山东省淄博市第一中学2021-2022学年高二数学理联考试题含解析

山东省淄博市第一中学2021-2022学年高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若点（x，y）在不等式组表示的平面区域内运动，则t=x﹣y的取值范围是（）A．[﹣2，﹣1] B．[﹣2，1] C．[﹣1，2] D．[1，2]参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，t=x﹣y表示直线在y轴上的截距的相反数，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，由得B（2，0），由，得A（0，1），当直线t=x﹣y过点A（0，1）时，t最小，t最小是﹣1，当直线t=x﹣y过点B（2，0）时，t最大，t最大是2，则t=x﹣y的取值范围是[﹣1，2]故选C．2.4张卡片上分别写有数字1、2、3、4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为()A.

B.

C.

D.参考答案：C略3.在一次绘画展览中，组委会要求把3幅国画，2幅油画，一幅水墨画挂在一起，并且要求同种画必须相邻，3幅国画必须挂在中间，有多少种挂法？（

）A．24种

B．12种

C．2

种

D．6种参考答案：A4.若关于不等式的解集为，则实数的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：D略5.在△ABC中，已知a=，b=，∠B=60°，那么∠A等于（）A．30° B．45° C．90° D．135°参考答案：B【考点】正弦定理．【分析】由已知及正弦定理可解得：sinA=，从而A=45°或135°，由a＜b从而确定A=45°．【解答】解：由正弦定理知：∵a=，b=，∠B=60°，代入上式，∴，故可解得：sinA=，从而A=45°或135°，∵a＜b∴A＜B∴A=45°故选：B．6.命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是[中%国教&*︿育出版@网]A.若α≠，则tanα≠1

B.若α=，则tanα≠1C.若tanα≠1，则α≠

D.若tanα≠1，则α=参考答案：C略7.若在上是减函数，则实数的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：B8.已知是等比数列，，，则（

）A． B．C． D．参考答案：D略9.若展开式中各项二项式系数之和为，展开式中各项系数之和为，则=

（

）(A).

(B).

(

C).

(

D).参考答案：B略10.已知双曲线（，）的左顶点为，右焦点为，过左顶点且斜率为l的直线与双曲线的右支交于点，若的面积为，双曲线的离心率为（

）A．3

B．2

C.

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，则不同的排法有

．参考答案：14412.已知矩形ABCD，AB=1,BC=a,PA⊥面ABCD,若在BC上只有一点Q满足PQ⊥DQ，则a值等于___________参考答案：213.已知,。若为单元素集，则k=____.参考答案：解析：由

为单元素集，即直线与相切，则.14.由曲线与直线及所围成的图形的面积为（

）参考答案：【分析】先由题意作出简图，求出直线与曲线交点的横坐标，再由微积分基本定理求解，即可得出结果.【详解】由题意，作出曲线与直线及所围成的图形如下（阴影部分）：由解得，或（舍）所以阴影部分面积为.故答案为【点睛】本题主要考查定积分的应用，熟记微积分基本定理即可，属于常考题型.15.用秦九韶算法求f（x）=3x3+x﹣3，当x=3时的值v2=

