公式，理解并运用不定积分的的凑微分法与换元法。难点：换元法、分部积分法等基本积分方法以及抽象函数的积分不定积分的性质 性质1：或性质2：或性质3：其中为非零常数性质4：不定积分的基本积分公式 2. 4. 6. 8. 10. 12. 14. 16. 18. 21.不定积分的计算方法1、第一类换元法〔凑微分法〕〔其中可导，为的一个原函数〕2、第二类换元法()〔其中单调可导，且，为的一个原函数〕常用的代换有三种，即三角代换、根式代换和倒代换。3、分布积分法〔其中具有连续导数〕有理函数与三角函数有理式的积分两个多项式的商所表示的函数称为有理函数，有理函数总可以化为多项式与真分式的代数和，而真分式总可以分解为局局部式的代数和，所以有理函数的积分可化为整式和以下四中局局部式的积分。〔1〕 〔2〕〔3〕 〔4〕而求这四种积分也可以凑微积分法或第二类换元法。三角函数有理式的积分，总可用万能代换将原不定积分化为为积分变量的有理函数的积分，但对有些三角有理式的积分，有时用三角公式转化，再用前所述的基本积分公式或积分方法求解，可能更简便些。第五章定积分及其应用5.1定积分的概念与性质众所周知，微积分的两大局部是\t"://baike.baidu/_blank"微分与\t"://baike.baidu/_blank"积分。一元函数情况下，求微分实际上是求一个函数的\t"://baike.baidu/_blank"导数，而积分是一个函数的导数，求\t"://baike.baidu/_blank"原函数。所以，微分与积分互为\t"://baike.baidu/_blank"逆运算。定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积。即由y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。这个图形称为\t"://baike.baidu/_blank"曲边梯形，特例是\t"://baike.baidu/_blank"曲边三角形设函数f(x)在区间[a,b]上\t"://baike.baidu/_blank"连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1],(x1,x2],(x2,x3],…,(xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0,△x2=x2-x1,…,△xn=xn-xn-1。在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi〔1,2,...,n〕，作和式

。设λ=max{△x1,△x2,…,△xn}〔即λ是最大的区间长度〕，那么当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]的\t"://baike.baidu/_blank"定积分，记为其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a,b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积表达式，∫叫做积分号。之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个\t"://baike.baidu/_blank"函数。根据上述定义，假设函数f(x)在区间[a,b]上可积分，那么有n等分的特殊分法：特别注意，根据上述表达式有，当[a,b]区间恰好为[0,1]区间时，那么[0,1]区间积分表达式为：5.2微积分基本公式牛顿-莱布尼兹公式设在上连续，是在上的任一原函数那么证明：与均是在上的原函数那么(为常数，)令，而故从而即假设令，得：为了方便，今后记或。积分限函数定义及性质设函数在区间上连续，并且设为上的一点，考察定积分

，如果上限在区间上任意变动，那么对于每一个取定的值，定积分有一个对应值，所以它在上定义了一个函数，记积分上限函数积分上限函数〔或变上限定积分〕的自变量是上限变量，在求导时，是关于x求导，但在求积分时，那么把x看作常数，积分变量t在积分区间上变动。积分上限函数对x求导后的结果为f(x).5.3定积分的换元法与分部积分法●定积分换元法应该注意：三换：一换积分变量，二换被积分函数，三换积分上下限。引入新变量时要注意使换元函数在积分区间上单调且具有连续导数。作什么样的变量替换一般要从被积函数的形式入手，与不定积分的换元法非常类似，但又有不同，其不同之处在于定积分中积分变量的取值范围是确定的，即上下限，因此在作换元后被积函数的形式往往更具体。变限积分函数一般是用其导数的性质，如果被积函数中含积分上下限变量x，一般先把x提到积分号外才能求导数；假设不能直接提出积分号，可考虑用换元法把x变换到积分的上下限中去再求导。