人教版初中数学九年级第二十八章 锐角三角函数单元测试卷 含答案解析

班级姓名学号分数第二十八章锐角三角函数（B卷·能力提升练）（时间：60分钟，满分：100分）一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。）1．（2022·内蒙古通辽·中考真题）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵为直径，，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴故选：B．2．（2022·广西贵港·中考真题）如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：过点C作AB的垂线交AB于一点D，如图所示，∵每个小正方形的边长为1，∴，设，则，在中，,在中，,∴，解得，∴，故选：C．3．（2022·辽宁营口·中考真题）如图，点A，B，C，D在上，，则的长为（

）A． B．8 C． D．4【答案】A【详解】解：连接，，，为的直径，，，在中,，．.故选：A．4．（2022·四川乐山·中考真题）如图，在中，，，点D是AC上一点，连接BD．若，，则CD的长为（

）A． B．3 C． D．2【答案】C【详解】解：在中，，，∴∴由勾股定理得,过点D作于点E，如图，∵，，∴∴∴∴∵∴∴∴,在中,∴∵∴故选：C5．（2022·贵州毕节·中考真题）计算的结果，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：＝＝＝．故选：B6．（2022·广西·中考真题）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【详解】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∴sinα=，∴BC=sinαAB=12sinα（米），故选：A．7．（2022·贵州黔东南·中考真题）如图，、分别与相切于点、，连接并延长与交于点、，若，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：连接OA∵、分别与相切于点A、，∴PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥AP，∴∠APD=∠BPD，在△APD和△BPD中，，∴△APD≌△BPD（SAS）∴∠ADP=∠BDP，∵OA=OD=6，∴∠OAD=∠ADP=∠BDP，∴∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，在Rt△AOP中，OP=，∴sin∠ADB=．故选A．8．（2022·陕西·中考真题）如图，是的高，若，，则边的长为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵，∴，∵直角中，，∴，∴直角中，由勾股定理可得，．故选D．9．（2022·湖南湘潭·中考真题）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，为直角三角形中的一个锐角，则（

）A．2 B． C． D．【答案】A【详解】∵小正方形与每个直角三角形面积均为1，∴大正方形的面积为5，∴小正方形的边长为1，大正方形的边长为，设直角三角形短的直角边为a，则较长的直角边为a+1，其中a>0，∴a2+(a+1)2=5，其中a>0，解得：a1=1，a2=-2(不符合题意，舍去)，===2，故选：A．10．（2022·天津·中考真题）的值等于（

