2022年江苏省南通市普通高校对口单招高等数学一自考预测试题(含答案)

2022年江苏省南通市普通高校对口单招高等数学一自考预测试题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.A.exln2

B.e2xln2

C.ex+ln2

D.e2x+ln2

2.

3.

若y1·y2为二阶线性常系数微分方程y〞+p1y'+p2y=0的两个特解，则C1y1+C2y2（）.A.为所给方程的解，但不是通解

B.为所给方程的解，但不一定是通解

C.为所给方程的通解

D.不为所给方程的解

4.当x→0时，x2是x-ln(1+x)的()．

A.较高阶的无穷小B.等价无穷小C.同阶但不等价无穷小D.较低阶的无穷小

5.

6.A.A.

B.

C.

D.

7.若收敛，则下面命题正确的是()A.A.

B.

C.

D.

8.A.A.

B.

C.

D.

9.

10.A.A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.无关条件

11.A.A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.无法判定敛散性

12.微分方程y'+y=0的通解为y=A.e-x+C

B.-e-x+C

C.Ce-x

D.Cex

13.设y=e-5x，则dy=（）A.-5e-5xdxB.-e-5xdxC.e-5xdxD.5e-5xdx

14.下列关系式中正确的有()。A.

B.

C.

D.

15.

16.若，则()。A.-1B.0C.1D.不存在

17.对于微分方程y"-2y'+y=xex，利用待定系数法求其特解y*时，下列特解设法正确的是（）。A.y*=(Ax+B)ex

B.y*=x(Ax+B)ex

C.y*=Ax3ex

D.y*=x2(Ax+B)ex

18.设y=3+sinx，则y=()A.-cosxB.cosxC.1-cosxD.1+cosx

19.下列关系正确的是()。A.

B.

C.

D.

20.若函数f(x)=5x，则f'(x)=

A.5x-1

B.x5x-1

C.5xln5

D.5x

二、填空题(20题)21.设z=x3y2，则

22.

23.

24.若当x→0时，2x2与为等价无穷小，则a=______．

25.

26.

27.

28.

29.=______．

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.幂级数的收敛区间为______．

37.过点M0(2，0，-1)且平行于的直线方程为______．

38.

39.

40.

三、计算题(20题)41.求微分方程的通解．

42.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

43.

44.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．

45.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

46.

47.

48.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

49.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

50.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

51.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

52.

53.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

54.

55.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．

56.

57.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．

58.证明：

59.

60.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

四、解答题(10题)61.

62.

63.设z=z(x，y)是由F(x＋mz，y＋nz)=0确定的，其中F是可微函数，m、n是

64.

65.设z=z(x，y)由方程z3y-xz-1=0确定，求出。

66.

67.计算

68.

69.

70.

五、高等数学(0题)71.要造一个容积为4dm2的无盖长方体箱子，问长、宽、高各多少dm时用料最省?

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.B因f'(x)=f(x)·2,即y'=2y，此为常系数一阶线性齐次方程，其特征根为r=2，所以其通解为y=Ce2x，又当x=0时，f(0)=ln2,所以C=ln2,故f(x）=e2xln2.

2.B

3.B

4.C解析：本题考查的知识点为无穷小阶的比较．

由于

可知当x→0时，x2与x-ln(1+x)为同阶但不等价无穷小．故应选C．

5.A

6.B本题考查的知识点为级数收敛性的定义．

7.D本题考查的知识点为级数的基本性质．

由级数收敛的必要条件：若收敛，则必有，可知D正确．而A，B，C都不正确．

本题常有考生选取C，这是由于考生将级数收敛的定义存在，其中误认作是un，这属于概念不清楚而导致的错误．

8.A

9.A

10.D

11.C

12.C

13.A

14.B本题考查的知识点为定积分的性质．

由于x，x2都为连续函数，因此与都存在。又由于0＜x＜1时，x＞x2，因此

可知应选B。

15.D

16.D不存在。

17.D特征方程为r2-2r+1=0，特征根为r=1(二重根)，f(x)=xex，α=1为特征根，因此原方程特解y*=x2(Ax+B)ex，因此选D。

18.B

19.B由不定积分的性质可知，故选B．

20.C本题考查了导数的基本公式的知识点。f'(x)=(5x)'=5xln5.

21.12dx+4dy；本题考查的知识点为求函数在一点处的全微分．

由于z=x3y2可知，均为连续函数，因此

22.1-m

23.6x2

24.6；本题考查的知识点为无穷小阶的比较．

当于当x→0时，2x2与为等价无穷小，因此

可知a=6．

25.x-arctanx+C；本题考查的知识点为不定积分的运算．

26.[01)∪(1+∞)

27.

28.

29.本题考查的知识点为定积分的换元积分法。设t=x/2，则x=2t，dx=2dt．当x=0时，t=0；当x=π时，t=π/2。因此

30.

31.0

32.f(0)．

本题考查的知识点为导数的定义．

由于f(0)＝0,f(0)存在，因此

本题如果改为计算题，其得分率也会下降，因为有些考生常常出现利用洛必达法则求极限而导致运算错误：

因为题设中只给出f(0)存在，并没有给出f(x)(x≠0)存在，也没有给出f(x)连续的条件，因此上述运算的两步都错误．

33.

34.3本题考查了幂级数的收敛半径的知识点.

所以收敛半径R=3.

35.(1+x)2

36.(-2，2)；本题考查的知识点为幂级数的收敛区间．

由于所给级数为不缺项情形，

可知收敛半径，收敛区间为(-2，2)．

37.

38.

本题考查的知识点为二阶常系数线性微分方程的求解．

39.

40.x=-3x=-3解析：

41.

42.由二重积分物理意义知

43.

44.

45.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

46.

47.

则

48.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

49.

列表：

说明

50.由等价无穷小量的定义可知

51.

52.由一阶线性微分方程通解公式有

53.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

54.

55.

56.

57.函数的定义域为

注意

58.

59.

60.

61.

62.

63.解

64.解

65.

66.

67.

68.

69.

70.

71.设长、宽、高分别xdmydm