高考文科数学圆锥曲线专题复习

...wd......wd......wd...高三文科数学专题复习之圆锥曲线知识归纳：名称椭圆双曲线图象定义平面内到两定点的距离的和为常数〔大于〕的动点的轨迹叫椭圆即当2﹥2时，轨迹是椭圆，当2＝2时，轨迹是一条线段当2﹤2时，轨迹不存在平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数〔小于〕的动点的轨迹叫双曲线即当2﹤2时，轨迹是双曲线当2＝2时，轨迹是两条射线当2﹥2时，轨迹不存在标准方程焦点在轴上时：焦点在轴上时：注：根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上焦点在轴上时：焦点在轴上时：常数的关系，，最大，，最大，可以渐近线焦点在轴上时：焦点在轴上时：抛物线：图形方程焦点准线〔一〕椭圆1.椭圆的性质：由椭圆方程〔1〕范围：，椭圆落在组成的矩形中。〔2〕对称性:图象关于y轴对称。图象关于x轴对称。图象关于原点对称。原点叫椭圆的对称中心，简称中心。x轴、y轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。〔3〕顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆共有四个顶点：，。加两焦点共有六个特殊点。叫椭圆的长轴，叫椭圆的短轴。长分别为。分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。〔4〕离心率：椭圆焦距与长轴长之比。。。椭圆形状与的关系：，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在时的特例。椭圆变扁，直至成为极限位置线段，此时也可认为是椭圆在时的特例。2.椭圆的第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率。椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式3.椭圆的准线方程对于，左准线；右准线对于，下准线；上准线焦点到准线的距离〔焦参数〕〔二〕双曲线的几何性质：1.〔1〕范围、对称性由标准方程，从横的方向来看，直线x＝－a,x＝a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线。双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心。〔2〕顶点顶点：，特殊点：实轴：长为2a,a叫做实半轴长。虚轴：长为2b，b叫做虚半轴长。双曲线只有两个顶点，而椭圆那么有四个顶点，这是两者的又一差异。〔3〕渐近线过双曲线的渐近线〔〕〔4〕离心率双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率范围：e>1双曲线形状与e的关系：，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。2.等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。等轴双曲线的性质：〔1〕渐近线方程为：；〔2〕渐近线互相垂直；〔3〕离心率。3.共渐近线的双曲线系如果一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：或写成。4.共轭双曲线以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。区别：三量a,b,c中a,b不同〔互换〕c一样。共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上。确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为－1。5.双曲线的第二定义：到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是双曲线。其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线。常数e是双曲线的离心率。6.双曲线的准线方程：对于来说，相对于左焦点对应着左准线，相对于右焦点对应着右准线；焦点到准线的距离〔也叫焦参数〕。对于来说，相对于下焦点对应着下准线；相对于上焦点对应着上准线。〔三〕抛物线的几何性质〔1〕范围因为p＞0，由方程可知，这条抛物线上的点M的坐标〔x，y〕满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。〔2〕对称性以－y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。〔3〕顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当y＝0时，x＝0，因此抛物线的顶点就是坐标原点。〔4〕离心率抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示。由抛物线的定义可知，e＝1。【典型例题】例1.根据以下条件，写出椭圆方程〔1〕中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为1/2、长轴长为8；〔2〕和椭圆9x2＋4y2＝36有一样的焦点，且经过点〔2，－3〕；〔3〕中心在原点，焦点在x轴上，从一个焦点看短轴两端的视角为直角，焦点到长轴上较近顶点的距离是。分析：求椭圆的标准方程，首先要根据焦点位置确定方程形式，其次是根据a2＝b2＋c2及条件确定a2、b2的值进而写出标准方程。解：〔1〕焦点位置可在x轴上，也可在y轴上因此有两解：〔2〕焦点位置确定，且为〔0，〕，设原方程为,〔a>b>0〕，由条件有，故方程为。〔3〕设椭圆方程为,〔a>b>0〕由题设条件有及a2＝b2＋c2，解得b＝故所求椭圆的方程是。例2.直线与双曲线相交于A、B两点，当为何值时，A、B在双曲线的同一支上当为何值时，A、B分别在双曲线的两支上解：把代入整理得：……〔1〕当时，由>0得且时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点假设A、B在双曲线的同一支，须>0，所以或。故当或时，A、B两点在同一支上；当时，A、B两点在双曲线的两支上。例3.抛物线方程为〔p>0〕，直线过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3，求p的值。解：设与抛物线交于由距离公式|AB|＝那么有由从而即由于p>0，解得例4.