（新课改地区）2021届高考数学一轮复习课件：第二章函数及其应用2.8函数与方程

第八节函数与方程

【教材·知识梳理】1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y=f(x)(x∈D)，把使_______的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.(2)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是_________的一条曲线，并且有_____________，那么，函数y=f(x)在区间_______内有零点，即存在c∈(a，b)，使得_______，这个c也就是方程f(x)=0的根.f(x)=0连续不断f(a)·f(b)<0(a，b)f(c)=02.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)

与x轴的交点___________________无交点零点个数______(x1,0),(x2,0)(x1,0)210【常用结论】有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号.【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点. (

)(2)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点. (

)(3)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则f(a)·f(b)<0.(

)(4)若f(x)在区间[a,b]上连续不断,且f(a)·f(b)>0,则f(x)在(a,b)内没有零点.(

)提示:(1)×.函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标.(2)√.当b2-4ac<0时,抛物线与x轴无交点,故没有零点.(3)×.函数图象若没有穿过x轴,则f(a)·f(b)>0.(4)×.若在区间[a,b]内有多个零点,f(a)·f(b)>0也可以.【易错点索引】序号易错警示典题索引1忽略零点存在性定理考点一、T1,42忽略指数函数的底数考点一、T33忽略x的取值范围考点二、T24忽略周期性的作用考点二、T35忽略新元的范围考点三、角度2【教材·基础自测】1.(必修1P75习题2-4AT3改编)下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是 (

)【解析】选A.根据二分法的概念可知A不能用二分法求零点.2.(必修1P75习题2-4BT2改编)函数f(x)=lnx-的零点所在的大致区间是(

)

A.(1,2) B.(2,3)C.和(3,4) D.(4,+∞)【解析】选B.因为f(2)=ln2-1<0,f(3)=ln3->0,且函数f(x)的图象连续不断,f(x)为增函数,所以f(x)的零点在区间(2,3)内.3.(必修1P72练习BT1改编)函数f(x)=的零点个数为________.

【解析】作函数的图象如图所示,由图象知函数f(x)有1个零点.答案:1【解题新思维】利用“三个二次”之间的关系解题

【结论】二次函数零点分布情况设二次函数y=ax2+bx+c(a>0)对应方程ax2+bx+c=0的根为x1,x2,其零点分布情况如下:【典例】若函数f(x)=(m-2)x2+mx+2m+1的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内,则m的取值范围是________.

【解析】依题意,结合函数f(x)的图象(图略)分析可知,m需满足答案:

【迁移应用】一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是

(

)