●利用被积函数的特点进展积分：被积函数是奇偶函数且在对称区间上积分直接利用性质：等于零〔当被积函数为奇函数〕：或等于2倍的一半区间上的积分〔当被积函数为偶函数〕。被积函数不是奇偶函数但在对称区间上作积分，可以考虑利用变换x=-u。被积函数假设是周期函数或三角函数，首先要考虑利用周期函数的性质计算积分，这样可简化计算。被积函数是分段函数，计算时先利用积分的区间可加性将积分拆成在各段上分别积，在合起来；被积函数带有绝对值符号，首先脱掉绝对值符号转化为分段函数再积分。●用分部积分法计算定积分这是定积分计算中的一个重点内容，其应用关键同不定积分一样，是恰当地选取u和v，特别适用于当被积函数可看成两个函数的乘积时，其寻找u和v的思路同不定积分一样，可自己对照不定积分的分部积分法来研究定积分的分部积分法，同不定积分法类似，在定积分计算时，换元法与分部积分法也常常是一起来使用的。5.4广义积分\t"://baike.baidu/view/_blank"定积分概念的推广至积分\t"://baike.baidu/view/_blank"区间无穷和被积\t"://baike.baidu/view/_blank"函数在有限区间上为无界的情形成为广义积分，又名\t"://baike.baidu/view/_blank"反常积分。其中前者称为无穷限广义积分，或称无穷积分；后者称为\t"://baike.baidu/view/_blank"无界函数的广义积分，或称\t"://baike.baidu/view/_blank"瑕积分。无穷积分：设\t"://baike.baidu/view/_blank"函数f(x)\t"://baike.baidu/view/_blank"定义在[a,+∞)上。假设f(x)在任意[a,A](A>a)上可积，我们称\t"://baike.baidu/view/_blank"积分形式∫(A→+∞)f(x)dx为f(x)在[a,+∞)上的无穷积分。类似可定义-∞时的无穷积分。\t"://baike.baidu/view/_blank"瑕积分：设函数f(x)定义在[a,b)上，而f(x)在x=b的任一左\t"://baike.baidu/view/_blank"邻域内f(x)\t"://baike.baidu/view/_blank"无界〔此时称x=b为f(x)的瑕点〕。假设f(x)在任意[a,b-ε](0<ε<b-a)上可积，我们称积分形式∫(a→b)f(x)dx为f(x)在[a,b)上的\t"://baike.baidu/view/_blank"瑕积分。类似可定义a为瑕点时的\t"://baike.baidu/view/_blank"瑕积分。又设c∈(a,b),函数f(x)以点c为暇点，那么当两个反常积分∫(a→c)f(x)dx和∫(c→b)f(x)dx均收敛时，反常积分∫(a→b)f(x)dx\t"://baike.baidu/view/_blank"收敛。其值定义为：∫(a→b)f(x)dx=∫(a→c)f(x)dx+∫(c→b)f(x)dx=lim(ε→0+)∫[a→c-ε]f(x)dx+lim(ε→0+)∫[c+ε→b]f(x)dx,否那么该反常积分\t"://baike.baidu/view/_blank"发散 5.5定积分的几何应用计算平面图形的面积时，一般先画出大体图形，然后根据图形的特点选择是用直角坐标系还是极坐标系，通常图形与圆有关时选择极坐标系，这样运算起来更简单一些。在直角坐标系下还要根据图形的形状选择恰当地积分变量，如果不是公式所给的类型，还需要对图形进展分割，分割后的每一块都是四种标准中的一种，然后再积分；极坐标系类似，恰当地选择积分变量和积分区域可给计算带来方便，另外，可利用图形的对称性简化计算。计算曲边梯形绕坐标轴旋转成旋转体体积时，利用切片发，即把旋转体看成由一系列垂直于旋转轴的圆形薄片组成，而此薄片体积就是体积元。计算曲线弧长时，主要根据曲线的方程，选择相应的公式写出弧微分ds，继而求出弧长。〔4〕计算旋转体的侧面积时，需注意是哪个绕的旋转轴，假设是绕x轴旋转，只要带入上面所给的公式；假设是绕y轴旋转，那么要根据上面公式稍作改变即可。第五章定积分及其应用5.1定积分的概念与性质众所周知，微积分的两大局部是\t"://baike.baidu/_blank"微分与\t"://baike.baidu/_blank"积分。一元函数情况下，求微分实际上是求一个函数的\t"://baike.baidu/_blank"导数，而积分是一个函数的导数，求\t"://baike.baidu/_blank"原函数。所以，微分与积分互为\t"://baike.baidu/_blank"逆运算。定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积。