2022年全国甲卷理科高考数学压轴题答案详解及解题技巧(含模拟专练)

年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）压轴真题解读11．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，【命题意图】本题主要考查正弦函数的极值点和零点，属于中档题．【答案】C【解析】当时，不能满足在区间极值点比零点多，所以；函数在区间恰有三个极值点、两个零点，，，，求得，故选：．【解后反思】1.研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.12．已知，则（

）A． B． C． D．【命题意图】考查构造函数比较大小，考查函数的单调性【答案】A【解析】因为,因为当所以,即,所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，故选：A【规律总结】1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小.2.与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f′(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式.16．已知中，点在边上，，，．当取得最小值时，．【命题意图】本题主要考查余弦定理及均值不等式的应用，属于中档题【答案】【解析】设，，在三角形中，，可得：，在三角形中，，可得：，要使得最小，即最小，，其中，此时，当且仅当时，即时取等号，【易错】忽视基本不等式成立的条件20．设抛物线的焦点为，点，过的直线交于，两点．当直线垂直于轴时，．（1）求的方程；（2）设直线，与的另一个交点分别为，，记直线，的倾斜角分别为，．当取得最大值时，求直线的方程．【命题意图】本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，属难题．【解析】（1）由题意可知，当时，，得，可知，．则在中，，得，解得．则的方程为；（2）要使取得最大值，则最大，且知当直线的斜率为负时，为正才能达到最大，又，设，，，，，，，，由（1）可知，，则，又、、三点共线，则，即，，得，即；同理由、、三点共线，得．则．由题意可知，直线的斜率不为0，不妨设，由，得，，，则，，则，可得当时，最大，最大，此时的直线方程为，即，又，，的方程为，即．21．已知函数．（1）若，求的取值范围；（2）证明：若有两个零点，，则．【命题意图】本题主要考查利用导函数研究函数单调性，即构造函数证明不等式恒成立问题，属于较难题目．【解析】（1）的定义域为，，令，解得，故函数在单调递减，单调递增，故（1），要使得恒成立，仅需，故，故的取值范围是，；（2）证明：由已知有函数要有两个零点，故（1），即，不妨设，要证明，即证明，，，即证明：，又因为在单调递增，即证明：，构造函数，，，令，，，（1），所以在上递增，又因为，，故在恒成立，故在单调递增，又因为（1），故（1），故，即．得证．【方法总结】利用导数求函数的零点常用方法(1)构造函数g(x)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数.(2)利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数有多少个零点.压轴模拟专练1．（2022·湖南长沙市·雅礼中学高三月考）已知是函数的一个极值点，则的值是（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】，∴，∴，∴故选：D2．（2022·湖北襄阳五中高三模拟）若将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数在区间上无极值点，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，所以将函数的图象向左平移个单位，可得，令，解得即函数的单调递增区间为，令，可得函数的单调递增区间为，又由函数在区间上无极值点，则的最大值为.故选：A.3．（2022·河北石家庄二中高三模拟）已知，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，则，时，，递增，时，，递减，所以，所以中最大，又，所以，所以．故选：C．4．（2022·河南郑州外国语学校三模）已知函数是定义在实数集R上的奇函数，且当时，，设，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，则，当时，，函数在上为增函数，且函数图象过原点，又函数是定义在实数集上的奇函数，即，所以，是定义在实数集上的偶函数，又，，所以，所以，；故选：C．5．（2022·山东省青岛二中高三模拟）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若的面积为2，则当的周长取到最小值时，______．【答案】【解析】由题意得，因为，则，由余弦定理，得，即，则，而函数在上单调递增，即当a最小时，的周长最小，显然，当且仅当时取“=”，此时，所以当的周长取到最小值时，．故答案为：6．（2022·山东枣庄滕州一中高三模拟）锐角的内角所对边分别是a，b，c且，，若A，B变化时，存在最大值，则正数的取值范围______．【答案】【解析】，，由正弦定理得：，即：，或（舍）是锐角三角形，，解得：（其中）使存在最大值，只需存在，满足解得：.故答案为：.7．（2022·江苏常州高级中学高三模拟）已知F为抛物线的焦点，点P在抛物线T上，O为坐标原点，的外接圆与抛物线T的准线相切，且该圆周长为.(1)求抛物线的方程；(2)如图，设点A，B，C都在抛物线T上，若是以AC为斜边的等腰直角三角形，求的最小值.【解析】(1)因为，所以的外接圆圆心在直线上，又外接圆与准线相切，所以半径为所以周长为，所以故抛物线方程为(2)设点，，，直线AB的斜率为，因为，则直线BC的斜率为.因为，则，得，①因为，则，得，②因为，则，即，③将②③代入①，得，即，则，所以因为，则，又，则从而，当且仅当时取等号，所以的最小值为32.8．（2022·济南市·山东省实验中学高三月考）已知抛物线C1：与椭圆C2：（）有公共的焦点，C2的左､右焦点分别为F1，F2，该椭圆的离心率为.(1)求椭圆C2的方程；(2)如图，若直线l与x轴，椭圆C2顺次交于P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧），且∠PF1Q与∠PF1R互为补角，求△F1QR面积S的最大值.【解析】(1)由题意可得，抛物线的焦点为，所以椭圆的半焦距，又椭圆的离心率，所以，则，即，所以椭圆的方程为.(2)设，，，∵与互补，∴，所以，化简整理得①，设直线PQ为，联立直线与椭圆方程化简整理可得，，可得②，由韦达定理，可得，③，将，代入①，可得④，再将③代入④，可得，解得，∴PQ的方程为，且由②可得，，即，由点到直线PQ的距离，令，，则，当且仅当时，等号成立，所以面积S最大值为.9．（2022·四川省仁寿第一中学校北校区高三月考）已知函数在处的切线与直线垂直，函数.(1)求实数的值；(2)若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；(3)设是函数的两个极值点，证明：.【解析】(1)函数的定义域为，，由已知得在处的切线的斜率为，则，即，解得；(2)由（1）得，则，∵函数存在单调递减区间，∴在上有解，∵，设，则，∴只需或，解得或，故实数的取值范围为；(3)证明：由题意可知，，∵有两个极值点，，∴，是的两个根，则，∴，∴要证，即证，即证，即证，即证，令，则证明，令，则，∴在上单调递增，则，即，所以原不等式成立．10．（2022·河南郑州一中高三月考）已知函数(1)当时，证明函数有两个极值点；(2)当时，函数