山东省淄博市高薪区实验中学2021-2022学年高一数学理测试题含解析

山东省淄博市高薪区实验中学2021-2022学年高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知二次函数在区间[－2,a]上的最小值为－5，最大值为4，则实数a的取值范围是（ ）A.(－2,1) B.(－2,4] C.[1,4] D.[1,+∞)参考答案：C2.函数的定义域是（

）A．(0,+∞)

B．(0,1)∪(1,+∞)

C．(0,1)

D．(1,+∞)参考答案：B由解，得x＞0且x≠1．∴函数f（x）=+lgx的定义域是（0，1）∪（1，+∞）．故选：B．

3.从匀速传递的新产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件新产品进行某项指标检测，这样的抽样是（）A．系统抽样 B．分层抽样 C．简单随机抽样 D．随机数法参考答案：A【考点】系统抽样方法．【分析】根据抽样的定义和性质进行判断即可．【解答】解：新产品没有明显差异，抽取时间间隔相同，故属于系统抽样，故选：A．4.从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是

()．A.① B.②④ C.③ D.①③参考答案：C根据对立事件的定义，只有③中两事件符合定义。故选C。5.已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（） A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞0参考答案：B【考点】函数零点的判定定理． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】因为x0是函数f（x）=2x+的一个零点可得到f（x0）=0，再由函数f（x）的单调性可得到答案． 【解答】解：∵x0是函数f（x）=2x+的一个零点∴f（x0）=0 ∵f（x）=2x+是单调递增函数，且x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞）， ∴f（x1）＜f（x0）=0＜f（x2） 故选B． 【点评】本题考查了函数零点的概念和函数单调性的问题，属中档题． 6.如图，在空间四边形中，一个平面与边分别交

于（不含端点），则下列结论错误的是（

）

A．若，则平面

B．若分别为各边中点，则四边形为平行四边形

C．若分别为各边中点且，则四边形为矩形

D．若分别为各边中点且，则四边形为矩形参考答案：C考点：空间直线与平面的位置关系及判定.7.如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B．16 C． D．48参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，直观图是放倒的四棱锥，棱锥的高为4，底面为主视图，是梯形，上底2，下底6，高为4，即可得出结论．【解答】解：由题意，直观图是放倒的四棱锥，棱锥的高为4，底面为主视图，是梯形，上底2，下底6，高为4，面积为=16，∴四棱锥的体积==，故选A．8.已知有唯一的零点，则实数的值为（

）A.－1

B.0

C.1

D.2参考答案：B函数是偶函数，且在上是增函数，且当时，，若有唯一的零点，则，选B.9.在△ABC中，已知，且A=45°，则角B的度数是（

）A.90° B.60° C.45° D.40°参考答案：C【分析】由正弦定理可得，化简可得．【详解】，，，，又，，故选C．【点睛】本题考查正弦定理的应用，已知三角函数值求角的大小，得到，是解题的关键，属基础题．10.已知函数，若，则取值范围是（）．A．(－∞,0] B．(－∞,1] C．[－3,0] D．[－3,1]参考答案：C当时，根据恒成立，则此时，当时，根据的取值为，，当时，不等式恒成立，当时，有，即．综上可得，的取值范围是．故选．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若幂函数y=xa（a∈R）的图象经过点（4，2），则a的值为．参考答案：

