《棱柱棱锥棱台的表面积和体积》同步作业

《棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》同步作业一、选择题1．正方体的表面积为96，则正方体的体积为()A．48eq\r(6)B．64C．16 D．96[答案]B2．已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为()A．48(3＋eq\r(3))B．48(3＋2eq\r(3))C．24(eq\r(6)＋eq\r(2))D．144A解析：由题意，知侧面积为6×6×4＝144，两底面积之和为2×eq\f(\r(3),4)×42×6＝48eq\r(3)，所以表面积S＝48(3＋eq\r(3))．3．如图，ABC­A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C­AA′B′B的体积是()\f(1,3)\f(1,2)\f(2,3)\f(3,4)C[∵VC­A′B′C′＝eq\f(1,3)VABC­A′B′C′＝eq\f(1,3)，∴VC­AA′B′B＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).]4．棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成1∶2(从顶点到截面与从截面到底面)两部分，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于()A．1∶9 B．1∶8C．1∶4 D．1∶3B[两个锥体的侧面积之比为1∶9，小锥体与台体的侧面积之比为1∶8，故选B.]5．某几何体的直观图及其相应的度量信息如图所示，则该几何体的表面积为()A．20＋4eq\r(2)B．24C．24＋4eq\r(2)D．28A解析：由直观图可知，该几何体的上部为一正四棱锥，下部为一正方体，正方体的棱长为2，正四棱锥的底面为正方形，其边长为2，正四棱锥的高为1，所以此几何体的表面积为5×2×2＋4×eq\f(1,2)×2×eq\r(2)＝20＋4eq\r(2).二、填空题6．如图，将一个长方体用过相邻三条棱中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．1∶47解析：设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积V1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)a×eq\f(1,2)b×eq\f(1,2)c＝eq\f(1,48)abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－eq\f(1,48)abc＝eq\f(47,48)abc，所以V1∶V2＝1∶47.7．已知一个长方体的三个面的面积分别是eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(6)，则这个长方体的体积为．eq\r(6)[设长方体从一点出发的三条棱长分别为a，b，c，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝\r(2)，,ac＝\r(3)，,bc＝\r(6)，))三式相乘得(abc)2＝6，故长方体的体积V＝abc＝eq\r(6).]8．已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成,如图所示,其中长方体的长宽高分别为4,3,3,三棱柱底面是直角边分别为4,3的直角三角形,侧棱长为3,则此几何体的体积是,表面积是.

9013解析：该几何体的体积V=4×6×3+×4×3×3=90,表面积S=2(4×6+4×3+6×3)-3×3+×4×3×2+×3+3×4=138.三、解答题9．已知四面体ABCD中，AB＝CD＝eq\r(13)，BC＝AD＝2eq\r(5)，BD＝AC＝5，求四面体ABCD的体积．[解]以四面体的各棱为对角线还原为长方体，如图．设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝13，,y2＋z2＝20，,x2＋z2＝25，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝2，,z＝4.))∵VD­ABE＝eq\f(1,3)DE·S△ABE＝eq\f(1,6)V长方体，同理，VC­ABF＝VD­ACG＝VD­BCH＝eq\f(1,6)V长方体，∴V四面体ABCD＝V长方体－4×eq\f(1,6)V长方体＝eq\f(1,3)V长方体．而V长方体＝2×3×4＝24，∴V四面体ABCD＝8.10．如图，已知正三棱锥S­ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积．[解]如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，则SE⊥AB，SE＝h′.∵S侧＝2S底，∴eq\f(1,2)·3a·h′＝eq\f(\r(3),4)a2×2.∴a＝eq\r(3)h′.∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2.∴32＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)×\r(3)h′))2＝h′2.∴h′＝2eq\r(3)，∴a＝eq\r(3)h′＝6.∴S底＝eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(3),4)×62＝9eq\r(3)，S侧＝2S底＝18eq\r(3).∴S表＝S侧＋S底＝18eq\r(3)＋9eq\r(3)＝27eq\r(3).[等级过关练]1.正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为()π B. C.π B解析：如图所示,由图可知,该几何体由两个四棱锥构成,并且这两个四棱锥体积相等.四棱锥的底面为正方形,且边长为2,故底面积为(2)2=2;四棱锥的高为1,故四棱锥的体积为×2×1=则几何体的体积为2×.2．若正四棱锥的底面边长为2eq\r(2)cm，体积为8cm3，则它的侧面面积为________．4eq\r(22)cm2解析：∵该正四棱锥底面边长为2eq\r(2)cm，体积为8cm3，∴该四棱锥的高为3cm，∴侧面等腰三角形的高为eq\r(32＋\r(2)2)＝eq\r(11)(cm)，S侧＝4×eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(11)＝4eq\r(22)(cm2)．3.如图①,一个正三棱柱容器,底面边长为a,高为2a,内装水若干,将容器放倒,把一个侧面作为底面,如图②,这时水面恰好为中截面,则图①中容器内水面的高度是.

解析：设题图①中容器内水面的高度为h,水的体积为V,则V=S△ABCh.又题图②中水组成了一个直四棱柱,其底面积为S△ABC,高度为2a,则V=S△ABC·2a,∴h=a.4．用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是．8[如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为2eq\r(2)，其面积为8.图①图②]5．如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．[解]如图，连接EB，EC.四棱锥E­ABCD的体积V四棱锥E­ABCD＝eq\f(1,3)×42×3＝16.∵AB＝