过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程.解法一：由e=,得,从而a2=2b2,c=b.设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上.那么x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12－x22)+2(y12－y22)=0,设AB中点为(x0,y0),那么kAB=－,又(x0,y0)在直线y=x上，y0=x0,于是－=－1,kAB=－1,设l的方程为y=－x+1.右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′),由点(1,1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)2=2b2,b2=.∴所求椭圆C的方程为=1,l的方程为y=－x+1.解法二：由e=,从而a2=2b2,c=b.设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x－1),将l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0,那么x1+x2=,y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－.直线l：y=x过AB的中点(),那么,解得k=0，或k=－1.假设k=0,那么l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=－1，直线l的方程为y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一.解法3：设椭圆方程为直线不平行于y轴，否那么AB中点在x轴上与直线中点矛盾。故可设直线，，，，，，，，，，，，，那么，，，，所以所求的椭圆方程为：例5.如图，△P1OP2的面积为，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为的双曲线方程.解：以O为原点，∠P1OP2的角平分线为x轴建设如以下列图的直角坐标系.设双曲线方程为=1(a＞0,b＞0)由e2=，得.∴两渐近线OP1、OP2方程分别为y=x和y=－x设点P1(x1,x1),P2(x2,－x2)(x1＞0,x2＞0),那么由点P分所成的比λ==2,得P点坐标为(),又点P在双曲线=1上，所以=1,即(x1+2x2)2－(x1－2x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2①即x1x2=②由①、②得a2=4,b2=9故双曲线方程为=1.例6.点B〔－1，0〕，C〔1，0〕，P是平面上一动点，且满足〔1〕求点P的轨迹C对应的方程；〔2〕点A〔m,2〕在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且AD⊥AE，判断：直线DE是否过定点试证明你的结论.〔3〕点A〔m,2〕在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD，AE，且AD，AE的斜率k1、k2满足k1·k2=2.求证：直线DE过定点，并求出这个定点.解：〔1〕设【模拟试题】〔答题时间：50分钟〕选择题1.是任意实数，那么方程所表示的曲线不可能是〔〕A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆2.椭的一条准线方程是，那么实数的值是〔〕A.7或－7 B.4或12 C.1或15 D.03.双曲线的离心率，那么的取值范围为〔〕A.B.〔－12，0〕C.〔－3，0〕D.〔－60，－12〕4.以的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为〔〕A. B.C. D.5.抛物线的焦点坐标为〔〕A. B. C. D.6.点A〔－2，1〕，的焦点为F，P是的点，为使取得最小值，点的坐标是〔〕A.B.C.D.7.双曲线的渐近线方程为，一条准线方程为，那么双曲线方程为〔〕A. B.C. D.8.抛物线到直线距离最近的点的坐标为〔〕A. B. C. D.9.动圆的圆心在抛物线上，且动圆与直线相切，那么动圆必过定点〔〕A.〔4，0〕B.〔2，0〕C.〔0，2〕D.〔0，－2〕10．中心在原点，焦点在坐标为(0，±5)的椭圆被直线3x－y－2=0截得的弦的中点的横坐标为，那么椭圆方程为()二、填空题11.到定点〔2，0〕的距离与到定直线的距离之比为的动点的轨迹方程为______________。12.双曲线的一条准线是，那么___________。13.点〔－2，3〕与抛物线的焦点距离是5，____________。14．直线l的方程为y=x+3,在l上任取一点P，假设过点P且以双曲线12x2－4y2=3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为________________。三、解答题15.双曲线的中心在原点，过右焦点F〔2，0〕作斜率为的直线，交双曲线于M、N两点，且＝4，求双曲线方程。16.过椭圆的左焦点作直线交椭圆于、，为右焦点。求：的最值17.椭圆的一个焦点为，对应的准线方程为，且离心率满足，成等比数列。〔1〕求椭圆的方程。〔2〕试问是否存在直线，使与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线平分假设存在，求出的倾角的取值范围，假设不存在，请说明理由。18.如以下列图，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积.

【试题答案】1.C 2.C 3.B 4.A 5.B6.A 7.A 8.B 9.B10.C11.12.－ 13.414.=115.解：设所求双曲线方程为〔a>0，b>0〕，由右焦点为〔2，0〕。知c＝2，b2＝4－a2那么双曲线方程为，设直线MN的方程为：，代入双曲线方程整理得：〔20－8a2〕x2＋12a2x＋5a4－32a2＝0设M〔x1,y1〕,N〔x2,y2〕,那么解得：，故所求双曲线方程为：16.解：直线：为参数、为与椭圆的交点∴∴∴时时17.解：〔1〕依题意，成等比数列，可得设P〔〕是椭圆上任一点依椭圆的定义得化简得即为所求的椭圆方程〔2〕假设存在因与直线相交，不可能垂直轴所以设的方程为：由消去得，有两个不等实根设两交点M、N的坐标分别为线段MN恰被直线平分即代入得直线倾角的范围为解：由题意，可设l的方程