【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】根据幂函数y=xa的图象过点（4，2），代入数据求出a的值．【解答】解：幂函数y=xa（a∈R）的图象经过点（4，2），所以4a=2，解得a=．故答案为：．12.已知函数，任取，记函数f(x)在区间上的最大值为最小值为记.则关于函数有如下结论：①函数为偶函数；②函数的值域为；③函数的周期为2；④函数的单调增区间为.其中正确的结论有____________.（填上所有正确的结论序号）参考答案：③④.试题分析：因为，其中分别是指函数在区间上的最大值、最小值，注意到函数是最小正周期为的函数，所以在区间的图像与在的图像完全相同，所以，所以，所以函数的一个周期为4，对该函数性质的研究，只须先探究的性质即可.根据的图像（如下图（1））与性质可知当时，在区间的最小值为，最大值为，此时当时，在区间的最小值为，最大值为，此时；当时，在区间的最小值为，最大值为，此时；当时，在区间的最小值为，最大值为1，此时；当时，在区间的最小值为，最大值为1，此时；当时，在区间的最小值为，最大值为，此时作出的图像，如下图（2）所示综上可知，该函数没有奇偶性，函数的值域为，从图中可以看到函数的最小正周期为2，函数的单调递增区间为，故只有③④正确.考点：1.三角函数的图像与性质；2.分段函数.13.集合,集合且,则实数_________.参考答案：由，得，所以.14.直线xsinα﹣y+1=0的倾角的取值范围． 参考答案：[0，]∪[）【考点】直线的倾斜角． 【分析】由直线方程求出直线斜率的范围，再由正切函数的单调性求得倾角的取值范围． 【解答】解：直线xsinα﹣y+1=0的斜率为k=sinα， 则﹣1≤k≤1， 设直线xsinα﹣y+1=0的倾斜角为θ（0≤θ＜π）， 则﹣1≤tanθ≤1， ∴θ∈[0，]∪[）． 故答案为：[0，]∪[）． 【点评】本题考查直线的倾斜角，考查了直线倾斜角和斜率的关系，训练了由直线斜率的范围求倾斜角的范围，是基础题． 15.如果实数满足等式，那么的最大值是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略16.已知，若对任意则

A．=90°

B．=90°

C．=90°

D．===60°参考答案：C略17.在一支长15cm粗细均匀的圆柱形蜡烛的下端固定一个薄金属片（体积不计），使蜡烛恰好能竖直地浮于水中，上端有1cm高的部分露在水面以上，已知蜡烛的比重为0.85g/cm3，现在点燃蜡烛，当蜡烛被水淹没时，它的剩余长度是

。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分16分)设关于的函数的最小值是的函数，记为.（1）求的解析表达式；（2）当=时，求的值；（3）如果方程在有两不相等的解，求实数的取值范围．参考答案：（1）：----2分；--------5分.（2）：

或--------7分（3）：在上有一解

或或-----------16分（对一个得3分）略19.已知两个不共线的向量，满足，，.（1）若，求角的值；（2）若与垂直，求的值；（3）当时，存在两个不同的使得成立，求正数m的取值范围.参考答案：（1）；（2）；（3）【分析】（1）根据向量平行得到，解得答案.（2）根据向量垂直得到，故，得到答案.（3）化简得到，由得，故，解得答案.【详解】（1），故，，故角的集合为.（2）由条件知，，又与垂直，所以，所以.所以，故.（3）由，得，即，即，，所以.由得，又要有两解，故，即，又因为，所以.即的范围.【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，根据向量垂直求模，方程解的个数问题，意在考查学生的计算能力，转化能力，综合应用能力.20.已知函数（1）求函数的最小值；（2）求实数的取值范围，使在区间上是单调函数．参考答案：②

………7分③………………8分…………9分综上所述：…………10分（2）易知，即在区间[-5，5]上是单调函数………………14分21.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知cos2A+3cos（B+C）=1．（1）求角A的大小；（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．参考答案：【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由题意和二倍角公式可得cosA的方程，解方程结合角的范围可得A值；（2）由余弦定理可得a2=（b+c）2﹣bc，代入数据可得bc的值，整体代入面积公式可得．【解答】解：（1）∵在△ABC中cos2A+3cos（B+C）=1，∴2cos2A﹣1﹣3cosA=1，即2cos2A﹣3cosA﹣2=0，解得cosA=﹣，或cosA=2（舍去），由A∈（0，π）可得A=；（2）由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc=（b+c）2﹣bc，代入数据可得12=16﹣bc，解得bc=4，∴△ABC的面积S=bcsinA==．22.已知数列{an}的前n项和为，且.其中为常数.（1）求的值及数列{an}的通项公式；（2）记，数列{bn}的前n项和为Tn，若不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围.参考答案：（1），；（2）【分析】（1）由题意知中，令，求得，即，所以两式相减整理得，利用等比数列的通项公式，即可求解．（2）由（1）可得，利用“裂项”法求得，根据题设化简得对任意恒成立，记，分为奇数和为偶数讨论，求得的最大值，即可求解．【详解】（1）由题意知中，令，得，又，解得，即，所以，两式相减得，整理得，数列是以，公比为2的等比数列，所以．（2）由（1