三角函数在实际生活中的应用

..三角函数在实际生活中的应用目录TOC\o"1-3"\h\u15500摘要：111066关键词：138841引言1112191.1三角函数起源2130772三角函数的基础知识286062.1下列是关于三角函数的诱导公式3136412.2两角和、差的正弦、余弦、正切公式4224952.3二倍角的正弦、余弦、正切公式594793.三角函数与生活5301493.1火箭飞升问题556593.2电缆铺设问题630313.3救生员营救问题6151313.4足球射门问题7322163.5食品包装问题8323113.6营救区域规划问题8135113.7住宅问题9301393.8最值问题1086794总结11AbstractTrigonometricfunctioninthecourseofhistoricaldevelopmentofcontinuousimprovement,hasformula,richthoughts,flexible,permeabilityisstrongandsoon。Thecharacteristicisnotonlyanimportantpartofscientificresearch,orinmathematicslearningtokeyanddifficult.Inaworditinteachingandotherfieldshasimportantrole.Inthispaper,wewillmakeabriefdiscussionabouttheapplicationoftrigonometricfunctionsinsolvingpracticalproblems.Keywords：mathematicstrigonometricfunctionApplicationoftrigonometricfunction摘要：三角函数在历史的发展过程中不断完善,具有公式多、思想丰富、变化灵活、渗透性强等特点,不仅是科学研究的重要组成部分,还是数学学习中得重点难点,总之它在教学和其他领域中具有重要的作用。本文将对一些关于三角函数在解决实际问题中的应用做简单的讨论。关键词：数学三角函数三角函数的应用1引言三角函数是高中学习的一类基本的、重要的函数,他是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型。三角函数是高中数学重要的基础知识之一,有着广泛的实际背景和应用空间．三角函数包括三角函数的概念及关系、诱导公式、三角函数的图象和性质、正弦型函数的图象及应用、三角恒等变换、解三角形．它不但在生活中的很多方面都有很广的应用,如：潮汐和港口水深、气象方面有气温的变化,天文学方面有白昼时间的变化,地理学方面有潮汐变化,物理方面有各种振动波,生理方面有人的情绪、智力、体力等．测量山高测量树高,确定航海行程问题,确定光照及房屋建造合理性等。在数学的很多问题研究方面都有着广泛的应用。三角函数是对函数概念的深化,也是沟通代数,几何,与平面向量等的一种工具。其中三角函数在导数的应用也颇为广泛。1.1三角函数起源"三角学",来自拉丁文。现代三角学一词最初见於希腊文。最先使用这个词的是皮蒂斯楚斯,他在1595年出版一本著作《三角学:解三角学的简明处理》,创造了这个新词。它是由<三角学>及<测量>两字构成的,原意为三角形的测量,或者说解三角形。当时三角学还没有形成一门独立的科学,而是依附于天文学。因此解三角形构成了古代三角学的实用基础。后来阿拉伯数学家专门的整理和研究三角学,但是他们并没有创立起一门独立的三角学。最后是德国数学家雷基奥蒙坦纳斯,真正把三角学作为数学的一个独立学科进行阐释。"正三角函数包含于最早被称为三角学,"三角学"一词来自拉丁文Trigonometry,原意是三角形。与其他科学一样,三角学也是解决实际问题中发展起来的。近代三角学是从欧拉的《无穷分析引论》开始的。欧拉用小写的拉丁字母a、b、c表示三角形的三边,进一步简化了三角公式。欧拉还引用sinz、cosz、tanz等表示z角的三角函数的简写符号,这是三角函数的现代形式。由于上述数学家及19世纪许多数学家的努力,形成了现代的三角函数符号与手拿教学的完整理论。2三角函数的基础知识在直角三角形ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边,∠C为直角。则定义以下运算方式：sinA=∠A的对边长/斜边长,sinA记为∠A的正弦；sinA＝a/ccosA=∠A的邻边长/斜边长,cosA记为∠A的余弦；cosA＝b/ctanA=∠A的对边长/∠A的邻边长,tanA＝sinA/cosA＝a/btanA记为∠A的正切；当∠A为锐角时sinA、cosA、tanA统称为"锐角三角函数"。SinA＝cosBsinB＝cosA在平面直角坐标系xOy中,从点O引出一条射线OP,设旋转角为θ,设OP=r,P点的坐标为<x,y>。该直角三角形中,θ对边为y临边为x斜边为r,运算方法见表一表1基本函数英文表达式语言描述正弦函数Sinesinθ=y/r角θ的对边比斜边余弦函数Cosinecosθ=x/r角θ的邻边比斜边正切函数Tangenttanθ=y/x角θ的对边比邻边余切函数Cotangentcotθ=x/y角θ的邻边比对边正割函数Secantsecθ=r/x角θ的斜边比邻边余割函数Cosecantcscθ=r/y角θ的斜边比对边2.1下列是关于三角函数的诱导公式公式一：②P〔x,y,直线OP的反向延长线OE交圆O于F点,则F点的坐标为F<－x,－y>由此可得到下列公式：公式二：公式三：公式四：公式五：由于,由公式四及公式五可得：公式六：公式五、公式六可以概括如下：的正弦〔余弦函数值,分别等于的余弦〔正弦函数值,前面加上一个把看成锐角的符号。