．参考答案：28【考点】秦九韶算法．【分析】f（x）=（（3x）x+1）x﹣3，即可得出．【解答】解：f（x）=（（3x）x+1）x﹣3，∴当x=3时，v0=3，v1=3×3=9，v2=9×3+1=28．故答案为：28．16.将三个分别标有A，B，C的球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，则1号盒子中有球的不同放法种数为______________．参考答案：3717.已知不等式的解集为（2，3），则不等式的解集为_________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，CD=2AB=4，BC=2．AE∥BC交CD于点E，点G，H分别在线段DA，DE上，且GH∥AE．将图1中的△AED沿AE翻折，使平面ADE⊥平面ABCE（如图2所示），连结BD、CD，AC、BE．（Ⅰ）求证：平面DAC⊥平面DEB；（Ⅱ）当三棱锥B﹣GHE的体积最大时，求直线BG与平面BCD所成角的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．【分析】（Ⅰ）根据折叠前后的边角关系可知道DE⊥底面ABCE，底面ABCE为正方形，从而得到AC⊥DE，AC⊥BE，根据线面垂直的判定定理即可得到AC⊥DBE，再根据面面垂直的判定定理得出平面DAC⊥平面DEB；（Ⅱ）根据已知条件知道三直线EA，EC，ED两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出一些点的坐标，设EH=x，从而表示出HG=2﹣x，三棱锥B﹣GHE的高为AB=2，从而可表示出三棱锥B﹣GHE的体积V=，从而看出x=1时V最大，这时G为AD中点．从而可求G点坐标，求出向量坐标，可设平面BCD的法向量为={x，y，z}，根据即可求出，设直线BG与平面BCD所成角为θ，而根据sinθ=求出sinθ．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵AB∥CD，∠ABC=90°，CD=2AB=4；又AE∥BC交CD于点E；∴四边形ABCE是边长为2的正方形；∴AC⊥BE，DE⊥AE；又∵平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE=AE；∴DE⊥平面ABCE；∵AC?平面ABCE，∴AC⊥DE；又DE∩BE=E；∴AC⊥平面DBE；∵AC?平面DAC；∴平面DAC⊥平面DEB；（Ⅱ）由（Ⅰ）知DE⊥平面ABCE，AE⊥EC；以E为原点，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，则：A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，2）；设EH=x，则GH=DH=2﹣x（0＜x＜2）；∵AB∥CE，∴AB⊥面DAE；∴=；∵0＜x＜2，∴x=1时，三棱锥B﹣GHE体积最大，此时，H为ED中点；∵GH∥AE，∴G也是AD的中点，∴G（1，0，1），；设是面BCD的法向量；则令y=1，得；设BG与面BCD所成角为θ；则=；∴BG与平面BCD所成角的正弦值为．【点评】考查对折叠前后图形的观察能力，面面垂直的性质定理，线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角问题的方法，棱锥的体积公式，两非零向量垂直的充要条件，平面法向量的概念及求法，直线和平面所成角的概念，直线和平面所成角与直线和平面法向量夹角的关系，向量夹角余弦的坐标公式．19.(本小题满分8分)如图所示，已知P、Q是单位正方体ABCD—A1B1C1D1的面A1B1BA和面ABCD中心（1）求证：PQ∥平面BCC1B1（2）求PQ与面A1B1BA所成的角参考答案：（1）证明连接AB1，B1C，∵△AB1C中，P、Q分别是AB1、AC的中点，∴PQ∥B1C………2又PQ在平面BCC1B1外面，B1C?平面BCC1B1∴PQ∥平面BCC1B1……………………4（2）由（1）知PQ∥B1C所以PQ与面A1B1BA所成的角即为B1C与面A1B1BA所成的角………6正方体中BC与面A1B1BA垂直所以即为B1C与面A1B1BA所成的角…………7可知其为，所以PQ与面A1B1BA所成的角………820.已知△ABC的两顶点坐标A（﹣1，0），B（1，0），圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|=1（从圆外一点到圆的两条切线段长相等），动点C的轨迹为曲线M．（I）求曲线M的方程；（Ⅱ）设直线BC与曲线M的另一交点为D，当点A在以线段CD为直径的圆上时，求直线BC的方程．参考答案：【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（I）由题意，可得曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆（挖去与x轴的交点），从而可得求曲线M的方程；（Ⅱ）设与直线BC的方程，与椭圆方程联立，消x，利用韦达定理，结合=0，即可求直线BC的方程．【解答】解：（I）由题知|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|=2|CP|+|AB|=4＞|AB|，所以曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆（挖去与x轴的交点），所以a=2，c=1，所以b=，所以曲线M：（y≠0）为所求．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）注意到直线BC的斜率不为0，且过定点B（1，0），设直线BC的方程为x=my+1，C（x1，y1），D（x2，y2），与椭圆方程联立，消x得（4+3m2）y2+6my﹣9=0，所以y1+y2=﹣，y1y2=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为=（my1+2，y1），=（my2+2，y2），所以=（my1+2）（my2+2）+y1y2=注意到点A在以CD为直径的圆上，所以=0，即m=±，﹣﹣﹣﹣﹣所以直线BC的方程或为所求．﹣﹣21.等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5﹣2b2=a3．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）令cn=+bn，设数列{cn}的前n项和Tn，求T2n．参考答案：【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（Ⅱ）求出cn，运用等比数列的求和公式和裂项相消求和，即可得到所求．【解答】解：（I）设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，由a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5﹣2b2=a3．得，解得d=q=2，∴an=3+2（n﹣1）=2n+1，bn=2n﹣1．（Ⅱ）cn=+bn=+2n﹣1，