即由y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。这个图形称为\t"://baike.baidu/_blank"曲边梯形，特例是\t"://baike.baidu/_blank"曲边三角形设函数f(x)在区间[a,b]上\t"://baike.baidu/_blank"连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1],(x1,x2],(x2,x3],…,(xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0,△x2=x2-x1,…,△xn=xn-xn-1。在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi〔1,2,...,n〕，作和式

。设λ=max{△x1,△x2,…,△xn}〔即λ是最大的区间长度〕，那么当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]的\t"://baike.baidu/_blank"定积分，记为其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a,b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积表达式，∫叫做积分号。之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个\t"://baike.baidu/_blank"函数。根据上述定义，假设函数f(x)在区间[a,b]上可积分，那么有n等分的特殊分法：特别注意，根据上述表达式有，当[a,b]区间恰好为[0,1]区间时，那么[0,1]区间积分表达式为：5.2微积分基本公式牛顿-莱布尼兹公式设在上连续，是在上的任一原函数那么证明：与均是在上的原函数那么(为常数，)令，而故从而即假设令，得：为了方便，今后记或。积分限函数定义及性质设函数在区间上连续，并且设为上的一点，考察定积分

，如果上限在区间上任意变动，那么对于每一个取定的值，定积分有一个对应值，所以它在上定义了一个函数，记积分上限函数积分上限函数〔或变上限定积分〕的自变量是上限变量，在求导时，是关于x求导，但在求积分时，那么把x看作常数，积分变量t在积分区间上变动。积分上限函数对x求导后的结果为f(x).5.3定积分的换元法与分部积分法●定积分换元法应该注意：三换：一换积分变量，二换被积分函数，三换积分上下限。引入新变量时要注意使换元函数在积分区间上单调且具有连续导数。作什么样的变量替换一般要从被积函数的形式入手，与不定积分的换元法非常类似，但又有不同，其不同之处在于定积分中积分变量的取值范围是确定的，即上下限，因此在作换元后被积函数的形式往往更具体。变限积分函数一般是用其导数的性质，如果被积函数中含积分上下限变量x，一般先把x提到积分号外才能求导数；假设不能直接提出积分号，可考虑用换元法把x变换到积分的上下限中去再求导。●利用被积函数的特点进展积分：被积函数是奇偶函数且在对称区间上积分直接利用性质：等于零〔当被积函数为奇函数〕：或等于2倍的一半区间上的积分〔当被积函数为偶函数〕。被积函数不是奇偶函数但在对称区间上作积分，可以考虑利用变换x=-u。被积函数假设是周期函数或三角函数，首先要考虑利用周期函数的性质计算积分，这样可简化计算。被积函数是分段函数，计算时先利用积分的区间可加性将积分拆成在各段上分别积，在合起来；被积函数带有绝对值符号，首先脱掉绝对值符号转化为分段函数再积分。●用分部积分法计算定积分这是定积分计算中的一个重点内容，其应用关键同不定积分一样，是恰当地选取u和v，特别适用于当被积函数可看成两个函数的乘积时，其寻找u和v的思路同不定积分一样，可自己对照不定积分的分部积分法来研究定积分的分部积分法，同不定积分法类似，在定积分计算时，换元法与分部积分法也常常是一起来使用的。5.4广义积分\t"://baike.baidu/view/_blank"定积分概念的推广至积分\t"://baike.baidu/view/_blank"区间无穷和被积\t"://baike.baidu/view/_blank"函数在有限区间上为无界的情形成为广义积分，又名\t"://baike.baidu/view/_blank"反常积分。其中前者称为无穷限广义积分，或称无穷积分；后者称为\t"://baike.baidu/view/_blank"无界函数的广义积分，或称\t"://baike.baidu/view/_blank"瑕积分。无穷积分：设\t"://baike.baidu/view/_blank"函数f(x)HYPERLINK"://baike.baidu/vi