2.2两角和、差的正弦、余弦、正切公式2.3二倍角的正弦、余弦、正切公式3.三角函数与生活实际生活中,三角函数可以用来模拟很多周期现象,如物理中简谐振动、生活中的潮汐现象,都可以建立三角函数的模型利用三角函数的性质解决有关问题；很多最值问题也可以转化为三角函数来解决,房地产、航海、测量、国防中都能找到三角函数的影子。因而三角函数解决实际问题应用极广,解决实际问题有一定的优越地位。3.1火箭飞升问题一枚运载火箭从地面处发射,当火箭到达点时,从地面处的雷达站测得的距离是,仰角是．后,火箭到达点,此时测得的距离是,仰角为。火箭到达点时距离发射点有多远？〔2火箭从点到点的平均速度是多少？解：〔1在中,〔km 火箭到达点时距发射点约在中,答：火箭从点到点的平均速度约为3.2电缆铺设问题ACDBθ如图,一条河宽a千米,两岸各有一座城市的直线距离是b千米,今需铺设一条电缆连与ACDBθ分析：设电缆为时费用最少,因为河宽为定值,为了表示的长,不妨设解：设,∴总费用为=问题转化为求的最小值及相应的θ值,而表示点与点斜率-ac倍,有图可得在单位圆周上运动,当直线与圆弧切于点时,u取到最小值。然后通过三角函数的边角关系求出直线的斜率,再求出此时的最小值u即可,可以根据实际问题带入求值。3.3救生员营救问题ABCD如图,某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的点处发现海中的点有人求救,便立即派三名救生员前去营救．1号救生员从点直接跳入海中；2号救生员沿岸边〔岸边看成是直线向前跑到点,再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑300米到离点最近的点,再跳入海中．救生员在岸上跑的速度都是6米/秒,在水中游泳的速度都是2米/秒．若,,三名救生员同时从点出发,请说明谁先到达营救地点．ABCD解：〔1在中,．． ． 在中,,． 1号救生员到达B点所用的时间为〔秒,2号救生员到达B点所用的时间为〔秒,3号救生员到达B点所用的时间为〔秒 ,号救生员先到达营救地点．3.4足球射门问题GEPCFBAD在训练课上,教练问左前锋,若你得球后,沿平行于边线的直线助攻到前场〔如图,设球门宽米,球门柱到的距离米,那么你推进到距底线多少米时,为射门的最佳位置？〔即射门角最大时为射门的最佳位置？请你帮助左前锋回答上述问题。GEPCFBAD分析：此题关键在于求解射门时最大射门角,此时就是最佳位置。若直接在非特殊中利用边来求的最值,显得比较繁琐,注意到,而后两者都在中,故可应用直角三角形的性质求解。解：如图,设,,,=。若令,则=,当,即时,取到最小值,从而可知时,取得最大值,即时,有最大值。故当点距底线为米时,为射门的最佳位置。依图像知,在白天的9—15时这个时间段可供冲浪爱好者进行冲浪运动。3.5食品包装问题某糖果厂为了拓宽其产品的销售市场,决定对一种半径为的糖果的外层包装进行设计。问能否设计出一个封闭的圆锥形状的外包装,其体积最小和所用材料达到最省？如果能,如何设计这个圆锥的底面半径和高？此时所用的外包装体积是多少？用料是多少？分析：要求该圆锥的全面积和体积,需要知道它的下底面半径、母线及高,这些变量之间的关系可以通过一个"角"把它们联系起来。PABCO解：如图,设∠OAC=θ,则OC=1,下底面半径AC=R=cotθ,母线长l=,高h=Rtan2θ,θ∈〔0,。则=πRl+πR2=πR<+R>=πR2<+1>=πcot2θ<+1>=;PABCOV=πR2h=πR2·Rtg2θ=πR3tg2θ=πctg3θ=π∴当且仅当tg2θ=1－tg2θ,即tgθ=时,能使和V同时取到最小值,此时R=,h=2,即当圆锥的下底面半径和高分别为、2时能同时满足条件,外包装用料是8π,体积是。3.6营救区域规划问题如图,在南北方向直线延伸的湖岸上有一港口,一机艇以千米/小时的速度从出发,分钟后因故障而停在湖里,已知机艇出发后先按直线前进,以后又改成正东,但不知最初的方向和何时改变方向。如何去营救,用图示表示营救的区域。分析：要表示出一个区域,一般可在直角坐标系中表示,所以应首先建立直角坐标系；题中涉及到方向问题,所以不妨用方向角作为变量来求解。解：以A为原点,过A的南北方向直线为y轴建立直角坐标系,如图：设机艇的最初航向的方位角为θ,设OP方向前进m到达点P,然后向东前进到达点Q发生故障而抛锚。则,令点Q的坐标为〔x,y,则θ∈[0,]。∴∵机艇中途东拐,。…………①又∵x+y=m<sinθ+cosθ>+n=msin<θ+>+n≥m+n=30,∴x+y≥30…………②满足不等式组①和②的点Q〔x,y所在的区域,按对称性知上图阴影区域所示。3.7住宅问题在某小区内,有一块地,这块地有这样三种情况：〔1是半径为10米的半圆；〔2是半径为10米,圆心角为的扇形；〔3是半径为10米,圆心角为的扇形；在这块地里种块矩形的草皮,具体见下图,应如何设计,使得此面积最大？面积的最大值是多少。分析：第一种情况,如图所示：连结,设,则,,AθAθDBFECO这时此时,点A、D分别位于点O的左右方处时S取得最大值100。θADBθADBFECO设,则,,当且仅当时,即时,AθAθDBECO设,则,,当且仅当时,即时,3.8最值问题如图,是一块边长为的正方形地皮,其中是一半径为的扇形小山,其余部分都是平