）A．2 B．1 C． D．【答案】B【详解】作一个直角三角形，∠C=90°，∠A=45°，如图：∴∠B=90°-45°=45°，∴△ABC是等腰三角形，AC=BC，∴根据正切定义，，∵∠A=45°，∴，故选B．二．填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分。）11．（2022·宁夏·中考真题）2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，某一时刻观测点D测得返回舱底部C的仰角∠CDE＝45°，降落伞底面圆A点处的仰角∠ADE＝46°12′．已知半径OA长14米，拉绳AB长50米，返回舱高度BC为2米，这时返回舱底部离地面的高度CE约为______米（精确到米）．（参考数据：，，）【答案】1614【详解】解：在中，由勾股定理得，（米），，，，∴△CDE是等腰直角三角形，，设米，则米，米，．∴，解得，米，故答案为：．12．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔30海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为________海里．（参考数据：，，）【答案】50【详解】解：如图所示标注字母，根据题意得，∠CAP=∠EPA=60°，∠CAB=30°，PA=30，∴∠PAB=90°，∠APB=180°-67°-60°=53°，∴∠B=37°，∆PAB为直角三角形，∴，∴BP=，故答案为：50．13．（2022·湖北黄石·中考真题）某校数学兴趣小组开展无人机测旗杆的活动：已知无人机的飞行高度为30m，当无人机飞行至A处时，观测旗杆顶部的俯角为30°，继续飞行20m到达B处，测得旗杆顶部的俯角为60°，则旗杆的高度约为________m．（参考数据：，结果按四舍五八保留一位小数）【答案】12.7【详解】解：设旗杆底部为点C，顶部为点D，延长CD交直线AB于点E，依题意则DE⊥AB，则CE=30m，AB=20m，∠EAD=30°，∠EBD=60°，设DE=xm，在Rt△BDE中，解得则m，在Rt△ADE中，，解得m，∴CD=CE-DE．故答案为：12.7．14．（2022·江苏南通·中考真题）如图，B为地面上一点，测得B到树底部C的距离为，在B处放置高的测角仪，测得树顶A的仰角为，则树高为___________m（结果保留根号）．【答案】【详解】解：过点D作交于点E，如图：则四边形BCED是矩形，∴BC=DE，BD=CE，由题意可知：，，在中，，∴，∴，故答案为：15．（2022·山东枣庄·中考真题）北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理念．如图所示，它的主体形状呈正六边形．若点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，则tan∠ABE＝_____．【答案】【详解】连接BC、AC，∵点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，∴AB＝BC＝AC，BE垂直平分AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵BE⊥AC，∴∠ABE＝∠ABC＝30°，∴tan∠ABE＝tan30°＝，故答案为：．16．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向以50海里/小时的速度航行t小时后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的点B处，则t＝_____小时．【答案】(1+)【详解】由题意得：∠PAC＝45°，∠PBA＝30°，AP＝100海里，在Rt△APC中，AC＝AP•cos45°＝100×＝50（海里），PC＝AP•sin45°＝100×＝50（海里），在Rt△BCP中，BC＝＝＝50（海里），∴AB＝AC+BC＝（50+50）海里，∴t＝＝（1+）小时，故答案为：（1+）．三．解答题（本题共6小题，共46分。）17．（2022·四川攀枝花·中考真题）第24届冬奥会（也称2022年北京冬奥会）于2022年2月4日至2月20日在中国北京举行，北京成为了历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．冬奧会上跳台滑雪是一项极为壮观的运动．运动员经过助滑、起跳、空中飞行和着陆，整个动作连贯一致，一气呵成，如图，某运动员穿着滑雪板，经过助滑后，从倾斜角的跳台A点以速度沿水平方向跳出，若忽略空气阻力影响，水平方向速度将保持不变．同时，由于受重力作用，运动员沿竖直方向会加速下落，因此，运动员在空中飞行的路线是抛物线的一部分，已知该运动员在B点着陆，，且．忽略空气阻力，请回答下列问题：(1)求该运动员从跳出到着陆垂直下降了多少m？(2)以A为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线表达式；(3)若该运动员在空中共飞行了4s，求他飞行2s后，垂直下降了多少m？【答案】(1)该运动员从跳出到着陆垂直下降了90m(2)(3)他飞行2s后，垂直下降了22.5m【详解】（1）解：如图，以A为原点，建立平面直角坐标系．过点B作轴于点D．在中，，答：该运动员从跳出到着陆垂直下降了90m；（2）解：在中，，，由题意抛物线顶点为，经过．设抛物线的解析式为，则有，，抛物线的解析式为．（3）解：当时，，他飞行2s后，垂直下降了22.5m．18．（2022·江苏淮安·中考真题）如图，湖边、两点由两段笔直的观景栈道和相连.为了计算、两点之间的距离，经测量得：，，米，求、两点之间的距离．（参考数据：，，，，，）【答案】、两点之间的距离约为94米【详解】如图，过点作，垂足为点，在中，∵，米，∴，，∴（米），（米），在中，∵，米，∴，∴（米），∴（米）.答：、两点之间的距离约为94米.19．（2022·江苏淮安·中考真题）（1）计算：；（2）化简：．【答案】（1）；（2）【详解】解：（1）原式；（2）原式．20．（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度，在居民楼前方有一斜坡，坡长，斜坡的倾斜角为，．小文在点处测得楼顶端的仰角为，在点处测得楼顶端的仰角为（点，，，在同一平面内）．(1)求，两点的高度差；(2)求居民楼的高度．（结果精确到，参考数据：）【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点，在中，，，．．答：，两点的高度差为．（2）过点作于，由题意可得，，设，在中，，解得，在中，，，，解得，．答：居民楼的高度约为．21．（202